實變函數(shù)論講義

第1章集合與點集實變函數(shù)論作為現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),其知識結(jié)構(gòu)是建立在集合論之上的.集合論產(chǎn)生于19世紀(jì)70年由德國數(shù)學(xué)家康托爾Cantor）創(chuàng)立,它是整個現(xiàn)數(shù)學(xué)的端及邏輯基礎(chǔ).作為本科教材,本章只介紹必需的合論知識,而不涉及有關(guān)合論公的討論.1.1集合及相關(guān)概念大家在中學(xué)就認(rèn)識了集合這個概.所謂集,是指具有某種特定性質(zhì)的對象的全.集合中的對象稱為該集合的元.集合通常用大寫英文字母A,B,C,…表示；元素通常用小寫英文字母a,b,c,表示.今后用一些特殊的記號表示特殊的集合：R表示全體實數(shù)形成的集合；C表示全體復(fù)數(shù)形成的集合；N,Z,Q分別表示自然數(shù)集、整數(shù)集和有理數(shù).另外,不含任何元素的集合稱為空,用記號表示.集合的具體表示方法一般有兩種：一種是枚舉法,如集合{1,2,3,4,5};一種是描述,例如,大于20的自數(shù)組的集合,可寫為{x|x20,且x為自然數(shù)}.一般地,若A質(zhì)P合,通為A={x|x具有性質(zhì)P}.對于給定的某集合A及某對象,若a是A素,說a合A,記為A;否則,就說a不屬于集合A,記為 給個合A和B,若A中的元素都屬于B,稱A是B集,記為或 而,若同時有 和 ，則A=B.對于任意的非空集合A,空集和A當(dāng)然是A的子,這兩個子集稱為平凡子.除此之外的子集稱為真子.例1.1.1寫出{1,2,3}的所有子集,由此計算{1,2,…,n}的子集的個數(shù),其中n∈N.{1,2,3}的所有子集是：,{1,2,3},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}第1章集集1.1集共 個.一般地,{1,2,…,n}的子集的個數(shù)是：C 0n+C 1n…+C nn=2n, 其中C kn=n!k!(n-k)!(k∈{0,1,…,n)組合數(shù)公式.任給集合A,它的所有子集構(gòu)成的集合稱為它的冪,記為1.1.1集合的運算我們知道,數(shù)可以進(jìn)行運算,并由此生成新數(shù).類似地,集合之間也以進(jìn)運算,并由此生成新的集.其中,最常用的運算并、交、差三種.定義1.1.1任意給定集合A和B集合x|xA或xB}稱為A與B的并,并集也為集,記為AB,或A+B;集合{x|xA且xB}稱為它們的交,交集也稱為積,記為A∩,AB;推而廣之,給定集合族 ∈,中集,別為 ∪α∈∈Γ,∈};1)∩α∈ ∈Γ,∈}.(12)集合{xxA且 稱為A與B的差集又補，為A\\B或A-B.注意：一般來說(A-BB未必等于A.如果已知 則-B為B于A集,為AB,特別地,如果我們在某一問題中所考慮的一切集合都是某一給定集合S的子集時,集合B相對于S的余集就簡稱為B集, SB簡為 而合 (-)-) 稱為A與B的對稱,為A.例1.1.2設(shè)11 -1k<x<1k,k=1,,…,m=Bi=x-+1mx1-1m, -1p<x<1p.其中n,m,p∈N.由此知∪ -1<x<1},集合并交差（）算足面的算：定理1.1.1()交換律AB=BA,A∩B=B∩A;特別地A∩A=AAA=A,A∪=A,(2)結(jié)合律ABC(AB)C,A∩(B∩C)=(A∩B)∩C.(3)分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);一般地A∩∪α∈ ∪α∈(4)大小關(guān)系B).(5)若 ∈,∪α∈∪α∈∩α∈特別,若或下面僅證

∈∈, ∪α∈ ∈ 證明A∩∪α∈ ∪α∈任取x∈A∩∪α∈則xA且α0∈,得xBα0,于是x∈α∈由x的任性得A∩∪α∈ ∪α∈反過,任取x∈∪α∈ α, α0,得x∈ 即xA且xBα,從而xA且x∈∪α∈ 故x∈∩∈由x得∪α∈ ∪α∈ 綜合起,等式成立.□以下給出關(guān)于余集計算的部分性.定理1.1.2(1)A-(2)若 則SA SB,B\\A=Ac;(3)對偶律（德摩根（De ））若則(AB)c=AcBc,Bc.一地∩α∈ ∪α∈ ∪α∈ ∈證明下面僅證對偶律：若 則(AB)AcB,得.上,義,(AB)c={|xX且=xxX,xAc且xB

