2022年江蘇省常州市孝都中學高三數(shù)學理月考試題含解析

2022年江蘇省常州市孝都中學高三數(shù)學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：①當2≤x≤4時，f（x）=1﹣|x﹣3|；②f（2x）=cf（x）（c為正常數(shù)），若函數(shù)的所有極大值點都落在同一直線上，則常數(shù)c的值是（）A．1 B．±2 C．或3 D．1或2參考答案：D【考點】抽象函數(shù)及其應用．【專題】計算題；函數(shù)的性質及應用．【分析】由已知中定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：①f（2x）=cf（x）（c為正常數(shù)）；②當2≤x≤4時，f（x）=1﹣|x﹣3|．我們可得分段函數(shù)f（x）的解析式，進而求出三個函數(shù)的極值點坐標，進而根據(jù)三點共線，則任取兩點確定的直線斜率相等，可以構造關于c的方程，解方程可得答案．【解答】解：∵當2≤x≤4時，f（x）=1﹣|x﹣3|．當1≤x＜2時，2≤2x＜4，則f（x）=f（2x）=（1﹣|2x﹣3|），此時當x=時，函數(shù)取極大值；當2≤x≤4時，f（x）=1﹣|x﹣3|；此時當x=3時，函數(shù)取極大值1；當4＜x≤8時，2＜≤4，則f（x）=cf（）=c（1﹣|﹣3|），此時當x=6時，函數(shù)取極大值c．∵函數(shù)的所有極大值點均落在同一條直線上，即點（，），（3，1），（6，c）共線，∴=，解得c=1或2．故選D．【點評】本題考查的知識點是三點共線，函數(shù)的極值，其中根據(jù)已知分析出分段函數(shù)f（x）的解析式，進而求出三個函數(shù)的極值點坐標，是解答本題的關鍵．2.已知實數(shù)x、y滿足不等式組，則的最大值為（）A.3 B.2 C. D.－2參考答案：A【分析】畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，結合圖形確定目標函數(shù)的最優(yōu)解，代入即可求解，得到答案．【詳解】畫出不等式組所表示平面區(qū)域，如圖所示，由目標函數(shù)，化直線，當直線過點A時，此時直線在y軸上的截距最大，目標函數(shù)取得最大值，又由，解得，所以目標函數(shù)的最大值為，故選A．【點睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標函數(shù)的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關鍵，著重考查了數(shù)形結合思想，及推理與計算能力，屬于基礎題．3.已知函數(shù)，則的值（

）高考資源網

A．小于0

B．大于0

C．等于0

D．以上都有可能參考答案：B略4.如圖，空間四邊形ABCD中，AD=BC=2,E,F分別是AB,CD的中點，

EF＝，則異面直線AD,BC所成的角為(

)A.30°

B.60°

C.90°

D.120°參考答案：B5.若函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍是A．

B．

C．

D．參考答案：C6.已知向量,,，則=A.

B.

C.5

D.25參考答案：C略7.已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)且滿足，，數(shù)列滿足，且，（其中為的前項和）。則(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C由，可知函數(shù)的對稱軸為，又函數(shù)為奇函數(shù)，所以有，所以，即，函數(shù)的周期為3.由得，所以當時，，即，所以，所以，因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，由，可得，所以，選C.8.已知點在直線上運動，則的最小值為（

）A． B． C． D．參考答案：A9.設點是區(qū)域內的隨機點，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)的概率為A. B. C. D.參考答案：D略10.若圓關于直線對稱，則的最小值為（

）A．1

B．5

C.

D．4參考答案：D由題設直線過圓心即故選

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù)滿足：對于圖象上任意一點P，總存在點也在圖像上，使得成立，稱函數(shù)是“特殊對點函數(shù)”．給出下列五個函數(shù)：①；②；③；④；⑤．（其中e為自然對數(shù)底數(shù)）其中是“特殊對點函數(shù)”的序號是__________．(寫出所有正確的序號)參考答案：②③⑤由，滿足，知，即.①

當時，滿足的點不在上，故①不是“特殊對點函數(shù)”；

②.作出函數(shù)的圖象，由圖象知，滿足的點都在圖象上，則②是“特殊對點函數(shù)”；③.作出函數(shù)的圖象，由圖象知，滿足的點都在圖象上，則③是“特殊對點函數(shù)”；

