大氣運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性

大氣運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性第一頁(yè)，共二十頁(yè)，編輯于2023年，星期日前一章，我們考慮的是振幅不變、波動(dòng)的頻率或相速都是實(shí)數(shù)的波動(dòng)。實(shí)際上更常見(jiàn)的是，大氣中的運(yùn)動(dòng)或擾動(dòng)是此消彼長(zhǎng)，有的在發(fā)展興旺，有的則趨衰減消亡，永無(wú)停息。即波動(dòng)的振幅常常是不斷變化（發(fā)展或衰減）的

。

實(shí)際大氣中已經(jīng)充分發(fā)展的有限振幅擾動(dòng)可以看作是疊加在某種基本氣流上的小擾動(dòng)在一定條件下不穩(wěn)定發(fā)展的結(jié)果。本章將要討論的大氣運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性問(wèn)題。大氣長(zhǎng)波（Rossby波）的正壓穩(wěn)定性與斜壓穩(wěn)定性、慣性穩(wěn)定性和對(duì)稱(chēng)穩(wěn)定性等

。第二頁(yè)，共二十頁(yè)，編輯于2023年，星期日§8.1運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的基本概念

1、運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性問(wèn)題要研究的是疊加在給定基本氣流上的小擾動(dòng)的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)問(wèn)題。當(dāng)給定的基本氣流受到微小擾動(dòng)時(shí)：（1）擾動(dòng)將保持其小振幅不變或者趨于衰減消亡。這時(shí)，稱(chēng)基本流對(duì)這種擾動(dòng)是穩(wěn)定的，或者說(shuō)擾動(dòng)是穩(wěn)定的。有時(shí)稱(chēng)擾動(dòng)振幅保持不變的情形為中性或中性穩(wěn)定；（2）擾動(dòng)將隨時(shí)間不斷增長(zhǎng)。這時(shí)稱(chēng)擾動(dòng)是不穩(wěn)定的。2、研究穩(wěn)定性問(wèn)題的方法

“氣塊法”、“正規(guī)模（NormalMode）法”和“整體方法”等?！罢w方法”包括“能量學(xué)方法”及“李雅譜洛夫方法”。本章將只限于用氣塊法和正規(guī)模法。第三頁(yè)，共二十頁(yè)，編輯于2023年，星期日“氣塊法”著眼于考慮一定背景場(chǎng)（介質(zhì)）中的氣塊受擾離開(kāi)平衡位置后的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)。在某些特定的情況下，例如討論靜力穩(wěn)定度或浮力振動(dòng)時(shí)，采用氣塊法非常簡(jiǎn)便明了。在討論大氣波動(dòng)穩(wěn)定性時(shí)，另一種常用方法是所謂的“正規(guī)模方法”或“標(biāo)準(zhǔn)波型法”。即將穩(wěn)定性問(wèn)題歸結(jié)為微分方程初值問(wèn)題的解是隨時(shí)間增長(zhǎng)（不穩(wěn)定）還是趨于定常（穩(wěn)定）的問(wèn)題。設(shè)微小擾動(dòng)量q’的單波特解是x方向傳播的波：一般地，頻率和波速可以分別表為：

第四頁(yè)，共二十頁(yè)，編輯于2023年，星期日于是,波的振幅A和傳播速度Cr可分別表為:

因此，由于振幅因子的出現(xiàn),波的振幅將有三種可能的變化趨勢(shì):當(dāng)（）時(shí)，振幅將隨時(shí)間呈指數(shù)增長(zhǎng)，稱(chēng)此為不穩(wěn)定(增長(zhǎng))波。當(dāng)（）時(shí)，振幅將隨時(shí)間呈指數(shù)衰減,此為穩(wěn)定波的情形。當(dāng)時(shí)，振幅將不隨時(shí)間變化，屬于中性穩(wěn)定或邊際（marginal）穩(wěn)定的情形。

或稱(chēng)為不穩(wěn)定波的“增長(zhǎng)率”

第五頁(yè)，共二十頁(yè)，編輯于2023年，星期日因?yàn)槿绻霈F(xiàn)復(fù)的特征頻率或特征波速，它們通?？偸浅蓪?duì)（大小相等但符號(hào)相反）出現(xiàn)的，所以只要頻率或波速的虛數(shù)部分不為零（,），就總會(huì)有一個(gè)單波解是隨時(shí)間增長(zhǎng)的，即波動(dòng)總會(huì)是不穩(wěn)定的。因此，波動(dòng)的穩(wěn)定性問(wèn)題就歸結(jié)為波的頻率或波速的虛部是否為零以及在什么條件下不為零的問(wèn)題。

