湖南省永州市浯溪鎮(zhèn)第一中學2021年高三數(shù)學理月考試卷含解析

湖南省永州市浯溪鎮(zhèn)第一中學2021年高三數(shù)學理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.一個年級有12個班，每個班的同學從1至50排學號，為了交流學習經驗，要求每班學號為14的同學留下進行交流，這里運用的是(

)A．系統(tǒng)抽樣 B．分層抽樣 C．抽簽抽樣 D．隨機抽樣參考答案：A【考點】系統(tǒng)抽樣方法；收集數(shù)據(jù)的方法．【專題】應用題．【分析】學生人數(shù)比較多，把每個班級學生從1到50號編排，要求每班編號為14的同學留下進行交流，這樣選出的樣本是具有相同的間隔的樣本，是采用系統(tǒng)抽樣的方法．【解答】解：當總體容量N較大時，采用系統(tǒng)抽樣．將總體分段，分段的間隔要求相等，這時間隔一般為預先制定的，在第1段內采用簡單隨機抽樣確定一個起始編號，在此編號的基礎上加上分段間隔的整倍數(shù)即為抽樣編號．本題中，把每個班級學生從1到50號編排，要求每班編號為14的同學留下進行交流，這樣選出的樣本是采用系統(tǒng)抽樣的方法，故選A．【點評】本題考查系統(tǒng)抽樣，當總體容量N較大時，采用系統(tǒng)抽樣，將總體分成均衡的若干部分即將總體分段，分段的間隔要求相等，系統(tǒng)抽樣又稱等距抽樣．2.已知集合A={x|x2－2x－3≤0}，B={x|x＜a}，若AB，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A.(－1,+∞)

B.[－1,+∞)

C.(3,+∞)

D.[3,+∞)參考答案：C由題意得，∵，∴，∴實數(shù)的取值范圍是．故選C．

3.曲線y=x3在點P處的切線斜率為k，當k=3時的P點坐標為A.(－2,－8)

B.(－1,－1),(1,1)

C.(2,8)

D.(－,－)參考答案：答案：B4.設命題，則是A.

B.

C. D.參考答案：C由含有一個量詞的命題的否定.故選C.5.設，若，且，則的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A6.下列命題中，真命題的是(

)A.，＜0B.，C.“”的充要條件是“”D.“”是“”的充分條件參考答案：D7.復數(shù)（i為虛數(shù)單位）在復平面內對應的點所在的象限為A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限參考答案：A8.已知集合，集合，則等于（

） A． B． C． D．參考答案：A9.已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略10.已知函數(shù)，當時，恒有

成立，則實數(shù)的取值范圍（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在三棱柱中，已知平面ABC，，，且此三棱柱的各個頂點都在一個球面上，則球的表面積為_______．參考答案：12.給出下列命題：①若是奇函數(shù)，則的圖像關于軸對稱；②若函數(shù)對任意滿足，則8是函數(shù)的一個周期；③若，則；④若在上是增函數(shù)，則,其中正確命題的序號是_________.參考答案：①②④略13.已知冪函數(shù)在上為減函數(shù)，則=__________．參考答案：-1略14.若函數(shù)存在與直線平行的切線，則實數(shù)的取值范圍是

▲

．參考答案：15.已知平行四邊形的頂點坐標依次為,,，，若動點M與點、點連線的斜率之積為，則

．參考答案：416.已知=2，=3，=4，…，若=6（a，t均為正實數(shù)）．類比以上等式，可推測a，t的值，則t+a=_________．2014考2201420參考答案：41