B}={x|xX,xA且c}=AcBc.□德摩根律使我們通過余集的運算把并集變?yōu)榻患?把交集變?yōu)椴⒓?這種轉(zhuǎn)化在集合的運算及論證中是很有用的.1.2集合列的上極限和下極限眾所周,數(shù)列可以討論極.類似地,集合列也可以討論極.以下我們給出集合列及其極限的定.定義1.1.2一列集合(n=1,2,…）稱為集合,也可記為 屬于上集合中無多個集的元的全所形的集為該合列上極限,或稱為上集,記為limn→∞或limn→∞supAn;對于上合列,那除有下外,屬于該集合列每合元素全形集這集列極限,或稱下集,記為limn→An或lim n→∞inf等價地,lm n→∞supAn={x|對于意的然數(shù)n,存在k≥,得xAk}, lm n→∞inf 存在 ∈N,當(dāng)時,xAn}.由此知,lm n→∞inf進(jìn),對于給定集合列

n→∞supAn.若其上、下極限相,則稱集合列 收斂,其極限即為它的上（或下）極,記為limnAn集合列的上（下）極限可以并與交”運算來表.定理1.1.3給定集列 n},則 lmn→∞∪ lm n→∞inf∪證明利用lmn→∞ ∈N,kn,使得xAk}(.3)來證關(guān)上極的式,關(guān)于下極的況可似得.記∪Am,即對任意n,總有x∈∪

事實上,設(shè)xA,則對任意取定的n存在m>n,使得x∈故xB繼而反,設(shè)xB,則對的n>0,總有x∈∪ 即總存在m(m≥n,得xAm,故xA,繼而 從而A=B,另一等式可同樣證□列 滿足：∈N,則稱 是單調(diào)增加集合列；若∈N,則稱之為單調(diào)減少集合.統(tǒng)稱為單調(diào)集合列.由定理1.1.3易知,單調(diào)集合列收斂的.具體地,若 為單調(diào)加集列,則limn→An=∪若為單調(diào)減少集合,則lmn→An=∩n=1An.例1.1.3設(shè) 是如一點： A2m+1=0,2-12m+1〗,m=0,1,2,…,〗,我們來確定 的上、下極.因為閉區(qū)間\中的點屬于每個自然數(shù)N(x),使當(dāng)n>N(x)時,有

而對于開區(qū)間(1,2)中的每個點x,必存在1+12n<x2-12n+1,即當(dāng)n>Nx)時 但xA2n+1.換言之,對于開區(qū)間(1,2)中的x,具有充分大的奇數(shù)標(biāo)的集都含有x,即 中有無限多集合含有x,而充分大的偶數(shù)標(biāo)的合都不有x,即 中不含有x的集合不會是有限個.又區(qū)間\n→∞sup \n→∞inf\例1.1.4設(shè) 為：當(dāng)n=2k時,k∈N;當(dāng)1時,k∈N.則lm n→∞sup ∪{(0,y)|y0}; lm n→∞inf定義1.1.3設(shè)A,B是兩個集合,稱一切有序?qū)Α?x,y(中xA,yB)成集為A與B的直積或卡（Descartes）積,記為A, AB={(x,y)|xA,yB}, 其中(x,y)=(′)x=x′,y=y′,為例1.1.5設(shè)A={1,2,3},B={4,5}，則 AB={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)}.例1.1.6\\為平面上單位正方形.例1.1.7 Q×Q=Q Q 2為平面上有理點.習(xí)題習(xí)題1.3試證：(1)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);(2)(A\\B)∪B=(A∩\B的充要條件是(3)A-(B-C)=(A-B∪(A∩C).1.4證明：(1)B=B;()(ABABC);(3)A∩(B△C)=(A∩B)△(A∩C);(4)對任意的A,B,存在C使得AC=B.1.5設(shè) 是一集合列，作1k=1Ak,n=2,3…,證