第六頁(yè)，共二十頁(yè)，編輯于2023年，星期日§8.2慣性穩(wěn)定度與對(duì)稱(chēng)穩(wěn)定度

1、慣性穩(wěn)定度

考慮在地轉(zhuǎn)平衡的背景場(chǎng)中,氣塊在水平氣壓梯度力和折向力作用下水平位移的穩(wěn)定性——慣性穩(wěn)定性（度）問(wèn)題。（1）假定基本氣流為滿足地轉(zhuǎn)平衡、具有水平切變的緯向流：；基本位勢(shì)場(chǎng)也只與y(指向北)有關(guān)，即。不計(jì)摩擦的影響，則擾動(dòng)氣塊的水平運(yùn)動(dòng)方程組可表為：

第七頁(yè)，共二十頁(yè)，編輯于2023年，星期日假定氣塊的水平運(yùn)動(dòng)不改變位勢(shì)場(chǎng)的分布，即氣塊的重力位勢(shì)與環(huán)境位勢(shì)場(chǎng)滿足：則擾動(dòng)氣塊方程組可改寫(xiě)為：

水平位移氣塊的慣性穩(wěn)定性

假定氣塊起始（t=0）位于,

其速度為。該氣塊受擾后向北移：第八頁(yè)，共二十頁(yè)，編輯于2023年，星期日經(jīng)過(guò)時(shí)間后，它移動(dòng)到處，此時(shí)，其經(jīng)向位移和緯向速度可分別表為：在處的基本流為：

基本氣流的絕對(duì)渦度南北位移的氣塊是受抑制而返回其平衡位置(穩(wěn)定)?還是加速遠(yuǎn)離其平衡位置(不穩(wěn)定)?或是隨遇平衡(中性)?取決于背景場(chǎng)的絕對(duì)渦度。第九頁(yè)，共二十頁(yè)，編輯于2023年，星期日在北半球,f>0,故慣性穩(wěn)定度的判據(jù)可表為:當(dāng)時(shí)，有在北半球,通常有,即大尺度運(yùn)動(dòng)通常是慣性穩(wěn)定的。但是，在急流軸右側(cè)區(qū)域，有，若氣流水平切變足夠大，以致于負(fù)值相對(duì)渦度（）超過(guò)了行星渦度時(shí)，絕對(duì)渦度會(huì)出現(xiàn)負(fù)值），即慣性不穩(wěn)定的情形。這時(shí)，空氣南北運(yùn)動(dòng)的發(fā)展將導(dǎo)致水平動(dòng)量的南北交換（混合），從而使急流右側(cè)的反氣旋式切變減小。所以，急流軸右側(cè)不可能長(zhǎng)時(shí)間維持很大的反氣旋式切變。急流軸左側(cè)則不同，風(fēng)速水平切變?yōu)闅庑角凶?，即，所以絕對(duì)渦度恒為正，即急流軸左側(cè)的區(qū)域總是慣性穩(wěn)定的。

第十頁(yè)，共二十頁(yè)，編輯于2023年，星期日2對(duì)稱(chēng)穩(wěn)定度

靜力穩(wěn)定度是氣塊垂直運(yùn)動(dòng)時(shí)的穩(wěn)定性,慣性穩(wěn)定度是氣塊水平運(yùn)動(dòng)時(shí)的穩(wěn)定性。如果大氣既是靜力穩(wěn)定的又是慣性穩(wěn)定的，則它在作垂直運(yùn)動(dòng)或作水平運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)都是穩(wěn)定的。但是，當(dāng)氣塊沿傾斜等熵面（位溫為常數(shù)）作傾斜運(yùn)動(dòng)（既有鉛直運(yùn)動(dòng)又有水平運(yùn)動(dòng)）時(shí)，其運(yùn)動(dòng)仍然可能是不穩(wěn)定的，這時(shí)的不穩(wěn)定稱(chēng)為“對(duì)稱(chēng)不穩(wěn)定”。假定：（1）基本狀態(tài)是滿足地轉(zhuǎn)平衡和靜力平衡的無(wú)粘絕熱緯向運(yùn)動(dòng)（與x無(wú)關(guān)）?；玖骺杀頌椋海?）運(yùn)動(dòng)是絕熱的且滿足靜力平衡，即

第十一頁(yè)，共二十頁(yè)，編輯于2023年，星期日當(dāng)起始位于

點(diǎn)的氣塊沿等位溫面傾斜上升到點(diǎn)時(shí)，基本流可表為：另外，在等熵面上，有

：此即等熵面坡度。

位溫垂橫向（y方向）直剖面第十二頁(yè)，共二十頁(yè)，編輯于2023年，星期日因?yàn)?，根?jù)基本態(tài)氣流滿足地轉(zhuǎn)和靜力平衡，由熱成風(fēng)公式（或靜力學(xué)公式）有