略17.在平面直角坐標系中，已知，，點在第一象限內，，且，若，則+的值是．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在圖所示的幾何體中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2，N為線段PB的中點．（1）證明：NE⊥平面PBD；（2）求四棱錐B﹣CEPD的體積．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）連接AC，BD，令AC與BD交于點F，連接NF，推導出NE∥AC，求出PD⊥AC，AC⊥BD，由此能證明NE⊥平面PBD．（2）四棱錐B﹣CEPD的體積．由此能求出四棱錐B﹣CEPD的體積．【解答】證明：（1）連接AC，BD，令AC與BD交于點F，連接NF，∵點N是中點，∴NF∥PD且．又∵EC∥PD且，∴NF∥EC且NF=EC，∴四邊形NFCE為平行四邊形，∴NE∥AC，又∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PD⊥AC．∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD．∵PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD，∴NE⊥平面PBD．解：（2）∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PDCE，∴平面PDCE⊥平面ABCD，又∵BC⊥CD，∴BC⊥平面PDCE，∴BC是四棱錐B﹣PDCE的高，∵PD=AD=2EC=2，∴，∴四棱錐B﹣CEPD的體積．19.(本小題滿分10分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))是上的動點，點滿足，點的軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)在以為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線與的異于極點的交點為，與的異于極點的交點為，求.參考答案：20.如圖，已知四棱錐P﹣ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點．（1）證明：AE⊥PD；（2）若PA=AB=2，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．參考答案：考點：與二面角有關的立體幾何綜合題；空間中直線與直線之間的位置關系．專題：空間角．分析：（1）由已知條件推導出AE⊥AD，AE⊥PA，由此能證明AE⊥平面PAD，從而得到AE⊥PD．（2）以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角E﹣AF﹣C的余弦值．（1）證明：∵四棱錐P﹣ABCD，底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點，∴△ABC是等邊三角形，∴AE⊥BC，∴AE⊥AD，∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴AE⊥PA，∵AE∩AD=A，∴AE⊥平面PAD，∵PD?平面PAD，∴AE⊥PD．（2）解：由（1）知AE、AD、AP兩兩垂直，∴以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，∵E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點，PA=AB=2，∴A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F(xiàn)（），∴，，設平面AEF的一個法向量為，則取z1=﹣1，得=（0，2，﹣1），∵BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，∴BD⊥平面AFC，∴為平面AFC的一法向量．又，∴cos＜＞==．∵二面角E﹣AF﹣C為銳角，∴所求二面角的余弦值為．點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．21.（本小題滿分12分）已知在中，角A、B、C的對邊長分別為，已知向量，且，（1）求角C的大??；（2）若，試求的值。參考答案：（1）由題意得：

即，由正弦定理得，再由余弦定理得

……6分（2）方法一：，，即從而即

即，從而=

……………12分方法二：設R為外接圓半徑，=22.某服裝店每年春季以每件15元的價格購入M型號童褲若干，并開始以每件30元的價格出售，若前2個月內所購進的M型號童褲沒有售完，則服裝店對沒賣出的M型號童褲將以每件10元的價格低價處理（根據(jù)經驗，1個月內完全能夠把M型號童褲低價處理完畢，且處理完畢后，該季度不再購進M型號童褲）．該服裝店統(tǒng)計了過去18年中每年該季度M型號童褲在前2個月內的銷售量，制成如下表格（注：視頻率為概率）．前2月內的銷售量（單位：件）304050頻數(shù)（單位：年）684（1）若今年該季度服裝店購進M型號童褲40件，依據(jù)統(tǒng)計的需求量試求服裝店該季度銷售M型號童褲獲取利潤X的分布列和期望；（結果保留一位小數(shù)）（2）依據(jù)統(tǒng)計的需求量求服裝店每年該季度在購進多少件M型號童褲時所獲得的平均利潤最大．參考答案：（1）分布列見解析，元；（2）40件【分析】（1）先求出利潤的可能值，根據(jù)過去18年中銷售量的頻數(shù)表，得出對應的概率，得到的分布列，求出期望；（2）分別求出購進型號童褲30件、40件、50件時，利潤的期望值，比較即可得出結論.【詳解】（1）設服裝店某季度銷售型號童褲獲得的利潤為（單位：元）．當需求量為30時，，當需求量為40時，，當需求量為50時，．所以，．故的分布列為400600則（元）．所以服裝店今年銷售型號童褲獲得的利潤均值為533.3元．（2）設