2022年山東省煙臺(tái)市蓬萊新港中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

2022年山東省煙臺(tái)市蓬萊新港中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知等腰直角三角形的斜邊所在的直線是，直角頂點(diǎn)是，則兩條直角邊，的方程是（）Ａ．，Ｂ．，Ｃ．，Ｄ．，參考答案：B2.在空間四邊形中,，，，點(diǎn)在線段上，且,為的中點(diǎn)，則等于（

）A

B

C

D參考答案：B3.連接橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)得到的直線方程為，則該橢圓的離心率為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：A4.數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，某小組14名學(xué)生分別與全班的平均分85分的差是：2，3，-3，-5，12，12，8，2，-1，4，-10，-2，5，5，這個(gè)小組的平均分是（

）A．97.2

B．87.29

C．92.32

D．82.86參考答案：B略5.若函數(shù)f(x)=3ax2+6x－1，若f(x)≤0在R上恒成立，則a的取值范圍是（

）A.B.C.

D.參考答案：C6.若是任意實(shí)數(shù)，則方程x2+4y2sin=1所表示的曲線一定不是(

)A．圓

B．雙曲線

C．直線

D．拋物線參考答案：D略7.已知F是拋物線y2=x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|+|BF|=3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為（） A． B．1 C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)． 【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 【分析】根據(jù)拋物線的方程求出準(zhǔn)線方程，利用拋物線的定義拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，列出方程求出A，B的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，求出線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離． 【解答】解：∵F是拋物線y2=x的焦點(diǎn)， F（）準(zhǔn)線方程x=， 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）， 根據(jù)拋物線的定義拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離|AF|=，|BF|=， ∴|AF|+|BF|==3 解得， ∴線段AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為， ∴線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為． 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查解決拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問(wèn)題，利用拋物線的定義將到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離． 8.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于5，求拋物線的方程，并求其準(zhǔn)線方程．參考答案：解:據(jù)題意拋物線的對(duì)稱軸是軸且在拋物線上，因此可設(shè)拋物線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為

在拋物線上，

解得

所求拋物線方程為

準(zhǔn)線方程為

9.．E，F(xiàn)是等腰直角△ABC斜邊AB上的三等分點(diǎn)，則（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D略10.曲線f(x)=x3+x－2在P0點(diǎn)處的切線平行于直線y=4x－1，則P0點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A.(1,0)

B.(2,8)

C.(1,0)和(－1,－4)

D.(2,8)和(－1,－4)參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)f（x）=x3+x2+mx+1是R上的單調(diào)函數(shù)，則m的取值范圍為．參考答案：[，+∞）【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于等于0在R上恒成立即可．【解答】解：若函數(shù)y=x3+x2+mx+1是R上的單調(diào)函數(shù)，只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立，即△=4﹣12m≤0，∴m≥．故m的取值范圍為[，+∞）．故答案為：[，+∞）．12.設(shè)銳角的面積為2，邊的中點(diǎn)分別為，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)____________．參考答案：13.若函數(shù)的定義域是則函數(shù)的定義域是

參考答案：略14.執(zhí)行如下的程序框圖，則輸出的n=

.參考答案：7略15.用更相減損術(shù)求38與23的最大公約數(shù)為

參考答案：116.已知橢圓的焦點(diǎn)為F1、F2，直線CD過(guò)焦點(diǎn)F1，則?F2CD的周長(zhǎng)為_(kāi)______參考答案：2017.若x>0,y>0,且2x+3y=6,則log2x+log2y的最大值是__________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)．（1）求f（f（5））的值；（2）畫(huà)出函數(shù)的圖象．參考答案：【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】（1）直接利用分段函數(shù)求解函數(shù)值即可．（2）利用分段函數(shù)畫(huà)出函數(shù)的圖象即可．【解答】解：（1）函數(shù)．f（f（5））=f（﹣5+2）=f（﹣3）=﹣3+4=1．（2）函數(shù)．的圖象如圖：19.若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：[5,7]試題分析：，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，設(shè)的兩根為，則，即，的取值范圍為.試題解析：函數(shù)求導(dǎo)得f′(x)＝x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)]，令f′(x)＝0得x＝1或x＝a－1.因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間(1,4)內(nèi)為減函數(shù)，所以當(dāng)x∈(1,4)時(shí)，f′(x)≤0，又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間(6，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)，所以當(dāng)x∈(6，＋∞)時(shí)，f′(x)≥0，所以4≤a－1≤6，所以5≤a≤7，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[5,7].20.（本小題滿分12分）設(shè)橢圓過(guò)M、N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（I）求橢圓E的方程；（II）若直線與圓相切，并且與橢圓E相交于兩點(diǎn)A、B，求證：.參考答案：解:（1）因?yàn)闄E圓E:（a,b>0）過(guò)M（2，），N(,1)兩點(diǎn),所以解得所以…………3分橢圓E的方程為

