2022-2023學(xué)年遼寧省沈陽市五校聯(lián)考高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年遼寧省沈陽市五校聯(lián)考高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求得的值.【詳解】又，則，則故選：D2．圓的一條弧的長度等于圓內(nèi)接正六邊形的邊長，則這條弧所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】首先求弧長，再根據(jù)圓心角公式，即可求解.【詳解】設(shè)圓的半徑為r，由于圓內(nèi)接正六邊形每條邊長對(duì)應(yīng)的圓心角為，則圓內(nèi)接正六邊形的邊長為r，所以這條弧長所對(duì)的圓心角為.故選：A3．已知，則A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：【解析】同角間三角函數(shù)關(guān)系4．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用誘導(dǎo)公式以及二倍角的余弦公式即可求解.【詳解】，所以，故選：B5．在中，若O為外接圓的圓心，則的值為（

）A．-16 B．-8 C．8 D．16【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合圓的性質(zhì)計(jì)算作答.【詳解】取AB，AC的中點(diǎn)D，E，連接，如圖，當(dāng)圓心O與點(diǎn)E不重合時(shí)，則OD⊥AB，OE⊥AC，，則＝，當(dāng)圓心O與點(diǎn)E重合時(shí)，，，所以.故選：D.6．已知，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由可得，然后利用兩角和與差的正弦公式展開化簡可得，由可得，代入化簡得，由題意可知，所以，再結(jié)合的范圍可求得結(jié)果【詳解】由題意可知，，可化為，展開得，則，因?yàn)?，，且，所以，則，且，所以，當(dāng)時(shí)不滿足題意，所，因?yàn)椋?，則，故選：A.7．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的最小正周期是B．的值域是C．直線是函數(shù)圖像的一條對(duì)稱軸D．的遞減區(qū)間是，【答案】D【解析】根據(jù)函數(shù)的解析式，得到其最小正周期，值域，對(duì)稱軸和遞減區(qū)間，然后對(duì)四個(gè)選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷，得到答案.【詳解】函數(shù)所以函數(shù)的最小正周期，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由解析式可知，所以的值域?yàn)?，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，不是函數(shù)圖像的對(duì)稱軸，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤.令，，可得，，的遞減區(qū)間是，，所以選項(xiàng)D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查正切型函數(shù)的周期、值域、對(duì)稱性和單調(diào)區(qū)間，屬于簡單題.8．中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn)．一般情況下，折扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形制作而成，如圖，設(shè)扇形的面積為，其圓心角為，圓面中剩余部分的面積為，當(dāng)與的比值為時(shí)，扇面為“美觀扇面”，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）（參考數(shù)據(jù)：）

A．B．若，扇形的半徑，則C．若扇面為“美觀扇面”，則D．若扇面為“美觀扇面”，扇形的半徑，則此時(shí)的扇形面積為【答案】D【分析】求得判斷選項(xiàng)A；求得滿足條件的的值判斷選項(xiàng)B；求得滿足條件的的值判斷選項(xiàng)C；求得滿足條件的扇形面積的值判斷選項(xiàng)D.【詳解】扇形的面積為，其圓心角為，半徑為R，圓面中剩余部分的面積為，選項(xiàng)A：.故A正確；選項(xiàng)B：由，可得，解得，又扇形的半徑，則.故B正確；選項(xiàng)C：若扇面為“美觀扇面”，則，解得.故C正確；選項(xiàng)D：若扇面為“美觀扇面”，則，又扇形的半徑，則此時(shí)的扇形面積為.故D錯(cuò)誤.故選：D二、多選題9．下列各式的值等于的有（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】利用二倍角的正弦公式分析A；利用二倍角的余弦公式的變形式分析BC；利用二倍角的正切公式分析D.【詳解】因?yàn)椋蔄的值等于；因?yàn)椋蔅的值不等于；因?yàn)?，故C的值等于；因?yàn)?，故D的值不等于，故選：AC.10．已知，則下列命題正確的有（

）A．若，則 B．的最大值為2C．存在，使 D．的最大值為3【答案】BCD【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式即可求解AB，當(dāng)同向時(shí)，則有，將轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題即可求解.【詳解】依題意，對(duì)于A：，即，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由A知，所以當(dāng)時(shí)，有最大值2，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，，所以，，所以，故C正確；對(duì)于D：，所以，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值9，所以的最大值為3，故D正確.故選：BCD.11．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，下列說法正確的是（

）

A．的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱C．將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖像D．若方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是【答案】BCD【分析】根據(jù)圖中的信息求出，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)分析.【詳解】由圖可知：，的周期，當(dāng)時(shí)，，，；對(duì)于A，，錯(cuò)誤；對(duì)于B，，正確；對(duì)于C，將向右平移：，正確；對(duì)于D，的大致圖像如下：

欲使得在內(nèi)方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則，正確；故選：BCD.12．平面向量滿足，對(duì)任意的實(shí)數(shù)t，恒成立，則（