n-交,且Ain1Bj,n=1,2,….1.6設(shè)f(x),g(x是點集E上定義的兩個函,a,k意數(shù),但k.()x:f(x)≥a}=∩∞n=x)>a-1n;(2)x: |f(x)|>k}x:|g(x)|>ak.1.7試證：(1)∪∞i=1\ (2)∩∞i=1\ ∪ i.18設(shè) - 求列 的集.1.9設(shè)An=E,n=2k-1,F,n=2k, 求集合列 的上集下集.1.10設(shè) m為整數(shù),n=1,2,…,試證liminf1.11設(shè) 是\上的一列函數(shù),且存在\使得

n→∞sup n→∞lmn→fn(x)=1,x\\\E,0,xE. 令 \: 求集合lim1.12設(shè)以及f(x)是定義在R上的實值函,則使x所形成的集合為∪∞k=1∩∞N=1∪∞n=Nx-

n→En.不收斂于f(x的一切點11.設(shè)(k=1,2,…) 隨著k降于(n=1,2,…）定義在E上 E),試證：對任意的a有(1)E\=∪ ;)\ ;(3)E\=∪ .注：E\={xE|f(x)>a}.1.1.2映射、基與可集1.2映射、基數(shù)可數(shù)集我們都道,實數(shù)是可以比大小的,那么自然地聯(lián)一下,集合有沒有小的別呢？直觀想,如果是有限集合,可能集合元素個數(shù)集合就大,那么對于含無限個元素的合,集合的大小該么比呢？全實數(shù)成的合就一比全正實數(shù)構(gòu)成的合大？在集合的義和礎(chǔ)運有了一的了之后,我們接下就介紹一用以畫集大小的念：基數(shù).在此之前,我們要引入映的概念,本節(jié)的最后,我們還將向大家介一種最常見的集合：可數(shù)集.1.2.1映射大家都悉函概念,下面要講到的射是數(shù)概的抽象化.定義1.2.1給定兩非空集合X,Y若對于X中每個元素x在Y中都存在唯一的元素y與之對,則稱這個對應(yīng)為映.若用表示這種對,則記為:并稱是從X到Y(jié)的一個映.時,xX在Y中對應(yīng)元y稱為x在映射下的像,x稱為y的一個原,記為y=φx.而,y的原像集為{x|y=φ(x),xX},記為-1( X}Y 稱為映射φ:X→的值域而X為定義域.特別地,若φ(X)=，稱射是射,也稱為到上映射(X到Y(jié)射)每個y∈)原集-1(y)是單點集,等價地,若x1,x2,當(dāng) 有 映射,也射.注1.2.1一一映射存在映射,即-1: -1(y=,當(dāng)φ(x)y時.進(jìn)而,到上的一映稱雙射,也稱為一對應(yīng).給定映射φ:X→, 則A的像集為 A},B的原像為-1(B)={x|φ(x)B}.綜上易得下面關(guān)于映射與集合的并和交運算的關(guān)系式：φ∪α∈ ∪α∈ φ∩α∈ ∈φ-1∪α∈ ∪α∈- 1∩α∈給定非空集合X,定義其非空子集A上的特征函數(shù)為

∈ - 例1.2.1χA(x)=1,x,于是 是從X集 到{0,1上映射.而且可利特函來饋集本的征：1.2.2基數(shù)給定一個集合,若它只含有限個元素則稱為有限集；否,就稱為無限集.對于有限集來說,若不考慮元素的具體特性,則所含元素的個數(shù)是一個基本而重要的,因與元素個數(shù)有關(guān)的問題一般會涉及元素個數(shù)的比.兩個有限集是否含有相同數(shù)量的元素可用能否建立一一對應(yīng)來衡.受此啟發(fā),盡管對于無限集來說談?wù)搨€數(shù)沒有實際意義,但比較兩個無限集所含元素的多少，仍然可以用能否建立一一對應(yīng)來度.定義1.2.2給定集合A,B,若存在從A到B應(yīng),則集合A與B對等,記為A～B.對等關(guān)系有下質(zhì).定理1.2.1任給集合A,B,C,有(1)（自反性）A～A;()（若A～,則B～A;()（傳遞性）若A～B,且B～C,則A～C.系.因此,系.下面,我們描述性地給出集合基數(shù)的概.定義1.2.3設(shè)A,B為給定兩個集,如果A～B,那么合A合B的基數(shù)或者相同.記為=.因此,對等的集合有相的基（勢）.特別地,當(dāng)A非空限集時,則存在自然數(shù)使得A與 一一對應(yīng),而 由 定,于為=n0.由此,基數(shù)（勢）的概念是通常元素個數(shù)的推.以下給出一些常見的集合的例子.例1.2.2(0,1)～R事實上,令φ: -π2,則易知了(0,1)與R之間的一一對.例1.2.3任意兩圓周上點集有相同基數(shù).事實上,不妨令任給兩個圓圓心,于是讓從圓心發(fā)的同條射與兩個的交相互對應(yīng),則該對應(yīng)是一對應(yīng).有了集合大小的概-基數(shù),接下來,我們給出則.定義1.2.4給定兩個集合A和B若存在B的子集 使得A～ 則稱A的基數(shù)不大于B的基數(shù),記為;,且,時稱A的基數(shù)小于B數(shù),為<.自然可以較大小,類似地,基數(shù)也可以較大小.即,對于任意定的個基數(shù)α,,系式α<β,α=β,,中有且僅有一式成立.證明要涉及集合論公理統(tǒng),超出本教材范,故略.對于自然數(shù)a,b,若a≤且b≤則a=b.對于基數(shù)也有類似結(jié)論,也就是說集合的大在某種意義下也是以比的.定理1.2.2（伯恩（Bernstein））合A,B,若且,=.證明由題設(shè),存在雙射φ:下面用迭代法尋找為此,

