初等數(shù)論開(kāi)課

初等數(shù)論開(kāi)課第一頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

研究數(shù)的規(guī)律，特別是整數(shù)性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支。是數(shù)論的一個(gè)最古老的分支。它以算術(shù)方法為主要研究方法，主要內(nèi)容有整數(shù)的整除理論、不定方程、同余式等。第二頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

初等數(shù)論就是用初等、樸素的方法去研究數(shù)論。另外還有解析數(shù)論（用解析的方法研究數(shù)論。）、代數(shù)數(shù)論（用代數(shù)結(jié)構(gòu)的方法研究數(shù)論）。第三頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日中外數(shù)論科學(xué)家畢達(dá)哥拉斯:古希臘,初等數(shù)論的先驅(qū)。大約生于公元前580年-500年。最大貢獻(xiàn)“畢達(dá)哥拉斯定理”（勾股定理）。第四頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日中外數(shù)論科學(xué)家

歐幾里德:公元前4世紀(jì)，《幾何原本》通過(guò)102個(gè)命題，初步建立了整數(shù)的整除理論。他關(guān)于“素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)”的證明，被認(rèn)為是數(shù)學(xué)證明的典范。第五頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日中外數(shù)論科學(xué)家拉格朗日:法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。1736年1月25日生于意大利都靈，1813年4月10日卒于巴黎。他在數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中都有歷史性的貢獻(xiàn)，其中尤以數(shù)學(xué)方面的成就最為突出。第六頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日中外數(shù)論科學(xué)家歐拉:1707年出生在瑞士。18世紀(jì)最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家，也是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，被稱(chēng)為“分析的化身”。第七頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日中外數(shù)論科學(xué)家費(fèi)馬:1601～1665，法國(guó)著名數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”

、“費(fèi)馬大定理”、“費(fèi)馬小定理”。第八頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日中外數(shù)論科學(xué)家劉徽，生于公元250年左右，三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家，是世界上最早提出十進(jìn)小數(shù)概念的人，著《九章算術(shù)注》10卷；《海島算經(jīng)》；《九章重差圖》.割圓術(shù)求圓面積和圓周率.第九頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日中外數(shù)論科學(xué)家祖沖之，429─500，數(shù)學(xué)家，科學(xué)家，算出π在3.1415926和3.1415927之間，求球體積公式著有《綴術(shù)》.天文歷法和機(jī)械方面的成就〔略〕。

第十頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日中外數(shù)論科學(xué)家秦九韶[約1202～1261]，著《數(shù)書(shū)九章》,最重要的數(shù)學(xué)成就——“大衍總數(shù)術(shù)”[一次同余組解法]與“正負(fù)開(kāi)方術(shù)”[高次方程數(shù)值解法]，在中世紀(jì)世界數(shù)學(xué)史上占有突出地位。李冶1192～1279,著《測(cè)圓海鏡》，主要目的就是說(shuō)明用開(kāi)元術(shù)列方程的方法。“開(kāi)元術(shù)”與現(xiàn)代代數(shù)中的列方程法相類(lèi)似。楊輝[1250前后]，是世界上第一個(gè)排出豐富的縱橫圖和討論其構(gòu)成規(guī)律的數(shù)學(xué)家。著《詳解九章算法》,《日用算法》等。第十一頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日中外數(shù)論科學(xué)家朱世杰[1300前后]，著《算學(xué)啟蒙》和《四元玉鑒》?！端銓W(xué)啟蒙》是一部通俗數(shù)學(xué)名著，曾流傳海外，影響了朝鮮、日本數(shù)學(xué)的發(fā)展?！端脑耔b》則是中國(guó)宋元數(shù)學(xué)高峰的又一個(gè)標(biāo)志，其中最杰出的數(shù)學(xué)創(chuàng)作有“四元術(shù)”[多元高次方程列式與消元解法]、“垛積法”[高階等差數(shù)列求和]與“招差術(shù)”[高次內(nèi)插法]。第十二頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日素?cái)?shù)(質(zhì)數(shù))

：

所謂素?cái)?shù)，就是一個(gè)正整數(shù)，它除了本身和1以外并沒(méi)有任何其他因子。素?cái)?shù)就好象是正整數(shù)的原子一樣，著名的高斯「唯一分解定理」說(shuō)，任何一個(gè)整數(shù)?？梢詫?xiě)成一串質(zhì)數(shù)相乘的積。但是至今仍然沒(méi)有一個(gè)一般的特別使用的式子可以表示所有的素?cái)?shù)。第十三頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日1、哥德巴赫猜想(GoldbachConjecture)“所有的大于2的偶數(shù)，都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)”。第十四頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日哥德巴赫猜想有兩個(gè)內(nèi)容：第一部分叫做偶數(shù)的猜想;第二部分叫做奇數(shù)的猜想。偶數(shù)的猜想是說(shuō)，大于等于6的偶數(shù)一定是兩個(gè)奇素?cái)?shù)的和。奇數(shù)的猜想指出，任何一個(gè)大于等于9的奇數(shù)都是三個(gè)奇素?cái)?shù)的和。第十五頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例如：第十六頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日哥德巴赫猜想的歷程1920年，挪威的布朗證明了“9+9”。1924年，德國(guó)的拉特馬赫證明“7+7”。1932年，英國(guó)的埃斯特曼證明了“6+6”。