…………4分（2）設(shè)

，由題意得：

……………6分聯(lián)立，有

………9分=0

……11分

……………

12分21.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F．（1）證明PA∥平面EDB；（2）證明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C﹣PB﹣D的大?。畢⒖即鸢福骸究键c(diǎn)】直線與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題．【分析】法一：（1）連接AC，AC交BD于O，連接EO要證明PA∥平面EDB，只需證明直線PA平行平面EDB內(nèi)的直線EO；（2）要證明PB⊥平面EFD，只需證明PB垂直平面EFD內(nèi)的兩條相交直線DE、EF，即可；（3）必須說(shuō)明∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角，然后求二面角C﹣PB﹣D的大?。ǘ喝鐖D所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=a．（1）連接AC，AC交BD于G，連接EG，求出，即可證明PA∥平面EDB；（2）證明EF⊥PB，，即可證明PB⊥平面EFD；（3）求出，利用，求二面角C﹣PB﹣D的大?。窘獯稹拷猓悍椒ㄒ唬海?）證明：連接AC，AC交BD于O，連接EO．∵底面ABCD是正方形，∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)在△PAC中，EO是中位線，∴PA∥EO而EO?平面EDB且PA?平面EDB，所以，PA∥平面EDB（2）證明：∵PD⊥底面ABCD且DC?底面ABCD，∴PD⊥DC∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC的中線，∴DE⊥PC．①同樣由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．而DE?平面PDC，∴BC⊥DE．②由①和②推得DE⊥平面PBC．而PB?平面PBC，∴DE⊥PB又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD．（3）解：由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角．由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB．設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，則，．在Rt△PDB中，．在Rt△EFD中，，∴．所以，二面角C﹣PB﹣D的大小為．方法二：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=a．（1）證明：連接AC，AC交BD于G，連接EG．依題意得．∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為且．∴，這表明PA∥EG．而EG?平面EDB且PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB．（2）證明；依題意得B（a，a，0），．又，故．∴PB⊥DE．由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD．（3）解：設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x0，y0，z0），，則（x0，y0，z0﹣a）=λ（a，a，﹣a）．從而x0=λa，y0=λa，z0=（1﹣λ）a．所以．由條件EF⊥PB知，，即，解得∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為，且，∴即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角．∵，且，，∴．∴．所以，二面角C﹣PB﹣D的大小為．【點(diǎn)評(píng)】本小題考查直線與平面平行，直線與平面垂直，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理論證能力．22.已知圓C過(guò)點(diǎn)O（0，0），A（﹣1，﹣7）和B（8，﹣4）（Ⅰ）求圓C的方程；（Ⅱ）求與AB垂直且被圓C截得弦長(zhǎng)等于|AB|的直線l的方程．參考答案：解：（Ⅰ）設(shè)圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0．因?yàn)镺，A，B三點(diǎn)都在圓C上，所以它們的坐標(biāo)都是圓C方程的解，故解此方程組，得D=﹣6，E=8，F(xiàn)=0．故所求圓C的方程為x2+y2﹣6x+8y=0．（Ⅱ）直線AB的方程為x﹣3y﹣20=0，故設(shè)直線l的方程為3x+y+m=0．由題意，圓心C（3，﹣4）到直線AB與直線l的距離相等，故有=，解得m=0或m=﹣10．所以直線l的方程為3x+y=0或3x+y﹣10=0考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用．專題：直線與圓．分析：（Ⅰ）設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求得D，E，F(xiàn)則圓的方程可得．（Ⅱ）設(shè)出直線l的方程，利用點(diǎn)到直線的距離求得m，則可求得直線的方程．解答：解：（Ⅰ）設(shè)圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0．因?yàn)?/p>