）A．與的夾角為 B．為定值C．的最小值為 D．在上的投影向量為【答案】AD【分析】由題意可得：與的夾角，然后根據(jù)向量的運(yùn)算逐項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)即可求解.【詳解】設(shè)平面向量與的夾角為，因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)t，恒成立，即恒成立，又，也即對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，所以，則，所以，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，因?yàn)殡S的變化而變化，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)椋啥魏瘮?shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，取最小值，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，向量上的一個(gè)單位向量，由向量夾角公式可得：，由投影向量的計(jì)算公式可得：在上的投影向量為，故選項(xiàng)正確，故選：.三、填空題13．若向量，已知與的夾角為鈍角，則k的取值范圍是________．【答案】【分析】根據(jù)與的夾角為鈍角，由，且與的不共線求解.【詳解】解：由，得．又與的夾角為鈍角，∴，得，若，則，即．當(dāng)時(shí)，與共線且反向，不合題意．綜上，k的取值范圍為，故答案為：．14．若時(shí)，函數(shù)取得最小值，則____．【答案】/【分析】利用題給條件列出關(guān)于的方程，解之即可求得的值.【詳解】（）時(shí)，函數(shù)取得最小值，則，則，則，解之得故答案為：15．一半徑為3.6米的水輪如圖所示，水輪圓心距離水面1.8米．已知水輪按逆時(shí)針做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每60秒轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)從水面浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)位置）開始計(jì)時(shí)，則P點(diǎn)離開水面的高度h關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)解析式為____．

【答案】【分析】先設(shè)P點(diǎn)離開水面的高度h關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)解析式為，再利用題給條件求得各參數(shù)值，即可得到該解析式.【詳解】P點(diǎn)離開水面的高度h關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)解析式可設(shè)為由題給條件可得，，解之得水輪按逆時(shí)針做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每60秒轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，則運(yùn)動(dòng)周期為60秒，則，又，，則則故答案為：16．如圖所示,正方形邊長為6,圓的半徑為1,是圓上任意一點(diǎn),則的最小值為________.【答案】【分析】以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,然后結(jié)合三角函數(shù)的定義將所求向量坐標(biāo)化,就可以求出最值.【詳解】如圖以為原點(diǎn)坐標(biāo),為軸,為軸建立直角坐標(biāo)系:則,,設(shè),,則,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.∴的最小值為.故答案為:.四、解答題17．已知向量與的夾角，且，．(1)求；(2)與的夾角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由向量數(shù)量積定義及運(yùn)算律求結(jié)果；（2）由向量夾角公式、數(shù)量積的運(yùn)算律求夾角余弦值.【詳解】（1）已知向量與的夾角，且，，則，所以；（2）由（1）知：，所以，所以與的夾角的余弦值為.18．已知、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)求的值；(3)若，求的值.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）根據(jù)韋達(dá)定理及同角關(guān)系式即得；（2）根據(jù)同角關(guān)系式化簡即得；（3）由題可得，然后利用二倍角公式即得.【詳解】（1）因?yàn)?、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理得，由，則，所以；（2）；（3）因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，，，所?19．已知，，，，求：(1)的值；(2)的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先由已知條件判斷的范圍，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，則由利用兩角差的余弦公式可求得，（2）由同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，從而可求得的值，再利用正切的二倍角公式可求得的值.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，，所以，，所?（2）因?yàn)?，，所以，所以，所?20．已知，函數(shù)．（1）求的對(duì)稱軸方程；（2）求使成立的x的取值集合；（3）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式及三角恒等變換，化簡得，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解函數(shù)的對(duì)稱軸方程；（2）由，得到，即可求得x的取值集合；（3）由,則，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)的最大值，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由題意，向量，可得，令，解得，所以函數(shù)的對(duì)稱軸方程為.（2）由，可得，即，故，解得，所以x的取值集合為.（3）因?yàn)?則，又因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，則，又因?yàn)樗栽跁r(shí)的最大值是，又由恒成立，可得，即，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，其中解答熟記向量的數(shù)量積的運(yùn)算求得函數(shù)的解析，合理應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.21．某公司欲生產(chǎn)一款迎春工藝品回饋消費(fèi)者，工藝品的平面設(shè)計(jì)如圖所示，該工藝品由直角和以為直徑的半圓拼接而成，點(diǎn)為半圓上一點(diǎn)（異于BC），點(diǎn)在線段AB上，且滿足．已知，，設(shè)．

(1)為了使工藝禮品達(dá)到最佳觀賞效果，需滿足，且達(dá)到最大．當(dāng)為何值時(shí)，工藝禮品達(dá)到最佳觀賞效果，并求最大值；(2)為了工藝禮品達(dá)到最佳穩(wěn)定性便于收藏，需滿足，且達(dá)到最大．當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值，并求該最大值．【答案】(1)，的最大值為(2)，達(dá)到最大值【分析】（1）設(shè)，則在直角中，，，計(jì)算得到，計(jì)算最值得到答案.（2）計(jì)算，得到，得最值.【詳解】（1）設(shè)，則在直角中，，.在直角中，，.，，所以當(dāng)，即，的最大值為.（2）在直角中，由，可得.在直角中，，所以，，所以，所以當(dāng)，達(dá)到最大值.22．已知函數(shù)，其中常數(shù)．（1）在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若，將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，且過，若函數(shù)在區(qū)間（，且）滿足：在上至少含30個(gè)零點(diǎn)，在所上滿足上述條件的中，求的最小值；（3）在（2）問條件下，若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】(1)由二倍角正弦公式化簡原函數(shù)，即知最小正周期，找到其中一個(gè)遞增區(qū)間，由已知區(qū)間屬于遞增區(qū)間列不等式組求的范圍即可；(2)根據(jù)函數(shù)圖象平移得到，由其過P點(diǎn)且求出值，在上至少含30個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)分析即可知的最小值；(3)由不等式恒成立，令，即成立即可求的范圍【詳解】解（1）由題意，有，又則最小正周期由正弦函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)，函數(shù)取得最小值，函數(shù)取得最大值∴是函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則且解得（2）∵由（1）：∴將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象∵的圖象過．∴，可得：，解得：，，即：，，∵∴，可得的解析式為：∴的周期為在區(qū)間（，且）滿足：在上至少有30個(gè)零點(diǎn)，即在上至少有30個(gè)解．∴有或