2022-2023學年云南省曲靖市羅平縣板橋鎮(zhèn)第二中學高三數(shù)學理期末試題含解析

2022-2023學年云南省曲靖市羅平縣板橋鎮(zhèn)第二中學高三數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若的展開式中各項二項式系數(shù)之和為，的展開式中各項系數(shù)之和為，則的值為A．

B．

C．

D．（

）參考答案：答案：B2.“”是“直線與圓相切”的A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

參考答案：A略3.2013年華人數(shù)學家張益唐證明了孿生素數(shù)猜想的一個弱化形式．孿生素數(shù)猜想是希爾伯特在二十世紀初提出的23個數(shù)學問題之一．可以這樣描述：存在無窮多個素數(shù)p，使得p+2是素數(shù)，稱素數(shù)對為孿生素數(shù)．在不超過15的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其中能夠組成孿生素數(shù)的概率是（

）．A. B. C. D.參考答案：C【分析】先求得不超過15的素數(shù)的個數(shù)，進而得出其中能夠組成孿生素數(shù)的組數(shù)，結合排列組合和古典概型的概率計算公式，即可求解．【詳解】由題意，存在無窮多個素數(shù)，使得是素數(shù)，稱素數(shù)對為孿生素數(shù)．其中不超過15的素數(shù)有2，3，5，7，11，13，可得能夠組成孿生素數(shù)的有，，，在不超過15的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，共有種，其中能夠組成孿生素數(shù)包含的基本事件個數(shù)，所以其中能夠組成孿生素數(shù)的概率是．故選：C．【點睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計算，以及排列數(shù)公式的應用，其中解答中認真審題，利用列舉法求得基本事件的總數(shù)是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力．4.已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，當時，則（

）A.

B.C.

D.參考答案：B因為滿足，所以，所以周期，所以，，,故選B.

5.已知是實數(shù)，是純虛數(shù)，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略6.已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，當時，，則A.－2 B.2 C. D.參考答案：A【分析】先根據(jù)可得函數(shù)周期，結合奇函數(shù)及解析式可得.【詳解】因為，所以周期為4，所以；因為為奇函數(shù)，所以.因為當時，，所以，即，故選A.【點睛】本題主要考查函數(shù)性質的應用，側重考查數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).7.如果若干個函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后能夠重合，則稱這些函數(shù)為“同簇函數(shù)”．給出下列函數(shù)：①；

②；③；

④．其中“同簇函數(shù)”的是（

）A．①②

B．①④

C．②③

D．③④參考答案：C8.在平面直角坐標系中，由x軸的正半軸、y軸的正半軸、曲線以及該曲線在處的切線所圍成圖形的面積是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D9.一個空間幾何體的三視圖如圖，其中正視圖是邊長為2的正三角形，俯視圖是邊長分別為1，2的矩形，則該幾何體的側面積為（）A．+4 B．+6 C．2+4 D．2+6參考答案：A【考點】由三視圖求面積、體積．【專題】空間位置關系與距離．【分析】由已知中的三視力可得該幾何體是一個四棱錐，計算出各個側面的面積，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三視力可得該幾何體是一個四棱錐，其直觀圖如下圖所示：則△SAD是邊長為2的正三角形，其面積為：，∵AB⊥平面SAD，可得：△SAB是兩直角邊長為1和2的直角三角形，故△SAB的面積為1，同理，△SCD的面積也為1，又由△SAD的高SO=，OE=AB=1，可得SE=2，故△SBC是底邊長2，高為2的等腰三角形，故△SBC的面積為2，綜上所述，幾何體的側面積為+4，故選：A【點評】本題考查的知識點是由三視圖求體積和表面積，解決本題的關鍵是得到該幾何體的形狀．10.已知非零向量，，若，，則向量和夾角的余弦值為（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】直接利用平面向量數(shù)量積的運算律即可求解?！驹斀狻吭O向量與向量的夾角為，，由可得：，化簡即可得到：，故答案選B?！军c睛】本題主要考查向量數(shù)量積的運算，向量夾角余弦值的求法，屬于基礎題。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設，滿足約束條件，則的最小值為

.參考答案：－512.已知函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍為

．參考答案：時，，符合題意，當時，，得，綜上有．考點：函數(shù)的定義域．【名師點晴】本題表面上考查函數(shù)的定義域，實質是考查不等式恒成立問題，即恒成立，這里易錯的地方是只是利用判別式，求得，沒有討論二次項系數(shù)為0的情形．13.

以a、b、c依次表示方程2x＋x＝1、2x＋x＝2、3x＋x＝2的解，則a、b、c的大小關系為________．參考答案：a<c<b14.等比數(shù)列中，若，則參考答案：略15.已知不共線，，當______時，共線.參考答案：16.一幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為

．參考答案：200＋9π略17.已知偶函數(shù)在單調遞減，.若，則的取值范圍是__________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知（1）求cosA；（2）求c的值.參考答案：（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理和二倍角公式可構造方程求得；（2）由余弦定理構造方程可求得的兩個解，其中時，驗證出與已知條件矛盾，從而得到結果.【詳解】（1）在中，由正弦定理得：（2）在中，由余弦定理得：由整理可得：解得：或當時，，又

