《函數(shù)的應(yīng)用（二）》示范公開課教學(xué)設(shè)計(jì)

《函數(shù)的應(yīng)用（二）》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)通過實(shí)例了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)在復(fù)利計(jì)算、增長(zhǎng)率等實(shí)際問題中的應(yīng)用，進(jìn)一步培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力；在解決相關(guān)問題的過程中，鞏固指對(duì)冪運(yùn)算，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)；通過實(shí)際問題的解決，逐步培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力，滲透德育教育．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：能夠運(yùn)用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用問題.教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.

課前準(zhǔn)備課前準(zhǔn)備PPT課件．教學(xué)過程教學(xué)過程一、整體概覽問題1：閱讀課本第42-44頁，回答下列問題：（1）本節(jié)將要研究哪類問題？（2）本節(jié)要研究的問題在數(shù)學(xué)中的地位是怎樣的？師生活動(dòng)：學(xué)生帶著問題閱讀課本，老師指導(dǎo)學(xué)生概括總結(jié)本節(jié)的內(nèi)容.預(yù)設(shè)的答案：本節(jié)課要學(xué)的內(nèi)容是函數(shù)的應(yīng)用（二），主要討論的是指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的應(yīng)用，類似的內(nèi)容能加深學(xué)生對(duì)所學(xué)函數(shù)知識(shí)的理解，同時(shí)能提高學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，在學(xué)習(xí)本節(jié)知識(shí)之前，可引導(dǎo)學(xué)生回顧一下有關(guān)內(nèi)容，如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性等.設(shè)計(jì)意圖：通過本節(jié)課內(nèi)容的預(yù)習(xí)，讓學(xué)生明晰下一階段的學(xué)習(xí)目標(biāo)，初步搭建學(xué)習(xí)內(nèi)容的框架.問題導(dǎo)入引語：因?yàn)樯钪泻芏嗔颗c量的關(guān)系都可以歸結(jié)為指數(shù)關(guān)系，因此指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)有著廣泛的應(yīng)用.下面舉例說明.（板書：函數(shù)的應(yīng)用（二））【新知探究】問題2：復(fù)利計(jì)息與“70原則”復(fù)利計(jì)息，俗稱“利滾利”，是把前一期的本金和利息加在一起，作為下一期的本金進(jìn)行計(jì)息的一種方式．所謂“70原則”，是指在復(fù)利計(jì)息的情況下，本息和翻倍的一種簡(jiǎn)算方法．設(shè)每期的利率為r，則大約經(jīng)過期本息和就會(huì)變?yōu)樵瓉淼?倍．思考與討論：①復(fù)利問題中涉及到哪些變量？這些變量之間有什么數(shù)量關(guān)系？②“70原則”研究的問題中，所需滿足的數(shù)量關(guān)系是什么？所需求解的變量是什么？③如何說明“70原則”包含的數(shù)學(xué)道理？師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試自己得出問題的結(jié)果．并思考運(yùn)用的是何種函數(shù)模型.預(yù)設(shè)的答案：①本金、利率、存期、本息和，本息和＝本金×(1+利率)．②設(shè)本金為a元，每期利率為r，存期為x，到期的本息和為元，則．③“70原則”研究的問題是本息和翻倍，即，所以，．這里，，當(dāng)r很小時(shí)()，，所以．設(shè)計(jì)意圖：銀行利率問題是我們身邊最常見的一種經(jīng)濟(jì)指數(shù)模型，銀行計(jì)息在存款與貸款中必不可少．通過這一例子，可以讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)到指數(shù)函數(shù)在利息計(jì)算中的應(yīng)用，體現(xiàn)到用所學(xué)知識(shí)解決表面看起來很深?yuàn)W的問題，為今后研究借貸計(jì)息作一鋪墊．例1有些銀行存款是按復(fù)利的方式和計(jì)算利息的，即把前一期的利息與本金加在一起作為本金，再計(jì)算下一期的利息，假設(shè)最開始本金為a元，每期的利率為r，存x期后本息和為f(x)元.寫出f(x)的解析式；至少要經(jīng)過多少期后，本息和才能不小于本金的2倍？解：（1）不難看出，f(1)=a+=a（1+r），f(2)=a（1+r）+a（1+r）r=a(1+r)2f(3)=a(1+r)2+a(1+r)2r=a(1+r)3......