排列組合 林璇璇

排列與組合（一）11.排列的定義:從n個(gè)不同元素中,任取m個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.2.組合的定義:3.排列數(shù)公式:從n個(gè)不同元素中,任取m個(gè)元素,并成一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.4.組合數(shù)公式:排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系:與順序有關(guān)的為排列問題,與順序無關(guān)的為組合問題.2在解排列與組合應(yīng)用題時(shí)，能做到“不重”、“不漏”，對(duì)題設(shè)中“有且僅有”、“至多”、“至少”、“全是”、“不全是”等詞語確切含義的理解，掌握解排列與組合綜合應(yīng)用題的處理模式。注意3解決排列組合幾種技巧插空法捆綁法轉(zhuǎn)化法排除法對(duì)等法4（1）插空法：對(duì)于某兩個(gè)元素或者幾個(gè)元素要求不相鄰的問題,可以用插入法.

例一：學(xué)校組織老師學(xué)生一起看電影，同一排電影票12張。8個(gè)學(xué)生，4個(gè)老師，要求老師在學(xué)生中間，且老師互不相鄰，共有多少種不同的坐法？5解析：先排學(xué)生共有種排法,然后把老師插入學(xué)生之間的空檔，共有7個(gè)空檔可插,選其中的4個(gè)空檔,共有種選法.根據(jù)乘法原理,共有的不同坐法為種.6要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素,再與其它元素一起作排列,同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也可以作排列.2捆綁法:例二5個(gè)男生3個(gè)女生排成一排,3個(gè)女生要排在一起,有多少種不同的排法?7解因?yàn)榕旁谝黄?所以可以將3個(gè)女生看成是一個(gè)人,解法(1)與5個(gè)男生作全排列,有種排法,其中女生內(nèi)部也有種排法,根據(jù)乘法原理,共有種不同的排法.（2）先將五個(gè)男生進(jìn)行排列，然后再六個(gè)空當(dāng)去一個(gè)放這個(gè)捆綁的體，再將三個(gè)女生進(jìn)行內(nèi)部排列。根據(jù)乘法原理共有種排法、8有些問題,正面直接考慮比較復(fù)雜,而它的反面往往比較簡(jiǎn)捷,可以先求出它的反面,再?gòu)恼w中排除.例三我們班里有43位同學(xué),從中任抽5人,正、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種?3排異法:9分析此題若是直接去考慮的話,就要將問題分成好幾種情況,這樣解題的話,容易造成各種情況遺漏或者重復(fù)的情況.而如果從此問題相反的方面去考慮的話,不但容易理解,而且在計(jì)算中也是非常的簡(jiǎn)便.這樣就可以簡(jiǎn)化計(jì)算過程.解143人中任抽5人的方法有種,正副班長(zhǎng),團(tuán)支部書記都不在內(nèi)的抽法有種,所以正副班長(zhǎng),團(tuán)支部書記至少有1人在內(nèi)的抽法有種.

解2：因?yàn)?人中至少一人來自于正、副班長(zhǎng)和團(tuán)支書，那么可能是1、2、3即則對(duì)應(yīng)的4來自于剩下的40人，分別4、3、2即,最后由乘法原理和加法原理可得10（4）綜合擴(kuò)展：容斥原理：S是有限集，A、B屬于S，則例四：求由n()個(gè)相異的元做成的與不相鄰，與也不相鄰的全排列個(gè)數(shù)。11解析：設(shè)所求為N，以S表示所有元素的全排列，則/S/=N!以A，B分別表示S中的全排列所成之集12在有些題目中,它的限制條件的肯定與否定是對(duì)等的,各占全體的二分之一.在求解中只要求出全體,就可以得到所求.例5期中安排考試科目9門,語文要在數(shù)學(xué)之前考,有多少種不同的安排順序?（5）對(duì)等法:13分析對(duì)于任何一個(gè)排列問題,就其中的兩個(gè)元素來講的話,他們的排列順序只有兩種情況,并且在整個(gè)排列中,他們出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是均等的,因此要求其中的某一種情況,能夠得到全體,那么問題就可以解決了.并且也避免了問題的復(fù)雜性.解不加任何限制條件,整個(gè)排法有種,“語文安排在數(shù)學(xué)之前考”,與“數(shù)學(xué)安排在語文之前考”的排法是相等的,所以語文安排在數(shù)學(xué)之前考的排法共有種.14對(duì)于某些較復(fù)雜的、或較抽象的排列組合問題，可以利用轉(zhuǎn)化思想,將其化歸為簡(jiǎn)單的、具體的問題來求解.例6高二年級(jí)8個(gè)班,組織一個(gè)12個(gè)人的年級(jí)學(xué)生分會(huì),每班要求至少1人,名額分配方案有多少種?（六）轉(zhuǎn)化法:15解法1此題可以轉(zhuǎn)化為:將12個(gè)相同的白球分成8份,有多少種不同的分法