1937年，意大利的蕾西先后證明了“5+7”,“4+9”,“3+15”和“2+366”第十七頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日1938年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃證明“5+5”。1940年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃證明了“4+4”。1948年，匈牙利的瑞尼證明了“1+c”，其中c是一很大的自然數(shù)。1957年，中國(guó)的王元先后證明了“3+3”和“2+3”。1956年，中國(guó)的王元證明了“3+4”。第十八頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日1962年，中國(guó)的潘承洞和蘇聯(lián)的巴爾巴恩證明了“1+5”，中國(guó)的王元證明了“1+4”。1965年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃和小維諾格拉多夫，及意大利的朋比利證明了“1+3”。1966年，中國(guó)的陳景潤(rùn)證明了“1+2”。第十九頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日2、孿生素?cái)?shù)猜想：

所謂孿生素?cái)?shù)指的就是這種間隔為2的相鄰素?cái)?shù)，它們之間的距離已經(jīng)近得不能再近了，就象孿生兄弟一樣。第二十頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日最小的孿生素?cái)?shù)是(3,5)

在100以?xún)?nèi)的孿生素?cái)?shù)還有(5,7),(11,13),(17,19),(29,31),(41,43),(59,61)和(71,73)，總計(jì)有8組。第二十一頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

孿生素?cái)?shù)猜想：存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)p,使得p+2也是素?cái)?shù)。第二十二頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

截至2002年底，人們發(fā)現(xiàn)的最大的孿生素?cái)?shù)是：

(33218925×2169690-1,33218925×2169690+1)第二十三頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日在證明孿生素?cái)?shù)猜想上的成果大體可以分為兩類(lèi)。

第一類(lèi)是非估算性的結(jié)果，這一方面迄今最好的結(jié)果是一九六六年由已故的我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)利用篩法所取得的。陳景潤(rùn)證明了：存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)p,使得p+2要么是素?cái)?shù)，要么是兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積。第二十四頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日有無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)：

這個(gè)古老的命題最初是由古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德在他的不朽著作《幾何原本》里給出的。第二十五頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日證明（反證法）：假設(shè)命題不真，則只有有限多個(gè)素?cái)?shù)，設(shè)所有的素?cái)?shù)是2=a1<a2<……<an.此時(shí)，令N=a1*a2*……*an+1,那么所有的ai(i=1,2,……,n)顯然都不是N的因子，那么有兩個(gè)可能：或者N有另外的素?cái)?shù)真因子，或者N本身就是一個(gè)素?cái)?shù)，但是顯然有N>ai(i=1,2……n).無(wú)論是哪種情況，都將和假設(shè)矛盾。這個(gè)矛盾就完成了我們的證明，所以確實(shí)有無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)！第二十六頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日親和數(shù)：

如果兩個(gè)數(shù)a和b，a的所有真因數(shù)之和等于b,b的所有真因數(shù)之和等于a,則稱(chēng)a,b是一對(duì)親和數(shù)。第二十七頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日220和284

220的因數(shù)除去本身之外，有1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110。把這些數(shù)相加1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284。它們的和正好等于284嘛！284也一樣，因數(shù)（不包含本身）有1、2、4、71、142，把這5個(gè)數(shù)加起來(lái)就是220。難道這不奇妙嗎？第二十八頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

又如1184和1210，它們也是一對(duì)相親數(shù)。18世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家歐拉，就曾經(jīng)一次向大家公布了60對(duì)相親數(shù)。第二十九頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

完全數(shù):

如果一個(gè)數(shù)除去這個(gè)數(shù)本身不算外，其他所有因數(shù)的和還等于這個(gè)數(shù)，就把這個(gè)數(shù)叫做完全數(shù)。完全數(shù)是一些特殊的自然數(shù)。比如6，就是一個(gè)完全數(shù)。因?yàn)?的因數(shù)是1、2、3、6。除去6不算，1+2+3=6。這證明了6是最小的完全數(shù)。第三十頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

28、496、8128、130816、33550336......這些都是完全數(shù)?，F(xiàn)在數(shù)學(xué)家們用電子計(jì)算機(jī)來(lái)驗(yàn)算，已經(jīng)找到有好幾萬(wàn)位的數(shù)值非常大的完全數(shù)。事實(shí)上，至今，人類(lèi)只發(fā)現(xiàn)了44個(gè)完全數(shù)。第三十一頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日費(fèi)馬(Fermat):數(shù)論大師費(fèi)馬大定理：

n>2是整數(shù)，則方程xn+yn=zn沒(méi)有滿(mǎn)足xyz≠0的整數(shù)解。這個(gè)是不定方程，它已經(jīng)由美國(guó)數(shù)學(xué)家證明了(1995年)，證明的過(guò)程是相當(dāng)艱深的！第三十二頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日費(fèi)馬小定理：

假如p是質(zhì)數(shù)，且(a,p)=1，那么a(p-1)≡1（modp）假如p是質(zhì)數(shù)，且a,p互質(zhì)，那么a的(p-1)次方除以p的余數(shù)恒等于1。第三十三頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日成果：(1)全部素?cái)?shù)可分為4n+1和4n+3兩種形式。(2)形如4n+1的素?cái)?shù)能夠，而且只能夠以一種方式表為兩個(gè)平方數(shù)之和。

(3)沒(méi)有一個(gè)形如4n+3的素?cái)?shù)，能表示為兩個(gè)平方數(shù)之和。

第三十四頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

(4)形如4n+1的素?cái)?shù)能夠且只能夠作為一個(gè)直角邊為整數(shù)的直角三角形的斜邊；4n+1的平方是且只能是兩個(gè)這種直角三角形的斜邊；類(lèi)似地，4n+1的m次方是且只能是m個(gè)這種直角三角形的斜邊。第三十五頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日(5)邊長(zhǎng)為有理數(shù)的直