因此f(x)=a(1+r)x，x∈N*.（2）由f(x)≥2a,由此可解得x≥設(shè)不小于的最小整數(shù)為,則至少要經(jīng)過期后,本息和才能不小于本金的2倍.由例1的(2)可以得到銀行業(yè)中經(jīng)常使用“70原則”：因?yàn)閘n2≈0.69315，而且當(dāng)r比較小時(shí)，（1+r）≈r，所以即利率為r時(shí)，本息和大約要期才能“倍增”（即為原來的2倍）.例如，當(dāng)年利率為5%時(shí)，約要經(jīng)過14年，本息和才能“倍增”問題3：年均下降率與節(jié)能減排問題按照《國務(wù)院關(guān)于印發(fā)“十三五”節(jié)能減排綜合工作方案的通知》（國發(fā)[2016]74號(hào)）的要求，到2020年，全國二氧化硫排放總量要控制在1580萬噸以內(nèi)，要比2015年下降15%．師生活動(dòng)：①2015年二氧化硫排放總量的最大值是多少萬噸？（精確到1萬噸）②年均下降率是指一定年限內(nèi)，平均每年下降的速度．請(qǐng)問在“十三五”期間，全國每年二氧化硫排放的年均下降率是多少？（精確到0.001）③如果2016~2019這四年的年均下降率均為3%，那么2020年的年均下降率應(yīng)為多少？（精確到0.001）④2019年全國二氧化硫排放總量應(yīng)控制在多少萬噸以內(nèi)？（精確到1萬噸）預(yù)設(shè)的答案：①（萬噸）；②設(shè)年均下降率為r，則，解得：．一般地，若記2020年相比2015年的下降百分比為a，則，．；③，故；④（萬噸）一般地，若記2015年之后的第年二氧化硫排放總量的最大值為萬噸，則．設(shè)計(jì)意圖：節(jié)能減排，節(jié)約能源，保護(hù)環(huán)境，這是當(dāng)前國家一項(xiàng)重要的工作舉措．隨著現(xiàn)代社會(huì)物質(zhì)生活條件的提高，各種能源消耗也增大不少，而我們往往忽視能源的減少還會(huì)帶來環(huán)境的惡化，危害人們的生活乃至生命．本例意圖是給學(xué)生滲透一種節(jié)能環(huán)保的意識(shí)．例3已知某地區(qū)第一年的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率為a（a∈[0,1]且a為常數(shù)），第二年的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率為x（x≥0），這兩年的平均經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率為y，寫出y與x的關(guān)系，并求y的最小值.師生活動(dòng)：學(xué)生充分思考后，寫出并有老師給出答案.預(yù)設(shè)的答案：解：根據(jù)題意有(1+a)(1+x)=(1+y)2,從而有y=顯然，上述函數(shù)是增函數(shù)，因此x=0時(shí)，y有最小值.設(shè)計(jì)意圖：平均增長(zhǎng)率是學(xué)生不太熟悉的，講解時(shí)要重點(diǎn)解釋為什么(1+a)(1+x)=(1+y)2,問題4：聲強(qiáng)等級(jí)與噪聲污染人們通常以分貝（符號(hào)是dB）為單位來表示聲音強(qiáng)度的等級(jí)，其中0dB是人能聽到的等級(jí)最低的聲音．一般地，聲強(qiáng)級(jí)是指該處的聲強(qiáng)（單位：瓦/米）與參考聲強(qiáng)的比值的常用對(duì)數(shù)再乘以10，參考聲強(qiáng)是瓦/米，即：．師生活動(dòng)：①人能聽到的等級(jí)最低的聲音的強(qiáng)度是多少？②為了防止噪音，我國著名聲學(xué)家馬大猷教授曾總結(jié)和研究了國內(nèi)外現(xiàn)有各類噪音的危害和標(biāo)準(zhǔn)，提出了三條建議：（1）為了保護(hù)人們的聽力和身體健康，噪音的允許值在75~90dB．（2）保障交談和通訊聯(lián)絡(luò)，環(huán)境噪音的允許值在45~60dB．（3）對(duì)于睡眠時(shí)間建議在35~50dB．請(qǐng)你計(jì)算，90dB、60dB、50dB的聲音強(qiáng)度之比．預(yù)設(shè)的答案：①令，得（瓦/米）；②可分別求出對(duì)應(yīng)的聲音強(qiáng)度：瓦/米、瓦/米、瓦/米，它們的比值為10000:10:1．嘈雜的馬路聲音等級(jí)為90dB，其聲音強(qiáng)度至少是正常交談的1000倍，是睡眠的10000倍．人不宜長(zhǎng)時(shí)間呆在嘈雜的環(huán)境之中．設(shè)計(jì)意圖：噪聲污染屬于感覺公害，對(duì)人、動(dòng)物、儀器儀表以及建筑物均構(gòu)成危害，其危害程度主要取決于噪聲的頻率、強(qiáng)度及暴露時(shí)間．防止噪音，不制造噪音，這需要大家共同行動(dòng)．通過這個(gè)例子滲透另一種環(huán)保意識(shí)，甚至激發(fā)有志者投身研究如何防止和利用噪音．生活中類似的應(yīng)用還有很多，如地震的級(jí)別．練習(xí)：教科書第44頁習(xí)題A1，2題．師生活動(dòng)：學(xué)生做練習(xí)，教師根據(jù)學(xué)生練習(xí)情況給予反饋．【課堂小結(jié)】1．板書設(shè)計(jì)：4.6函數(shù)的應(yīng)用（二）1．復(fù)利計(jì)息與“70原則”例12．年均下降率與節(jié)能減排問題例23．