，此時，與已知矛盾，不合題意，舍去當時，符合要求綜上所述：【點睛】本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的問題，易錯點是求得邊長后忽略了已知中的長度和角度關系，造成增根出現(xiàn).19.(12分)如圖，已知，分別是正方形邊、的中點，與交于點，、都垂直于平面，且，，是線段上一動點．（1）求證：平面平面；（2）確定點的位置，使得平面；（3）當是中點時，求二面角的余弦值．

參考答案：（1）連結，∵平面，平面，∴，又∵，，∴平面，又∵，分別是、的中點，∴，∴平面，又平面，∴平面平面；……………4分（2）連結，∵平面，平面平面，∴，∴，故

………………-6分（3）∵平面，平面，∴，在等腰三角形中，點為的中點，∴，∴為所求二面角的平面角，……8分∵點是的中點，∴，所以在矩形中，可求得，，，……10分在中，由余弦定理可求得，有空間位置關系知二面角為鈍角∴二面角的余弦值為．……………12分20.（本小題滿分13分）在△ABC中，∠C＝，．（Ⅰ）若c＝14，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面積為3，求c的值．參考答案：【知識點】余弦定理正弦定理【試題解析】(Ⅰ)在中，因為，

即

所以．

（Ⅱ）因為．

所以，解得．

又因為．

所以，

所以．21.如圖，四面體ABCD中，O、E分別BD、BC的中點,CA=CB=CD=BD=2（Ⅰ）求證：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求異面直線AB與CD所成角的大?。唬á螅┣簏cE到平面的距離.參考答案：方法一:

(1)證明：連結OC.

∵BO=DO,AB=AD,∴AO⊥BD.

∵BO=DO,BC=CD,∴CO⊥BD.

在△AOC中，由已知可得AO=1,CO=.

而AC=2,

∴AO2+CO2=AC2,

∴∠AOC=90°,即AO⊥OC.

∴AB平面BCD.（Ⅱ）取AC的中點M,連結OM、ME、OE，由E為BC的中點知ME∥AB,OE∥DC.∴直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角.在△OME中，是直角△AOC斜邊AC上的中線，∴∴∴異面直線AB與CD所成角的大小為（Ⅲ）設點E到平面ACD的距離為h.,∴·S△ACD=·AO·S△CDE.在△ACD中，CA=CD=2,AD=,∴S△ACD=而AO=1,S△CDE=∴h=∴點E到平面ACD的距離為.方法二：（Ⅰ）同方法一：（Ⅱ）以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，則B(1，0，0)，D(-1，0，0)，C(0，，0)，A(0,0,1),E(,,0),

∴∴異面直線AB與CD所成角的大小為（Ⅲ）設平面ACD的法向量為n=(x,y,z),則

∴

令y=1，得n=(-)是平面ACD的一個法向量.

又∴點E到平面ACD的距離

h=22.（2016?廣元一模）目前，埃博拉病毒在西非并逐漸蔓延，研究人員將埃博拉的傳播途徑結合飛機航班數(shù)據(jù)，埃博拉的潛伏時間等因素，計算出不限飛情況下，亞洲國家中印度、中國、阿聯(lián)酋、黎巴嫩在一個月后出現(xiàn)輸入性病例的概率分別是0.1、0.2、0.2、0.2，假定各地出現(xiàn)輸入性病例是彼此獨立的．（1）求上述四國中恰有1個國家出現(xiàn)輸入性病例的概率；（2）從上述四國中任選兩國調研疫情，求恰有一國選在西亞（阿聯(lián)酋、黎巴嫩），一國選在中國和印度的概率；（3）專家組擬按下面步驟進行疫情調研，每一步若出現(xiàn)輸入性病例，若出現(xiàn)則留下來研究，不在進行下一步調研；第一步，一次性選中國和印度兩個國家同時進行調研；第二步，在阿聯(lián)酋和黎巴嫩兩個國家中隨機抽取1個國家進行調研第三步，對剩下的一個國家進行調研．求該專家組調研國家個數(shù)的分布列和期望．參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列．【分析】（1）四國中恰有1個國家出現(xiàn)輸入性病例共有四種情況：選出一個國家出現(xiàn)輸入性病例而另外三個國家沒有出現(xiàn)輸入性病例，利用相互獨立和互斥事件的概率計算公式即可得出；（2）恰有一國選在西亞（阿聯(lián)酋、黎巴嫩）有種情況，一國選在中國和印度有中情況，因此共有種，而基本事件的總數(shù)為，利用古典概率的概率計算公式即可得出．（3）利用相互獨立和相互對立事件的概率計算公式可得第一步出現(xiàn)輸入性病例的概率=1﹣（1﹣0.1）×（1﹣0.2）；同理可得：若第一步?jīng)]有出現(xiàn)輸入性病例而第二步出現(xiàn)輸入性病例的概率=（1﹣0.1）×（1﹣0.2）×0.2×2；若第一步及第二不沒有出現(xiàn)輸入性病例而第三步出現(xiàn)輸入性病例的概率=1﹣0.28﹣0.288．【解答】解：（1）P=0.1×（1﹣0.2）3+（1﹣0.1）×0.2×（1﹣0.2）2×3=0.4096．（2）P==．（3）第一步出現(xiàn)輸入性病例的概率=1﹣（1﹣0.1）×（1﹣0.2）=0.28；若第一步?jīng)]有出現(xiàn)輸入性病例而