湖南省湘潭市潭州實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

湖南省湘潭市潭州實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知雙曲線C：﹣=1的離心率e=，且其右焦點(diǎn)為F2（5，0），則雙曲線C的方程為（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】利用已知條件，列出方程，求出雙曲線的幾何量，即可得到雙曲線方程．【解答】解：雙曲線C：﹣=1的離心率e=，且其右焦點(diǎn)為F2（5，0），可得：，c=5，∴a=4，b==3，所求雙曲線方程為：﹣=1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線方程的求法，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．2.用反證法證明“方程至多有兩個(gè)解”的假設(shè)中，正確的是A.至多有一個(gè)解

B.有且只有兩個(gè)解

C.至少有三個(gè)解

D.至少有兩個(gè)解參考答案：C3.過(guò)點(diǎn)P（﹣1，2）的動(dòng)直線交圓C：x2+y2=3于A，B兩點(diǎn)，分別過(guò)A，B作圓C的切線，若兩切線相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的軌跡為（）A．直線的一部分 B．圓的一部分C．橢圓的一部分 D．拋物線的一部分參考答案：A【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性可得，Q點(diǎn)是經(jīng)過(guò)C點(diǎn)垂直于AB的直線與過(guò)A點(diǎn)切線的交點(diǎn)．由此設(shè)A（m，n），Q（x，y），根據(jù)圓的切線的性質(zhì)與直線斜率公式，分別求出直線AQ、CQ方程，兩個(gè)方程消去m、n得關(guān)于x、y的一次方程，即為點(diǎn)Q軌跡所在直線方程，再根據(jù)圖形可得直線與圓C相交而Q不可能在圓上或圓內(nèi)，可得Q軌跡是直線的一部分．【解答】解：設(shè)A（m，n），Q（x，y），根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性可得，Q點(diǎn)是經(jīng)過(guò)C點(diǎn)垂直于AB的直線與A點(diǎn)切線的交點(diǎn)，∵圓x2+y2=3的圓心為C（0，0）∴切線AQ的斜率為k1=﹣=﹣，得AQ方程為y﹣n=﹣（x﹣m），化簡(jiǎn)得y=﹣x+…①又∵直線PA的斜率kPA=，∴直線CQ的斜率k2=﹣，得直線CQ方程為y=x…②①②聯(lián)立，消去m、n得x﹣2y+3=0，即為點(diǎn)Q軌跡所在直線方程．由于直線x﹣2y+3=0與圓C：x2+y2=3相交，∴直線位于圓上或圓內(nèi)的點(diǎn)除外．故選：A．4.不等式組所表示的平面區(qū)域的面積等于（

）。A.

B.

C.

D.參考答案：C略5.直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．0、1或2B．2C．1D．0參考答案：B略6.若方程表示一條直線，則實(shí)數(shù)滿足（

）A．

B．

C．

D．，，參考答案：C

解析：不能同時(shí)為7.求由曲線，直線及y軸所圍成的圖形的面積錯(cuò)誤的為（

）A. B.C. D.參考答案：C【分析】根據(jù)定積分知識(shí)，可確定正確；利用圖形的對(duì)稱(chēng)性可將轉(zhuǎn)變?yōu)?；利用反函?shù)的思想，結(jié)合定積分可確定所求面積為，錯(cuò)誤，結(jié)合圖形對(duì)稱(chēng)性可知正確.【詳解】曲線，直線及軸所圍成的圖形如下圖陰影部分所示：則陰影部分面積可表示為：，可知正確；根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，陰影部分面積可表示為：，可知正確；由得：；由得：可畫(huà)出圖象如下圖所示：則陰影部分面積可表示為：，可知錯(cuò)誤；根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知：陰影部分面積可表示為：，可知正確.本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用定積分來(lái)求解曲邊梯形面積的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確確定兩函數(shù)的位置關(guān)系，同時(shí)結(jié)合圖形的對(duì)稱(chēng)性將面積進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化.8.在研究打酣與患心臟病之間的關(guān)系中，通過(guò)收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得“打酣與患心臟病有關(guān)”的結(jié)論，并且有99%以上的把握認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是成立的．下列說(shuō)法中正確的是（）A．100個(gè)心臟病患者中至少有99人打酣B．1個(gè)人患心臟病，則這個(gè)人有99%的概率打酣C．100個(gè)心臟病患者中一定有打酣的人D．100個(gè)心臟病患者中可能一個(gè)打酣的人都沒(méi)有參考答案：D【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用．【分析】打酣與患心臟病有關(guān)”的結(jié)論，有99%以上的把握認(rèn)為正確，表示有99%的把握認(rèn)為這個(gè)結(jié)論成立，與多少個(gè)人打酣沒(méi)有關(guān)系，得到結(jié)論．【解答】解：∵“打酣與患心臟病有關(guān)”的結(jié)論，有99%以上的把握認(rèn)為正確，表示有99%的把握認(rèn)為這個(gè)結(jié)論成立，與多少個(gè)人打酣沒(méi)有關(guān)系，只有D選項(xiàng)正確，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是正確理解有多大把握認(rèn)為這件事正確，實(shí)際上是對(duì)概率的理解．9.設(shè)ABC的內(nèi)角A,B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c，若b+c=2a,.3sinA=sinB，則角C=