及雙射ψ:及 使得φ(A′\\B,時ψ(B′)\A′.考慮下面的方程組： A\B,ψ(′\A 等價地A=A\\(B,B′\φ(A..4)\\\\

為了求解方程(1.4)運用迭代,逐次作 A1=A\\(B),\\\\ ,\\由上述構(gòu)造知注意到是一一映,于是有再結(jié)合德摩根,有∪ ∪∞i=1\-

1))A∩∞ -此處記類似地,可得\\ ∪從而,式(1.4)有解A′=∪定義射Φ()=φx)x∈ -1(x),xA\\A.上構(gòu)造知,φ(′)\B-1(A\\A′)=,Φ是射.于Φ的由及得.因此,Φ是從A到B上的一一對.從而,A～B□論1.2.1設(shè) ～C,則A～BB～.證明以A～B例,設(shè)是A和C應(yīng),令x,則 ～B,取 則自然有 ～A.于是由伯恩坦理有A～B.1.13可數(shù)集本小節(jié)我們給出最常見的一種無窮集-可數(shù)集的定義,并研究其相關(guān)性.定義1.2.5與自然集對等集合為可數(shù)集,或稱為可列集.于是任意的數(shù)集A可寫成A={反之,這種形的合可集.可數(shù)集的基數(shù)為0.下面的定理表,可數(shù)集的基數(shù)在無限集中是最小.定理1.2.3任意無限集均包含可數(shù)子.證明設(shè)A是任意給定的無限集,任意取定 因A\\ 仍無集,再意定2A\\{a1},依次類推,在A\\ 出 在A\中出 照續(xù),即得A集進(jìn)步,我們理.□定理1.2.4若X是一無限集,Y是有限集或可數(shù),則XY=.證明因XY=X(Y\\X),故不妨設(shè) 若Y集,記 于X無集,由理13知,X有可數(shù)子集于是有分解(X\\X1).令φX∪Y→,得-1,n=1,2,…;φ(x)=,\∈1.由此構(gòu)造知是X與XY之的一對應(yīng);若Y為有限,則對應(yīng)的 取為與Y有相同的X的集,然類上的證得.□眾所周,有限集不可能和它的任意真子集建立一一對應(yīng)關(guān).無限集與有限集的本質(zhì)區(qū)別就在于,即下面的定.定理1.2.5集合X是無限集的充要條件,存在X的真子集Y有Y～X.證明因若X集時,X不可能與它的任意真子集對,由此得證充分性；下證必要性：任取X的一個有限子集A,因X是無限集,故X\\A亦是無限,利理14得AX\\A)=,記Y=X\\A,證.□下面一系列定理關(guān)心的是集合及其子集的可數(shù)性問.定理1.2.6可數(shù)集的子集如果不是有限,則一定是可數(shù).證明設(shè)A是可數(shù)集 是A的一個無限子.首先,因 故 其次,因 是無限集,由定理1.2.3可知 于是伯恩坦理得即 是可集.□定理1.2.7設(shè)A為可數(shù)集,B為有限或可數(shù)則AB為可數(shù).明設(shè) 或(1)先設(shè) 由于可數(shù)總可排無窮序列,當(dāng)B有限時,A{b1,b2,…,bn,a 當(dāng)B數(shù)時,A{a1,b1,a2,b,…,an,bn,…,見AB排成無集.(2)一般情況,此時令 -A,則AB*=AB. 于B數(shù),故

