離散型隨機(jī)變量及其分布列

2.1離散型隨機(jī)變量及其分布列一.隨機(jī)事件：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件二、隨機(jī)事件的概率一般地，在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率總是接近于某個(gè)常數(shù)，在它附近擺動(dòng)，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事件A的概率，記作P（A）知識(shí)回顧幾點(diǎn)說明：（1）求一個(gè)事件的概率的基本方法是通過大量的重復(fù)試驗(yàn)（2）概率可看作頻率在理論上的期望值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，頻率在大量重復(fù)試驗(yàn)的前提下可近似地作為這個(gè)事件的概率（3）必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，因此一個(gè)試驗(yàn)如果滿足下述條件：（1）試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）試驗(yàn)的所有結(jié)果是明確的且不止一個(gè)；（3）每次試驗(yàn)總是出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個(gè)，但在試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果。這樣的試驗(yàn)就叫做一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，也簡稱試驗(yàn)。三；隨機(jī)試驗(yàn)古典概型特點(diǎn)：

1、實(shí)驗(yàn)的樣本空間只包括有限個(gè)元素；

2、實(shí)驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同；

具有以上兩個(gè)特點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)是大量存在的，這種實(shí)驗(yàn)叫等可能概型，也叫古典概型。

求古典概型的概率的基本步驟：

（1）算出所有基本事件的個(gè)數(shù)n；

（2）求出事件A包含的所有基本事件數(shù)m；

（3）代入公式P(A)=m/n，求出P（A）。

如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例.則稱這樣的概率模型為幾何概率模型(geometricmodelsofprobability),簡稱幾何概型.P(A)=構(gòu)成事件的區(qū)域長度(面積或體積)試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度(面積或體積)幾何概型的特點(diǎn)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個(gè)；每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等古典概型與幾何概型的區(qū)別相同：兩者基本事件發(fā)生的可能性都是相等的；不同：古典概型要求基本事件有有限個(gè)，幾何概型要求基本事件有無限多個(gè)想一想：那么，如何用數(shù)學(xué)語言來清楚地刻畫每個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律呢？離散型隨機(jī)變量例(1)某人射擊一次，可能出現(xiàn)哪些結(jié)果？可能出現(xiàn)命中0環(huán)，命中1環(huán)，…，命中10環(huán)等結(jié)果，即可能出現(xiàn)的結(jié)果（環(huán)數(shù)）可以由0，1，……10這11個(gè)數(shù)表示；

其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件，即可能出現(xiàn)的結(jié)果(次品數(shù))可以由0，1，2，3，4這5個(gè)數(shù)表示(2)某次產(chǎn)品檢驗(yàn)，在含有4件次品的100件產(chǎn)品中任意抽取4件，那么其中含有的多少件次品？一、隨機(jī)變量

的概念在隨機(jī)試驗(yàn)中，我們確定一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果都用一個(gè)確定的數(shù)字表示，在這種對(duì)應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化。我們把這種變量稱為隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用字母X，Y，z等表示．或ξ,η隨機(jī)變量：隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量。常用字母…表示。注：(1)可以用數(shù)表示；(2)試驗(yàn)之前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值;(3)在試驗(yàn)之前不可能確定取何值。隨機(jī)變量和函數(shù)有沒有類似的地方？若有，你認(rèn)為它們有哪些類似的地方？探究隨機(jī)變量與函數(shù)有類似的地方嗎？隨機(jī)變量和函數(shù)都是一種映射，隨機(jī)變量把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果映為實(shí)數(shù)，函數(shù)把實(shí)數(shù)映為實(shí)數(shù)。在這兩種映射之間，試驗(yàn)結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域。我們把隨機(jī)變量的取值范圍叫做隨機(jī)變量的值域。在上面的射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，我們可以一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．電燈泡的使用壽命X是離散型隨機(jī)變量嗎？連續(xù)型隨機(jī)變量.如果隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值,這樣的隨機(jī)變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.例如:某林場樹木最高達(dá)30米，則此林場樹木的高度是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量。

注3：若是隨機(jī)變量，則（其中a、b是常數(shù)）也是隨機(jī)變量．注1：隨機(jī)變量分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。注2：某些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果不具備數(shù)量性質(zhì)，但仍可以用數(shù)量來表示它。拋擲一枚骰子，設(shè)得到的點(diǎn)數(shù)為ξ，則ξ可能取的值有：ξ123456p此表從概率的角度指出了隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗(yàn)中取值的分布情況，稱為隨機(jī)變量ξ的概率分布.

離散型隨機(jī)變量的分布列1，2，3，4，5，6ξ取每一個(gè)xｉ（ｉ＝1，2，……）的概率P（ξ＝xｉ）＝Ｐｉ①，則稱①為隨機(jī)變量ξ的概率分布列，簡稱為ξ的分布列.