(

)

A．

B．

C．

D.參考答案：B略10.如圖，設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，B為橢圓在第二象限上的點(diǎn)，直線BO交橢圓E于點(diǎn)C，若直線BF平分線段AC于M，則橢圓的離心率是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.斜率為的直線l被橢圓截得的弦恰被點(diǎn)平分，則C的離心率是______．參考答案：.【分析】由題，設(shè)出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，由AB的中點(diǎn)為點(diǎn)M，可得，再利用點(diǎn)差法，和斜率為可求得a、b的比值，代入離心率公式即可求得答案.【詳解】設(shè)直線l與橢圓的交點(diǎn)為因?yàn)橄仪”稽c(diǎn)平分，所以由，兩式相減可得：化簡(jiǎn)可得：，因?yàn)橹本€l的斜率為，所以即所以離心率故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的離心率，解題的方法為點(diǎn)差法(一般題目是直線與圓錐曲線相交，出現(xiàn)斜率和中點(diǎn)時(shí)就用點(diǎn)差法)，屬于中檔題目.12.過(guò)點(diǎn)P（-2，3）且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為_(kāi)_______參考答案：略13.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布則

。參考答案：0.2814.設(shè)的夾角為;則等于______________.參考答案：215.已知是定義在集合上的偶函數(shù)，時(shí)，則時(shí)

．參考答案：16.記曲線與直線，所圍成封閉圖形的面積為S，則S=________．參考答案：【分析】由曲線與直線聯(lián)立，求出交點(diǎn)，以確定定積分中的取值范圍，最后根據(jù)定積分的幾何意義表示出區(qū)域的面積，根據(jù)定積分公式即可得到答案。【詳解】聯(lián)立，得到交點(diǎn)為，故曲線與直線，所圍成封閉圖形的面積；故答案為【點(diǎn)睛】本題考查利用定積分求面積，確定被積區(qū)間與被積函數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題。17.不等式的解集是

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.直線與在區(qū)間上截曲線ks5u

所得的弦長(zhǎng)相等且不為零，則下列描述正確的是(▲)A．

B．

C．

D．ks5u

參考答案：D略19.如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AA1=2，AC=，BC=3，M，N分別為B1C1、AA1的中點(diǎn)．（1）求證：平面ABC1⊥平面AA1C1C；（2）求證：MN∥平面ABC1，并求M到平面ABC1的距離．參考答案：【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，先證直線AB⊥平面AA1C1C，再根據(jù)面面垂直的判定定理，證得平面ABC1⊥平面AA1C1C．（2）根據(jù)面面平行的判定定理，先證平面MND∥平面ABC1，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，得出MN∥平面ABC1，求M到平面ABC1的距離，則根據(jù)性質(zhì)，等價(jià)轉(zhuǎn)化為求N到平面ABC1的距離．作出點(diǎn)N作出平面ABC1的垂線，并根據(jù)相似求出垂線段的長(zhǎng)度．【解答】證明：（1）∵AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC，又三棱柱中，有AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥AB，又AC∩AA1=A，∴AB⊥平面AA1C1C，∵AB?平面ABC1，∴平面ABC1⊥平面AA1C1C．（2）取BB1中點(diǎn)D，∵M(jìn)為B1C1中點(diǎn)，∴MD∥BC1（中位線），又∵N為AA1中點(diǎn)，四邊形ABB1A1為平行四邊形，∴DN∥AB（中位線），又MD∩DN=D，∴平面MND∥平面ABC1．∵M(jìn)N?平面MND，∴MN∥平面ABC1．∴N到平面ABC1的距離即為M到平面ABC1的距離．

過(guò)N作NH⊥AC1于H，∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，∴NH⊥平面ABC1，

又根據(jù)△ANH∽△AC1A1∴．∴點(diǎn)M到平面ABC1的距離為．【點(diǎn)評(píng)】考查空間中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷及證明，點(diǎn)面距離的求法（幾何法、等積法、向量法等），屬于中檔題．20.時(shí)下，網(wǎng)校教學(xué)越來(lái)越受到廣大學(xué)生的喜愛(ài)，它已經(jīng)成為學(xué)生們課外學(xué)習(xí)的一種趨勢(shì)，假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷(xiāo)售量y(單位：千套)與銷(xiāo)售價(jià)格x(單位：元／套)滿足關(guān)系式y(tǒng)=+4(x－6)2，其中2<x<6，m為常數(shù)．已知銷(xiāo)售價(jià)格為4元／套時(shí)，每日可售出套題21千套．(1)求m的值；(2)假設(shè)網(wǎng)校的員工工資、辦公等所有開(kāi)銷(xiāo)折合為每套題2元(只考慮銷(xiāo)售出的套數(shù))，試確定銷(xiāo)售價(jià)格x的值，使網(wǎng)校每日銷(xiāo)售套題所獲得的利潤(rùn)最大．(保留一位小數(shù))

參考答案：略21.（文科學(xué)生做）在中，，，設(shè).（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）若，求的值.參考答案：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，

…………3分.

…………7分（2）因?yàn)?/p>

，

…………12分，解得.

…………14分（說(shuō)明：利用其它方法解決的，類(lèi)似給分）2