高中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第二輪極限、導(dǎo)數(shù)與復(fù)數(shù)(理).導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§9.2導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用考點(diǎn)核心整合1.導(dǎo)函數(shù)（導(dǎo)數(shù)）是一個(gè)特殊的函數(shù),它的引出和定義,始終貫穿著函數(shù)思想.2.求函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的兩種方法：導(dǎo)數(shù)定義法和導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)法。3.導(dǎo)數(shù)的意義：①幾何意義，f′(x0)是曲線y=f(x）在點(diǎn)P(x0,f(x0））處的切線的斜率;②物理意義,s′（t0）是當(dāng)物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程為s=s(t）時(shí),物體運(yùn)動(dòng)在時(shí)刻t0時(shí)的瞬時(shí)速度。4.要熟記常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),掌握兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。5。掌握可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的充要條件是導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)。鏈接·提示在相鄰兩區(qū)間單調(diào)性一致時(shí)，應(yīng)考查相鄰點(diǎn)函數(shù)是否連續(xù)。如函數(shù)y=x3的單調(diào)性.6。設(shè)函數(shù)f（x)在\［a,b\］上連續(xù)，在（a，b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x）在\[a,b\]上的最值步驟如下：(1）求f（x)在（a,b)內(nèi)的極值;(2）將f(x）的各極值與f(a)、f(b）比較,其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值。鏈接·拓展極值與最值有什么區(qū)別?提示:極值是相對(duì)于鄰域而言,它僅是極值點(diǎn)附近的局部范圍內(nèi)的相對(duì)大小，而最值是函數(shù)在給定區(qū)間上的全部函數(shù)值中最大(小)的值.極值是局部的概念，最值則是整體的概念。考題名師詮釋【例1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。(1）y=(+1）（-1）+ln；（2）y=cosn（x+）.解：（1）y=-+ln(1—x）—ln（1+x），y′=--+·(—1)-·=—(）。(2)y′=ncosn—1(x+)［cos（x+）］′=-ncosn-1（x+）sin（x+)·（x+）′=—ncosn—1(x+)sin(x+）·［1+(1+x2)′]=-ncosn-1(x+)sin(x+）·（1+)。評(píng)述:在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)可不寫中間變量而直接對(duì)x求導(dǎo)，對(duì)多次復(fù)合的函數(shù)求導(dǎo)時(shí)要把握由外向里逐次求導(dǎo)?！纠?】設(shè)函數(shù)f（x）=ax-（a+1）ln(x+1),其中a≥-1。求f（x）的單調(diào)區(qū)間.解:由已知得：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），且f′(x)=(a≥—1）。(1）當(dāng)—1≤a≤0時(shí)，f′（x)＜0,函數(shù)f（x）在（—1，+∞）上單調(diào)遞減。(2)當(dāng)a＞0時(shí),由f′（x)＞0，得x＞;由f′（x)＜0得,—1＜x＜.綜上所述,當(dāng)—1≤a≤0時(shí),函數(shù)f（x)在(—1，+∞）上單調(diào)遞減；當(dāng)a＞0時(shí),函數(shù)f（x）在（-1，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增。【例3】已知函數(shù)f(x）=x3+bx2+cx+1在區(qū)間（-∞，—2］上單調(diào)遞增，在區(qū)間［-2，2］上單調(diào)遞減，且b≥0。（1）求f（x)的表達(dá)式；（2）設(shè)0＜m≤2，若對(duì)任意的x1、x2∈［m-2,m］，不等式|f(x1）-f(x2)｜≤16m恒成立,求實(shí)數(shù)m的最小值.解：（1)由題意知x=—2是該函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，由于f′(x)=3x2+2bx+c，∴f′（—2）=0，即:12—4b+c=0，又f（x)在［-2，2］上單調(diào)遞減,∴f′（x)=3x2+2bx+c在［-2,2］上恒有f（x)≤0，∴f′（2)≤0，即：12+4b+c≤0.∴12+4b+4b—12≤0,∴b≤0,又b≥0，∴b=0，c=—12,f(x）=x3-12x+1.（2)∵f′（x）=3x2-12=3(x—2）(x+2),0＜m≤2，而當(dāng)m-2≤x≤m時(shí)，0〈m≤x+2≤m+2，m-4≤x-2≤m—2≤0，∴f′（x)≤0（x∈［m-2,m］).因此f(x）為[m-2，m]上的減函數(shù)，∴對(duì)任意x1，x2∈[m-2，m］都有|f（x1）-f(x2）|≤［f（x）］max-［f(x）］min=f（m—2)-f(m）,=—6m2+12m+16≤16m,∴m≥即mmin=。【例4】已知函數(shù)f(x）=,x∈[0,1］。（1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和值域；（2)設(shè)a≥1,函數(shù)g（x）=x3-3a2x—2a，x∈［0，1］，若對(duì)于任意x1∈［0,1］,總存在x0∈［0,1］，使得g（x0)=f(x1）成立，求a的取值范圍.解：（1）對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo),得f′（x)=.令f′(x)=0,解得x=或x=。當(dāng)x變化時(shí)，f′(x）、f(x)的變化情況如下表：x0（0，）（，1）1f′（x）—0+f（x）↘—4↗—3所以,當(dāng)x∈(0，)時(shí),f(x)是減函數(shù)；當(dāng)x∈（,1）時(shí)，f(x）是增函數(shù).當(dāng)x∈［0,1]時(shí)，f（x)的值域?yàn)椋?4，-3].(2)對(duì)函數(shù)g（x)求導(dǎo)，得g′(x）=3(x2-a2)。因?yàn)閍≥1,當(dāng)x∈（0，1）時(shí),g′（x)＜3（1-a2）≤0,因此當(dāng)x∈（0，1）時(shí),g（x）為減函數(shù)，從而當(dāng)x∈[0，1］時(shí)，有g(shù)（x)∈[g（1）,g（0）]。又g(1)=1—2a-3a2，g(0)=—2a,即當(dāng)x∈［0，1］時(shí)，有g(shù)（x）∈[1-2a—3a2,-2a］。任給x1∈［0，1］,f（x1）∈［-4,-3］,存在x0∈[0，1］使得g(x0）=f(x1），則[1—2a—3a2,-2a］［—4,—3］,即解①式得a≥1或a≤-；解②式得a≤。