廣東省佛山市南邊中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析

廣東省佛山市南邊中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.將全體正奇數(shù)排成一個三角形數(shù)陣： 1 3

5 7

9

11 13

15

17

19 ……按照以上排列的規(guī)律，第n行（n≥3）從左向右的第3個數(shù)為(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：D2.從裝有除顏色外完全相同的2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是(

)．A．至少有1個白球，都是白球

B．至少有1個白球，至少有1個紅球C．恰有1個白球，恰有2個白球

D．至少有1個白球，都是紅球參考答案：C略3.已知函數(shù)f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零點x0，且x0＞0，則a的取值范圍是（）A．（2，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣1）參考答案：C【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)零點的判定定理；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（i）當(dāng)a=0時，f（x）=﹣3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，兩個解，舍去．（ii）當(dāng)a≠0時，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣），令f′（x）=0，解得x=0或．對a分類討論：①當(dāng)a＜0時，由題意可得；②當(dāng)a＞0時，推出極值點不滿足題意，推出結(jié)果即可．【解答】解：（i）當(dāng)a=0時，f（x）=﹣3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，函數(shù)f（x）有兩個零點，舍去．（ii）當(dāng)a≠0時，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣），令f′（x）=0，解得x=0或．①當(dāng)a＜0時，＜0，當(dāng)x＜或x＞0時，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)＜x＜0時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．∴是函數(shù)f（x）的極小值點，0是函數(shù)f（x）的極大值點．∵函數(shù)f（x）=ax3﹣3x2+1存在唯一的零點x0，且x0＞0，則：，即：，可得a＜﹣2．②當(dāng)a＞0時，＞0，當(dāng)x＞或x＜0時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)0＜x＜時，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．∴是函數(shù)f（x）的極小值點，0是函數(shù)f（x）的極大值點．不滿足函數(shù)f（x）=ax3﹣3x2+1存在唯一的零點x0，且x0＞0，綜上可得：實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣2）．故選：C．4.在平面直角坐標(biāo)系中，為不等式組，所表示的區(qū)域上一動點，則直線斜率的最小值為A.

B.

C.

D.參考答案：C略5.設(shè)曲線上任一點處的切線斜率為，則函數(shù)的部分圖象可以是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A對求導(dǎo)可求得，，函數(shù)的定義域是，定義域關(guān)于原點對稱，令，在，是奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，排除C選項和B選項，當(dāng)時，，排除D選項，故選A.

6.已知命題p：?x0≥0，使2x0＝3，則p的否定是()A．?x<0，使2x≠3B．?x0<0，使2x0≠3C．?x0≥0，使2x0≠3D．?x≥0，使2x≠3參考答案：D略7.已知函數(shù)，若方程有個根，則的取值范圍是（）A．

B．或

C.

D．或參考答案：D當(dāng)與相切時，由當(dāng)與相切時：設(shè)切點為

作圖可知，的取值范圍是或，選D.點睛：對于方程解的個數(shù)(或函數(shù)零點個數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．8.設(shè)實數(shù)滿足，那么的最大值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D9.直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°參考答案：C【考點】異面直線及其所成的角．【專題】常規(guī)題型．【分析】延長CA到D，根據(jù)異面直線所成角的定義可知∠DA1B就是異面直線BA1與AC1所成的角，而三角形A1DB為等邊三角形，可求得此角．【解答】解：延長CA到D，使得AD=AC，則ADA1C1為平行四邊形，∠DA1B就是異面直線BA1與AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，則三角形A1DB為等邊三角形，∴∠DA1B=60°故選C．【點評】本小題主要考查直三棱柱ABC﹣A1B1C1的性質(zhì)、異面直線所成的角、異面直線所成的角的求法，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．10.在單位圓中，面積為1的扇形所對的圓心角的弧度數(shù)為

（

）

A.

1

B.

2

C.

3

D.