AB*=,為B集,數(shù)）,由)知,AB*可數(shù),故AB數(shù).□推論1.2.2設(shè) 是有集可集,則n=1Ai也是限或數(shù)集,但如果至少有一個 是可數(shù)集,則n=1Ai必可集.定理1.2.8可列個數(shù)集并集是可數(shù)集.證明設(shè) (n=1,2,…）是一列可數(shù)集.(1)先設(shè) 因為 都是可集,于是可記 An={an1,an2,,ank,…,n,k1,,∪規(guī)則是：

而∪ 中元素按下述式排成列：位,當(dāng)i2時 排在第ji+j-2k=1k位因此∪ 是數(shù)（：當(dāng)部分 是有限仍用）.(2)一般情況,各令i-j=1A則

可能相,j(≥),且∪ ∪由 可數(shù)知 都是限或可集,如果只有限個 不為空集,則由推論1.2.2易知∪ 為可數(shù)（因為少 為可數(shù)）如有無限個（必為可數(shù)）不為集,則由(1)知∪ ∪也是可集,故在任何場合∪ 都集.□推論1.2.3(1)限集與數(shù)集的是一可集;(2)有限個可數(shù)集的并是一可數(shù);(3)可數(shù)個互不相交的非空有限集的并是一可數(shù);(4)可數(shù)個可數(shù)集的并是一可數(shù).例1.2.4整數(shù)集,有理數(shù)集均為可數(shù)集.事實,整數(shù)集Z=N-N),其中- 為負(fù)自然數(shù)全體的集合.因映射f:N-N,f(n)=-n,建立了N與-之間的一一對,故-N是集.于理17知Z是集.對集,記Q 理；Q 集,于是Q=Q ∪Q-{}.令A(yù)n=1n,2n,3n,… 則n∈N）集,而Q =∪又Q 與Q 射fxx∈Q

理18知Q ；應(yīng),于是Q -數(shù).再理17得Q是可數(shù)集.例4：；R形集.上,數(shù),間的.成Q集,為Q1,由定理1.2.6得Q 1可,從證.注1.2.2若A中每元素由n個互獨立記號一一地以決定,各記號跑一個可集,即A={ax1,x2,…,xn|xk=xk()xk()xk(3),…;k=1,2,…,n}, 則A集.例1.2.5元素 是由k正整數(shù)組成的合,其全體構(gòu)成一可集A={(n1,n2,,nk)|ni∈Z +}. 例1.2.6整系數(shù)項式a0xn+a1xn- -的體是可集.記aa0,a1,…aa0xn+a1xn-則整系數(shù)項式的全可記為∪

-，為可數(shù)集,中數(shù),）.上,多數(shù),根,數(shù)集.例1.2.7 N若不然,存在

與R不對等,即N≠R.N與R的一個一一對應(yīng),將與N中n對應(yīng)的元素(n)記為 則R上至少有一個單位長度的區(qū)間不含 不妨設(shè)此區(qū)間為 \,將\分為三等分,則0,13〗,23,1〗中至有個不含 以 表示個間將 三等分,其左右兩個區(qū)中至有個間含為 依此類,可得一串閉區(qū)間 },滿足：) 且 度于0;(2)由閉區(qū)間套定理知 但對任意的 換言之 不在R中,這是不可能的.這一矛盾說明 與R不可能對等.例1.2.8R上任一單調(diào)函數(shù)的不續(xù)點體的集多可數(shù),即或為空集,或為有限集,或為可數(shù)集.不妨設(shè)f(x是單調(diào)遞增函.若f(x在R上連,則其不連續(xù)點集為空集；若存在間斷點 由柯西（Cauchy0)與均存,于是-