聲強(qiáng)等級(jí)與噪聲污染例3練習(xí)與作業(yè)：教科書第44頁習(xí)題A3,4題；教科書第45頁習(xí)題B1，2題．2．總結(jié)概括：?jiǎn)栴}：（1）本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些常見的數(shù)學(xué)模型？2.應(yīng)用函數(shù)解決實(shí)際問題的一般步驟有哪些？其關(guān)鍵環(huán)節(jié)是什么？師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試總結(jié)，老師適當(dāng)補(bǔ)充.預(yù)設(shè)的答案：（1）指數(shù)函數(shù)模型：f(x)＝abx＋c(a、b、c為常數(shù)，a≠0，b>0，b≠1)；對(duì)數(shù)函數(shù)模型：f(x)＝mlogax＋n(m、n、a為常數(shù)，a>0，a≠1)；冪函數(shù)模型：f(x)＝axn＋b(a、b、n為常數(shù)，a≠0，n≠1)；（2）第一步：閱讀、理解；第二步：建立數(shù)學(xué)模型，把應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；第三步：解答數(shù)學(xué)模型，求得結(jié)果；第四步：把數(shù)學(xué)結(jié)果轉(zhuǎn)譯成具體問題的結(jié)論，做出解答．而這四步中，最為關(guān)鍵的是把第二步處理好．只要把數(shù)學(xué)模型建立妥當(dāng)，所有的問題即可在此基礎(chǔ)上迎刃而解．但是，很多同學(xué)在建模過程中忽視了一些細(xì)節(jié)，導(dǎo)致“滿盤皆輸”．設(shè)計(jì)意圖：通過梳理本節(jié)課的內(nèi)容，能讓學(xué)生更加明確函數(shù)的應(yīng)用，隨著新課標(biāo)的實(shí)施，指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型將會(huì)起到越來越重要的作用，在高考的舞臺(tái)上將會(huì)扮演愈來愈重要的角色．布置作業(yè)：教科書第45頁習(xí)題B3,4題．【目標(biāo)檢測(cè)】1.有一個(gè)受到污染的湖泊，其湖水的體積為V立方米，每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量，都為r立方米．現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)正好平衡，且污染物質(zhì)與湖水能很好地混合．用g(t)表示某一時(shí)刻t每立方米湖水所含污染物質(zhì)的克數(shù)，我們稱其為在時(shí)刻t時(shí)的湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)．已知目前污染源以每天p克的污染物質(zhì)污染湖水，湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)滿足關(guān)系式g(t)＝eq\f(p,r)＋[g(0)－eq\f(p,r)]e－eq\f(r,v)t(p≥0)，其中g(shù)(0)是湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)．(1)當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時(shí)，求湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)；(2)求證：當(dāng)g(0)<eq\f(p,r)時(shí)，湖泊的污染程度將越來越嚴(yán)重；(3)如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要經(jīng)過多少天才能使湖水的污染水平下降到開始時(shí)(即污染停時(shí))污染水平的5%?(1)解設(shè)0≤t1<t2，∵g(t)為常數(shù)，∴g(t1)＝g(t2)，即[g(0)－eq\f(p,r)]·[e－eq\f(r,v)t1－e－eq\f(r,v)t2]＝0，∴g(0)＝eq\f(p,r).(2)證明設(shè)0≤t1<t2，則g(t1)－g(t2)＝[g(0)－eq\f(p,r)]·[e－eq\f(r,v)t1－e－eq\f(r,v)t2]＝[g(0)－eq\f(p,r)]·，∵g(0)－eq\f(p,r)<0，t1<t2，∴g(t1)－g(t2)<0，∴g(t1)<g(t2)．在湖泊污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)隨時(shí)間變化而增加，污染越來越嚴(yán)重．(3)解污染源停止，即p＝0，此時(shí)g(t)＝g(0)·e－eq\f(r,v)t.設(shè)要經(jīng)過t天能使湖水的污染水平下降到開始時(shí)污染水平的5%.即g(t)＝5%·g(0)，即有5%·g(0)＝g(0)·e－eq\f(r,v)t.由實(shí)際意義知g(0)≠0，∴eq\f(1,20)＝e－eq\f(r,v)t.∴t＝eq\f(v,r)ln20(天)，即需要eq\f(v,r)ln20天時(shí)間．點(diǎn)評(píng)高考數(shù)學(xué)試題中聯(lián)系生活實(shí)際和生產(chǎn)實(shí)際的應(yīng)用問題，其創(chuàng)意新穎，設(shè)問角度獨(dú)特，解題方