離散型隨機(jī)變量的分布列一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ可能取的值為：x1，x2，……，xｉ，……．ξＸ1Ｘ2…Ｘｉ…ＰＰ1Ｐ2…Ｐｉ…也可將①用表的形式來表示上表稱為隨機(jī)變量ξ的概率分布表，它和①都叫做隨機(jī)變量ξ的概率分布.2.分布列的構(gòu)成:⑴列出隨機(jī)變量ξ的所有取值;⑵給出ξ的每一個(gè)取值的概率．3.分布列的性質(zhì):Ｘ01P1/21/2例1(1)擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，用X表示擲得正面的次數(shù)，則隨機(jī)變量X的可能取值有那些？例1(2)一實(shí)驗(yàn)箱中裝有標(biāo)號(hào)為１，２，３，３，４的五只白鼠，從中任取一只，記取到的白鼠的標(biāo)號(hào)為Y的可能取值有那些？Y1234P1/51/52/51/53.拋擲一個(gè)骰子,設(shè)得到的點(diǎn)數(shù)為ξ,則ξ的取值情況如何?ξ取各個(gè)值的概率分別是什么?ξp2134564.連續(xù)拋擲兩個(gè)骰子,得到的點(diǎn)數(shù)之和為ξ,則

ξ取哪些值?各個(gè)對(duì)應(yīng)的概率分別是什么?ξP42356789101112例２.從裝有６只白球和４只紅球的口袋中任取一只球，用X表示“取到的白球個(gè)數(shù)”，即Ｘ０１Ｐ２/５３/５求隨機(jī)變量X的概率分布特殊的分布:“0-1”分布(兩點(diǎn)分布)：特點(diǎn):隨機(jī)變量X的取值只有兩種可能記法:X～0-1分布或X～兩點(diǎn)分布“～”表示服從例３同時(shí)擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察朝上一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求兩顆骰子中出現(xiàn)的最大點(diǎn)數(shù)X的概率分布，并求X大于２小于５的概率p（2＜x<5)X123456P1/363/365/367/369/3611/36練習(xí).某一射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下:0.22100.2990.280.090.060.040.02P87654ξ求(1)P(ξ≥7);(2)P(5≤ξ≤8);(3)P(ξ≥2).例.設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為,則a的為

．例.設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列如下：P4321ξ則a的值為

．例.從一批有10個(gè)合格品與3個(gè)次品的產(chǎn)品中,一件一件地抽取產(chǎn)品,設(shè)各個(gè)產(chǎn)品被抽到的可能性相同.每次抽取出的產(chǎn)品都不放回此批產(chǎn)品,求直到取出一個(gè)合格品為止時(shí)所需抽取次數(shù)X的概率分布表.變式1.從一批有10個(gè)合格品與3個(gè)次品的產(chǎn)品中,一件一件地抽取產(chǎn)品,設(shè)各個(gè)產(chǎn)品被抽到的可能性相同.每次取出的產(chǎn)品都立即放回此批產(chǎn)品,然后再取，求直到取出一個(gè)合格品時(shí)所需抽取次數(shù)Y的概率分布表.變式2.從一批有10個(gè)合格品與3個(gè)次品的產(chǎn)品中,一件一件地抽取產(chǎn)品,設(shè)各個(gè)產(chǎn)品被抽到的可能性相同.每次取出一件次品后，總有一件合格品放進(jìn)此批產(chǎn)品中,求直到取出一個(gè)合格品為止時(shí)所需抽取次數(shù)Z的概率分布表.例.某同學(xué)向如圖所示的圓形靶投擲飛鏢，飛鏢落在靶外的概率為0.1，飛鏢落在靶內(nèi)的各個(gè)點(diǎn)是隨機(jī)的.已知圓形靶中三個(gè)圓為同心圓，半徑分別為20cm，10cm，5cm，飛鏢落在不同區(qū)域的環(huán)數(shù)如圖所示，設(shè)這位同學(xué)投擲一次得到的環(huán)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列1089例.一個(gè)袋中裝有黑球和白球共7個(gè)，從中任取2個(gè)球都是白球的概率為1/7，現(xiàn)在甲、乙兩人從袋中輪流摸取一球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時(shí)即終止，每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的(1)求袋中原有白球的個(gè)數(shù)；(2)用X表示取球終止時(shí)所需要的取球次數(shù)，求隨機(jī)變量X的概率分布；(3)求甲取到白球的概率；例.某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18,19,20層?？?，若該電梯在底層載有5位乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率均為1/3，用X表示這5位乘客在第20層下電梯的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來