）斂理知 -f(x1-0)=limxx1-表明 對應(yīng)開區(qū)間對于兩個不同間斷點 和 由函數(shù)f(x的單調(diào)性可,開區(qū)間- 與 -互不相.進(jìn)而,由上面的分析,f(x)的不連續(xù)點集與上述開區(qū)間形成的集合之間存在一一對,于是,或為有限集,或數(shù)集.1.14不可數(shù)集與連續(xù)基數(shù)對于一個無限,若不是可數(shù),則稱之為不可數(shù).定理1.2.9開區(qū)間(0,1)是不可數(shù)集.證明用反證法：假若(0,1)是可數(shù),則可記 而每個(i=1,2,）均可按下述方式唯一表示成十進(jìn)制純小數(shù)：a(1)=0.a(1)1a2(1)a3(1)…,(2)…,(3)…,規(guī)定,上述各數(shù)不能從某起全為0令 滿足：當(dāng) 當(dāng)知(0,1),但與假設(shè) 矛盾.□由前面的例1.2.2理9得,集R

由上述構(gòu)造這是集.今用c集R的數(shù),稱）.而理9知例1.2.9(a,b)=c,其中a,b∈R.上,令φ(x=ax(-a),x(0,1),則建立了(01)與(a,b)之間一對應(yīng),于是(ab)=(,1=c.類似地,可證 (+(=1c.題.定理1.2.10設(shè) 是一列互不相交的集,它們均有連續(xù)基,則并∪n也有連續(xù)基.明到\ 及\ 故 ∪ ～∪\1 即∪ n數(shù).□由定理1.2.10易知,面R2數(shù),即R.有R n=R =,此處R 數(shù)個R的笛積.定理1.2.3告訴我們,可數(shù)集在無限集中基數(shù)最小,那么有沒最大的數(shù)呢？案是否定的,即下面的結(jié)論.任給一個非空集合

定理1.2.11是其冪,即由A的所有子集形成的集.則證明假若A～ 則存在一應(yīng)φ:于是對于每個aA,都唯一存在A集)應(yīng).作A集∈A|x(.根據(jù)定,應(yīng)有A素 與 對應(yīng).由此,若 A0，與的定義矛若，則由的定義知于矛盾.于是A與 不對等.進(jìn)而,單點全成 的子集,為A~,顯然A~～A,因此 例1.2.10其中 記從自然數(shù)集N到兩點{0,1}的所有映射形成的集.事實,對于任意的f{0,1} N,令則是從

:到(0,1\]的一一映射,于有0,1\];另一方面,每個x(0,1\]均可唯一表示規(guī)定下面二進(jìn)制表達(dá)式中必須出現(xiàn)無限多個1)為{0,1}.

x∑n=1xn2n,令 ∈N,則 {0,1} N.進(jìn)而,定義映射φ:(0,1\],則從(0,1\]到再利用恩斯坦理即得注意到N=0,例1.2.10用記號表,即

的一一映,于是有(0,1\\]=c.既然沒有最大的基數(shù),那么限定在0與c之間情況又如何呢？集合論的奠基者康托爾于1878年提出下面的猜想：在0與c之間沒有基數(shù)存在,即不存在集合X,使得0<<c.這個問又被為連統(tǒng)假設(shè)問題.20世紀(jì)偉大的學(xué)家希伯特（Hilbert）在1900年國際學(xué)家會上提出了23個重大數(shù)學(xué)問其中就包括連續(xù)統(tǒng)假設(shè)問.而連續(xù)統(tǒng)假設(shè)問題直到1963年才由科恩Korn）和德（Godel）解決：他們證明,連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與已有的集合論公理系統(tǒng)是相容,既不能被證明也不能被否定.習(xí)題習(xí)題1.15設(shè)f:X→是一個滿射證明下列3個命題等價：(1)f是一一映射;(2)對任意的 有f(A∩B)=f(A)∩f(B);(3)對任意的 若 則1.16設(shè)f:X→,明f是射充條是,對任意的 有 -)A.1.17設(shè)映射f: I(I集,試：)f∪I∈∪I(A);(2)f∩I∈α∩I(A;)若 則- -2;) 1∪I∈∪I∈-1B;) 1∩I∈∩I∈-1(B);(6) -1(Y- -1(Y)- -1.18設(shè)E是X的子集,定在X為χx,xX-E. 如果都是X的子集.證明：(1) ∪ B(x)-(2) (3) --(4) n→∞sup sup(5) n→∞inf n→∞inf5.設(shè) 是 到 到 射,是在 \\ 到 \\ 的射?1.1.3試構(gòu)造(0,1)與\7.試構(gòu)造出個從無數(shù)集Q c