4參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若命題“，使”是假命題，則實數(shù)的取值范圍為

▲

參考答案：12.已知O是△ABC的外心，AB=2a，AC=，∠BAC=120°，若=x+y，則x+y的最小值是．參考答案：2考點： 向量在幾何中的應(yīng)用．專題： 平面向量及應(yīng)用．分析： 建立直角坐標(biāo)系，求出三角形各頂點的坐標(biāo)，因為O為△ABC的外心，把AB的中垂線m方程和AC的中垂線n的方程，聯(lián)立方程組，求出O的坐標(biāo)，利用已知向量間的關(guān)系，待定系數(shù)法求x和y的值，最后利用基本不等式求最小值即可．解答： 解：如圖：以A為原點，以AB所在的直線為x軸，建立直角系：則A（0，0），B（2a，0），C（﹣，），∵O為△ABC的外心，∴O在AB的中垂線m：x=a上，又在AC的中垂線n上，AC的中點（﹣，），AC的斜率為tan120°=﹣，∴中垂線n的方程為y﹣=（x+）．把直線m和n的方程聯(lián)立方程組，解得△ABC的外心O（a，+），由條件=x+y，得（a，+）=x（2a，0）+y（﹣，）=（2ax﹣，），∴，解得x=+，y=，∴x+y=++=+（）=2．當(dāng)且僅當(dāng)a=1時取等號．故答案為：2．點評： 本題考查求兩條直線的交點坐標(biāo)的方法，三角形外心的性質(zhì)，向量的坐標(biāo)表示及向量相等的條件，待定系數(shù)法求參數(shù)值．屬中檔題．13.已知橢圓方程為，則它的離心率為_____．參考答案：14.已知橢圓，其焦距為，長軸長是焦距的倍，的一個等比中項為，則________參考答案：2

15.已知函數(shù)f（x）=x3，則不等式f（2x）+f（x﹣1）＜0的解集是

．參考答案：（﹣∞，）根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式分析可得f（x）為奇函數(shù)且在R上遞增，則不等式f（2x）+f（x﹣1）＜0可以轉(zhuǎn)化為2x＜1﹣x，解可得x的取值范圍，即可得答案．解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）=x3，f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3，即有f（﹣x）=﹣f（x），為奇函數(shù)；f（x）=x3，其導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x2≥0，為增函數(shù)；則f（2x）+f（x﹣1）＜0?f（2x）＜﹣f（x﹣1）?f（2x）＜f（1﹣x）?2x＜1﹣x，解可得x＜，即不等式f（2x）+f（x﹣1）＜0的解集為（﹣∞，）；故答案為：（﹣∞，）．16.下列關(guān)于圓錐曲線的命題：其中真命題的序號．（寫出所有真命題的序號）．①設(shè)A，B為兩個定點，若|PA|﹣|PB|=2，則動點P的軌跡為雙曲線；②設(shè)A，B為兩個定點，若動點P滿足|PA|=10﹣|PB|，且|AB|=6，則|PA|的最大值為8；③方程2x2﹣5x+2=0的兩根可分別作橢圓和雙曲線的離心率；④雙曲線﹣=1與橢圓有相同的焦點．參考答案：②③【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】①利用雙曲線的定義判斷．②利用橢圓的定義判斷．③利用橢圓和雙曲線的離心率的取值范圍判斷．④利用雙曲線和橢圓的方程和定義判斷．【解答】解：①根據(jù)雙曲線的定義可知，滿足|PA|﹣|PB|=2的動點P不一定是雙曲線，這與AB的距離有關(guān)系，所以①錯誤．②由|PA|=10﹣|PB|，得|PA|+|PB|=10＞|AB|，所以動點P的軌跡為以A，B為焦點的圖象，且2a=10，2c=6，所以a=5，c=3，根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知，|PA|的最大值為a+c=5+3=8，所以②正確．③方程2x2﹣5x+2=0的兩個根為x=2或x=，所以方程2x2﹣5x+2=0的兩根可分別作橢圓和雙曲線的離心率，所以③正確．④由雙曲線的方程可知，雙曲線的焦點在x軸上，而橢圓的焦點在y軸上，所以它們的焦點不可能相同，所以④錯誤．故正確的命題為②③．故答案為：②③．【點評】本題主要考查圓錐曲線的定義和性質(zhì)，要求熟練掌握圓錐曲線的定義，方程和性質(zhì)．17.設(shè)等比數(shù)列的前項和為，且，則

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知等差數(shù)列中，求{}前n項和..