故：于是y方向方程：或

在北半球，，上式表明,對(duì)稱(chēng)不穩(wěn)定條件（判據(jù)）可表為：

里查孫數(shù)（Richardson）或第十三頁(yè)，共二十頁(yè)，編輯于2023年，星期日顯然，在慣性穩(wěn)定（）和靜力穩(wěn)定（）的條件下，仍然可能滿足對(duì)稱(chēng)不穩(wěn)定判據(jù)，即仍然可以出現(xiàn)對(duì)稱(chēng)不穩(wěn)定現(xiàn)象。而且，小的絕對(duì)渦度、強(qiáng)的垂直風(fēng)切變和弱的靜力穩(wěn)定度更有利于出現(xiàn)對(duì)稱(chēng)不穩(wěn)定。有些中尺度系統(tǒng)表現(xiàn)為一種線狀對(duì)流系統(tǒng)，如鋒前颮線。其環(huán)流可看成是二維的，其軸線與基本氣流切變矢的方向一致，擾動(dòng)相對(duì)于軸線是對(duì)稱(chēng)的。上述中尺度不穩(wěn)定可能是這類(lèi)對(duì)流系統(tǒng)如颮線或中尺度對(duì)流復(fù)合體（MCC）的一種重要激發(fā)機(jī)制。由于這種中尺度環(huán)流的軸對(duì)稱(chēng)性，所以這種不穩(wěn)定稱(chēng)為“對(duì)稱(chēng)不穩(wěn)定”。（由于在早期的研究中，認(rèn)為這是一種由對(duì)稱(chēng)環(huán)狀渦旋中的徑向擾動(dòng)所引起的不穩(wěn)定現(xiàn)象，故稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)不穩(wěn)定）

第十四頁(yè)，共二十頁(yè)，編輯于2023年，星期日§8.3大氣長(zhǎng)波的正壓穩(wěn)定性

1正壓不穩(wěn)定的必要條件-郭曉嵐判據(jù)大氣長(zhǎng)波是大尺度運(yùn)動(dòng)中的主要波動(dòng)。從波動(dòng)觀點(diǎn)看，大氣長(zhǎng)波的不穩(wěn)定增長(zhǎng)是大尺度天氣系統(tǒng)發(fā)生發(fā)展的重要機(jī)制。在無(wú)切變的平行基流（）中，大氣長(zhǎng)波的頻率（或波速）為實(shí)數(shù)，即波動(dòng)是穩(wěn)定的。當(dāng)基本氣流存在水平或鉛直切變時(shí)，大氣長(zhǎng)波則可能出現(xiàn)不穩(wěn)定。

本節(jié)先考慮只有水平切變的基本氣流中的大氣長(zhǎng)波的穩(wěn)定性問(wèn)題，即所謂大氣長(zhǎng)波的正壓穩(wěn)定性問(wèn)題。

假定：（1）基本氣流為只與y有關(guān)緯向流，即（2）擾動(dòng)為無(wú)輻散的純水平運(yùn)動(dòng)：第十五頁(yè)，共二十頁(yè)，編輯于2023年，星期日于是，無(wú)摩擦的線性化擾動(dòng)方程組可表為：由前兩式可得如下擾動(dòng)渦度方程：

引入擾動(dòng)流函數(shù):則渦度方程可改寫(xiě)為

第十六頁(yè)，共二十頁(yè)，編輯于2023年，星期日考慮y介于D與-D之間、x方向無(wú)界的通道區(qū)域（右圖），邊界條件可表為：當(dāng)設(shè)擾動(dòng)渦度方程的任一單波解為

代入方程，可得關(guān)于振幅的本征值問(wèn)題其中：水平通道模式1第十七頁(yè)，共二十頁(yè)，編輯于2023年，星期日考慮穩(wěn)定性問(wèn)題，波速C和振幅函數(shù)都可能是復(fù)數(shù)：其中，C*和*分別為C和的復(fù)共軛，它們也滿足本征值方程：*（1）-（2）得：從積分到并利用邊界條件得

2第十八頁(yè)，共二十頁(yè)，編輯于2023年，星期日要有不穩(wěn)定波,須,于是,必須

因恒大于零，則要求在區(qū)間（-D，D）上改變符號(hào)，即至少存在一個(gè)點(diǎn)，使得

成立，即基本氣流的絕對(duì)渦度在區(qū)間（-D，D）上至少存在一個(gè)極值點(diǎn)。若在（