2022-2023學年江蘇省泰州市高一年級下冊學期第一次階段檢測數(shù)學試題【含答案】

高一年級2023年春學期第一次階段檢測數(shù)學試題一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)1.已知向量，，且，那么等于（）A.(4，0) B.(0，4) C.(3，－6) D.(－3，6)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)共線向量的性質(zhì)，結(jié)合平面向量減法的坐標表示公式進行求解即可.【詳解】解析∵，∴則得∴，∴＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6).故選：C2.已知均為單位向量，它們的夾角為，那么A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】.所以3.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式求解．【詳解】．故選：B．4.八角星紋是大汶口文化中期彩陶紋樣中具有鮮明特色的花紋.八角星紋常繪于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈紅色底襯，然后在上面繪并列的八角星形的單獨紋樣.八角星紋以白彩的成，黑線勾邊，中為方形或圓形，且有向四面八方擴張的感覺.八角星紋延續(xù)的時間較長，傳播范圍亦廣，在長江以南的時間稍晚的崧澤文化的陶豆座上也屢見刻有八角大汶口文化八角星紋.圖2是圖1抽象出來的圖形，在圖2中，圓中各個三角形（如）為等腰直角三角形，點為四心，中間部分是正方形且邊長為2，定點，所在位置如圖所示，則的值為（）A.10 B.12 C.14 D.16【答案】C【解析】【分析】利用轉(zhuǎn)化法得，展開利用向量數(shù)量積的定義并代入相關(guān)數(shù)據(jù)即可.【詳解】如圖所示：連接，

因為中間陰影部分是正方形且邊長為2，且圖中各個三角形為等腰直角三角形，所以可得，，，則，.故選：C.5.已知向量，，則在上的投影向量的模為（）A.2 B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】求出在上的投影向量的坐標，從而求出投影向量的模．【詳解】∵，，∴，，∴在上的投影向量為，則在上的投影向量的模為．故選：C．6.已知，滿足，與的夾角為，記，則的最小值為（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件，其中，則起點相同，且終點共線，采取數(shù)形結(jié)合法進行解決.【詳解】如圖，，，則，則，因為，其中，則與共起點，且終點共線，即在直線AB上，于是（即為，其中）時，最小，最小值為.故選：A.7.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，，兩式平方相加得到，根據(jù)，得到代入求解.【詳解】因為，，所以兩式平方相加得，即，又因為，所以，即，，將代入，得，即，所以，∴.故選：D.8.在中，角，都是銳角，且，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件由誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得，再由展開表示為關(guān)于的函數(shù)，利用基本不等式即可求最值.【詳解】由，可得，所以，所以，即，所以，所以，因為角，都是銳角，所有，，所以，當且僅當即時等號成立，所以，所以的最大值是，故選：D.二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分)9.下列說法正確的是（）A.向量與共線是四點共線的必要不充分條件B.若，則存在唯一實數(shù)使得C.已知，，則與+的夾角為銳角的充要條件是D.在中，為的中點，若，則是在上的投影向量【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)向量共線和必要不充分條件定義可判斷A；根據(jù)向量共線充要條件可判斷B；當時，，此時與的夾角為，可判斷C；由平面向量加法和已知條件可得為的平分線，又因為為的中線，所以，可判斷D．【詳解】對于A：A，B，C，D四點共線向量與共線，反之不成立，可能，不一定四點共線，所以A正確；對于B：當，時，不存在實數(shù)使得，當，時，存在無數(shù)個實數(shù)使得，故B錯誤；對于C：當時，，此時與的夾角為，不是銳角，故C錯誤；對于D：由平面向量加法可知，表示：與的平分線表示的向量平行的向量，因為，所以為的平分線，又因為為的中線，所以，所以是在的投影向量，故D正確.故選：AD.10.下列各式中，值為的有（）A.sin7°cos23°+sin83°cos67° B.4sin10°cos20°cos40°C. D.【答案】ABD【解析】【分析】對于A，由誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式化簡求值；對于B，用二倍角公式化簡求值；對于C，由二倍角公式及輔助角公式化簡求值；對于D，先去括號，由兩角和的正切公式化簡求值.【詳解】，故A正確；，故B正確；，故C錯誤；對D，，故D正確.故選：ABD.11.如圖所示，中，AB＝3，AC＝2，，點M為線段AB中點，N在線段BC上，且，連接CM與AN相交于P，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】中，由余弦定理求得可判斷A；由可得，兩邊平方可求得，可判斷D；在中，由余弦定理求得，可判斷B；由共線可得，由共線得，從而且，解得，可判斷C.【詳解】中，AB＝3，AC＝2，，由余弦定理得，，故A錯誤；∵，∴，∴，∴，∴，故D正確；在中，，∴，故B正確；∵共線，∴，∴，∴，∵共線，，∵不共線，∴且，解得，∴，故C錯誤.故選：BD.12.已知奇函數(shù)的最小正周期為，將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，則下列說法中正確的有（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B.當時，函數(shù)的最小值是C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D.當若函數(shù)有且僅有2個零點，則所有零點之和為【答案】ABD【解析】【分析】利用輔助角公式化簡的解析式，根據(jù)其奇偶性和最小正周期以及即可求得的值，再根據(jù)圖象平移求出的解析式，驗證時是否取最值即可判斷A；根據(jù)，結(jié)合的解析式利用整體代換和三角函數(shù)性質(zhì)可求得其最小值，即得B正確；當，由整體代換和三角函數(shù)圖象的單調(diào)性可判斷C錯誤；分別求出函數(shù)在上的所有零點，即可得D正確.【詳解】由，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，所以，又因為，所以.