參考答案：19.如圖，幾何體EF-ABCD中，CDEF是邊長為2的正方形，ABCD為直角梯形，，，，.（1）求異面直線BE和CD所成角的大小；（2）求幾何體EF-ABCD的體積；（3）若平面ABCD內(nèi)有一經(jīng)過點B的曲線，該曲線上的任一動點都滿足EQ與CD所成角的大小恰等于BE與CD所成角.試判斷曲線的形狀并說明理由.參考答案：（1）；（2）；（3）雙曲線.【分析】（1）根據(jù)幾何體特征，建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量，的坐標(biāo)，利用向量坐標(biāo)運算求異面直線所成角的余弦值，可得角的大小；（2）利用幾何體的體積V＝VE﹣ABCD+VB﹣CEF，分別求得兩個棱錐的底面面積與高，代入棱錐的體積公式計算．（3）利用向量夾角公式直接可得關(guān)于x，y的表達式，滿足雙曲線方程，可得結(jié)果.【詳解】（1）∵且，∴平面，∴如圖建系，以為坐標(biāo)原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)異面直線和所成角的大小為，則所以異面直線和所成角的大小為.（2）如圖，連結(jié)EC，過B作CD的垂線，垂足為N，則BN⊥平面CDEF，且BN＝2．∵VEF﹣ABCD＝VE﹣ABCD+VB﹣ECF．∴幾何體EF﹣ABCD的體積為．（3）設(shè)，則，由題意知與所成角的大小為所以化簡得所以曲線的形狀是雙曲線.【點睛】本題考查了利用向量法求異面直線所成角，考查了組合幾何體體積的計算，考查了學(xué)生的空間想象能力與運算能力，屬于中檔題．

20.（14分）在一個特定時段內(nèi)，以點E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域，點E正北55海里處有一個雷達觀測站A，某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東45°且與點A相距海里的位置B，經(jīng)過40分鐘又測得該船已行駛到點A北偏東45°+，（其中）且與點A相距海里的位置C。

（1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時）

（2）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛，判斷它是否會進入警戒水域，并說明理由。參考答案：解：（1）如圖，，

，，且

所以…………………4分由余弦定理：，得…………6分A

所以船的行駛速度為（海里/小時）…7分（2）如圖建系A(chǔ)-x，設(shè)，），，）

由已知=，

∴B（40，40）…………………8分且

∴C（30，20）

………10分且直線BC的方程為，且E（0，55）…12分故點E到直線BC的距離所以船會進入警戒水域。……14分略21.已知函數(shù)f（x）=ax﹣lnx，g（x）=ln（x2﹣2x+a），（1）若a=0，求F（x）=f（x）+g（x）的零點；（2）設(shè)命題P：f（x）在[，]單調(diào)遞減，q：g（x）的定義域為R，若p∧q為真命題，求a的范圍．參考答案：【考點】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；52：函數(shù)零點的判定定理．【分析】（1）令F（x）=0，求出函數(shù)的零點即可；（2）關(guān)于p：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在恒成立，求出a的范圍，關(guān)于q：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍，取交集即可．【解答】解（1）∵a=0，∴F（x）=ln（x2﹣2x）﹣lnx，由F（x）=0得x2﹣2x=x，∴x=0或x=3，又因為F（x）的定義域{x|x＞2}，∴x=0舍去，∴F（x）的零點為3；

（2）∵遞減，∴在恒成立，∴a≤2，又因為g（x）的定義域為R，所以x2﹣2x+a＞0對一切實數(shù)恒成立，∴4﹣4a＜0，∴a＞1，∵p∧q為真，∴1＜a≤2．22.（本題12分）已知正項等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3=12，且2a1，a2，a3+1成等比數(shù)列.(1)求{an}的通項公式;(2)記bn=的前n項和為Tn,求Tn.ks5u參考答案：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,∵2a1,a2,a3+1成等比數(shù)列,∴=2a1·(a3+1),————————