④.當時，滿足的點不在上，故④不是“特殊對點函數(shù)”⑤.作出函數(shù)的圖象，由圖象知，滿足的點都在圖象上，則⑤是“特殊對點函數(shù)”.答案為：②③⑤12.若存在，則實數(shù)的取值范圍是_____________．參考答案：(13.以下命題：①若則∥；②在方向上的投影為；③若△中,則；④若非零向量、滿足，則.⑤已知△ABC中，則向量所在直線必過N點。其中所有真命題的序號是_____________.參考答案：①②④⑤略14.（理科）某單位為了了解用電量y度與氣溫之間的關系，隨機統(tǒng)計了某4天的用電量與當天氣溫，并制作了對照表：氣溫(0C)181310-1用電量(度)24343864由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程中，預測當氣溫為時，用電量的度數(shù)約為________.參考答案：6815.實數(shù)x，y滿足4x2﹣5xy+4y2=5，設S=x2+y2，則+=．參考答案：【考點】基本不等式．【分析】由2xy≤x2+y2可得5xy=4x2+4y2﹣5≤（x2+y2），從而可求s的最大值，由x2+y2≥﹣2xy及5xy=4x2+4y2﹣5≥﹣8xy﹣5可得xy的范圍，進而可求s的最小值，代入可求【解答】解：∵4x2﹣5xy+4y2=5，∴5xy=4x2+4y2﹣5，又∵2xy≤x2+y2∴5xy=4x2+4y2﹣5≤（x2+y2）設S=x2+y2，4s﹣5≤s∴s即∵x2+y2≥﹣2xy∴5xy=4x2+4y2﹣5≥﹣8xy﹣5∴xy∴﹣xy∴S=x2+y2≥﹣2xy∴∴+==故答案為：16.設復數(shù)，其中，則______．參考答案：-2/5略17.拋物線的準線方程是.參考答案：【知識點】拋物線因為得

所以，準線方程為

故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且∠A滿足：2cos2A﹣2sinAcosA=﹣1．（Ⅰ）若a=2，c=2，求△ABC的面積；（Ⅱ）求的值．參考答案：考點： 余弦定理；三角函數(shù)中的恒等變換應用；正弦定理．專題： 三角函數(shù)的求值．分析： （Ⅰ）已知等式左邊利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式變形，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，進而得到sinA的值，再由a與c的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積；（Ⅱ）原式分子分母利用正弦定理變形，再利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，約分即可得到結果．解答： 解：（Ⅰ）∵2cos2A﹣2sinAcosA=﹣1，∴1+cos2A﹣sin2A=1﹣2（sin2A﹣cos2A）=1﹣2sin（2A﹣）=﹣1，即sin（2A﹣）=1，∵A為三角形內角，即0＜A＜π，∴2A﹣∈（﹣，），∴2A﹣=，即A=，在△ABC中，由余弦定理得：cosA===，解得：b=4或b=﹣2（舍去），∴S△ABC=bcsinA=×4×2×=2；（Ⅱ）已知等式，利用正弦定理===2R，變形得：=====2．點評： 此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．19.如圖，設拋物線的準線與軸交于，焦點為；以為焦點，離心率的橢圓與拋物線在軸上方的交點為，延長交拋物線于點，是拋物線上一動點，且M在與之間運動．（Ⅰ）當時，求橢圓的方程；（Ⅱ）當?shù)倪呴L恰好是三個連續(xù)的自然數(shù)時，求面積的最大值．參考答案：解：（Ⅰ）當時，，則設橢圓方程為，則又，所以所以橢圓C2方程為…4分（Ⅱ）因為，，則，，設橢圓方程為由，得

…6分即，得代入拋物線方程得，即，，因為的邊長恰好是三個連續(xù)的自然數(shù)，所以

…8分此時拋物線方程為，，直線方程為：．聯(lián)立，得，即，所以，代入拋物線方程得，即∴．設到直線PQ的距離為

，則

…10分當時，，即面積的最大值為．

…12分略20.（10分）在直角坐標系xOy中，已知圓C：（θ為參數(shù)），點P在直線l：x+y﹣4=0上，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．（I）求圓C和直線l的極坐標方程；（II）射線OP交圓C于R，點Q在射線OP上，且滿足|OP|2=|OR|?|OQ|，求Q點軌跡的極坐標方程．參考答案：【考點】參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標方程．【分析】（Ⅰ）圓C：（θ為參數(shù)），可得直角坐標方程：x2+y2=4，利用互化公式可得圓C的極坐標方程．點P在直線l：x+y﹣4=0上，利用互化公式可得直線l的極坐標方程．（Ⅱ）設P，Q，R的極坐標分別為（ρ1，θ），（ρ，θ），（ρ2，θ），由，又|OP|2=|OR|?|OQ|，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）圓C：（θ為參數(shù)），可得直角坐標方程：x2+y2=4，∴圓C的極坐標方程ρ=2．點P在直線l：x+y﹣4=0上，直線l的極坐標方程ρ=．（Ⅱ）設P，Q，R的極坐標分別為（ρ1，θ），（ρ，θ），（ρ2，θ），因為，又因為|OP|2=|OR|?|OQ|，即，∴，∴ρ=．【點評】本題考查了參數(shù)方程、極坐標方程化為直角坐標方程及其應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．21.（本小題滿分12分）設函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；（Ⅱ）若，且，求的值．參考答案：解析:=．··················2分（Ⅰ）令，則，∴函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為

·······································4分（Ⅱ）由（Ⅰ），∵，∴，········································································6分故，，···························10分∴．

12分略22.如圖，四棱錐中，為矩形，為等腰直角三角形，，平面平面，分別是和的中點。(