由函數(shù)的最小正周期為，可得，即；故；將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)；因為，所以是函數(shù)的一條對稱軸，即A正確；當，，由正弦函數(shù)性質(zhì)可得，所以當時，函數(shù)的最小值是，即B正確；當時，，根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性可得，函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，所以C錯誤；當時，令，可得；此時兩零點之和為，即D正確.故選：ABD三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13.已知的坐標分別是和，若P在直線AB上，且，則P的坐標為________.【答案】或【解析】【分析】設(shè)的坐標為，則，，分兩種情況討論：當P在線段AB上時，；當P在線段AB的延長線上時，，結(jié)合向量的坐標運算求解即可．【詳解】設(shè)的坐標為，則，，當P在線段AB上時，，，即，解得，即點的坐標為．當P在線段AB的延長線上時，，，即，解得，即點的坐標為．綜上，點的坐標為或．故答案為：或．14.，則_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)同角關(guān)系式，誘導(dǎo)公式及兩角差的正弦公式，由計算即可.【詳解】，，又，，，所以，則.故答案為：.15.設(shè)α、β都是銳角，且，則____________.【答案】【解析】【分析】由α是銳角，求出的值，再由β是銳角，得出的值，將角轉(zhuǎn)化成，利用兩角和差的余弦公式化簡計算，并驗證即可.【詳解】因為α是銳角，，所以，因為β是銳角，所以，又，所以，所以當時，，此時，即，與矛盾，舍去，當時，，符合要求故答案為：【點睛】本題主要考查了兩角和與差的正余弦公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系，屬于中檔題，熟練掌無公式并應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.16.在中，，為鈍角，M，N是邊AB上的兩個動點，且，若的最小值為3，則_________．【答案】【解析】【分析】取線段MN的中點P，結(jié)合向量數(shù)量積求出邊AB上的高CO，進而求出的正余弦即可求解作答.【詳解】取線段MN的中點P，連接CP，過C作于O，如圖，，依題意，，因的最小值為3，則的最小值為2，因此，在中，，，在中，，，所以.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及定長線段兩端點向量數(shù)量積，取線段的中點，借助向量數(shù)量積的計算公式求解是關(guān)鍵.四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.已知，.在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答問題.（1）若________，求實數(shù)的值；（2）若向量，且，求.【答案】（1）選①：，選②：，選③：；（2）.【解析】【分析】（1）求出和的坐標，選①由向量平行的坐標表示列方程，解方程即可求解；選②由向量垂直的坐標表示列方程，解方程即可求解；選③由平面向量模長的坐標運算列方程，解方程即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)平面向量線性運算的坐標運算建立方程組，即可求解；【詳解】因為，所以，，選①：（1）因為，所以；即，解得；（2），所以，可得，所以，所以；選②：（1）因為，所以；即，解得：；（2），所以，可得，所以，所以；選③：（1）因為，所以，即，解得：；（2），所以，可得，所以，所以.18.已知，且，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函數(shù)關(guān)系式可求得，根據(jù)，利用兩角和的正弦公式可求得結(jié)果；（2）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式可求得，由，結(jié)合兩角差的余弦公式和的范圍可求得結(jié)果.【小問1詳解】，，，；【小問2詳解】，，，，，，.19.已知向量，，設(shè).（1）若，求當取最小值時實數(shù)的值;（2）若，問:是否存在實數(shù)，使得向量與向量的夾角為?若存在，求出實數(shù);若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）由題意可得，，從而可得，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案，（2）由題意可得，再由可得，從而可求得，的值，從而可求出實數(shù)的值【詳解】（1）當時，，則，∴=，∴當時，取得最小值.（2）假設(shè)存在滿足條件的實數(shù)t.由條件得，∵，∴=，=，，∴.∴，且，得.∴存在滿足條件.20.如圖，在平面直角坐標系中，點，是以為直徑的上半圓弧上兩點（點在的右側(cè)），點為半圓的圓心，已知，，.（1）若點的橫坐標為，點的縱坐標為，求的值；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）計算，，，，利用和差公式計算得到答案.（2），故，，，計算得到答案.【詳解】（1）根據(jù)題意：，，，，故，，故.（2），故，故，.，，故.，則，故.【點睛】本題考查了三角恒等變換，向量的數(shù)量積，意在考查學生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.21.如圖，某污水處理廠要在一個矩形污水處理池ABCD池底水平鋪設(shè)污水凈化管道（三條邊）來處理污水，管道越長，污水凈化效果越好.要求管道的接口H是AB的中點，E，F(xiàn)分別落在線段BC，AD上（含線段兩端點），已知米，米，.（1）設(shè)的周長為L，求L關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出定義域；（2）為何值時，污水凈化效果最好？【答案】（1），（2）或【解析】【分析】（1）利用直角三角形中邊角關(guān)系求得邊長，進而得L關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，由求出定義域；（2）由（1）得，令，結(jié)合輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)求得答案.【小問1詳解】由題意得，，則，，∴，∵，，∴，∴，∴，.【小問2詳解】由（1）得，，設(shè)，則，，∴，∵，∴，則，∴在上單調(diào)遞減，∴當時，即或時，污水凈化效果最好22.已知向量，，函數(shù)，.（1）若的最小值為-1，求實數(shù)的值；（2）是否存在實數(shù)，使函數(shù)，有四個不同的零點？若