彈性力學(xué)圓形薄板

彈性力學(xué)圓形薄板第一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日主要內(nèi)容：一、有關(guān)概念及假定四、Mathcad解題應(yīng)用三、圓形薄板軸對稱彎曲問題的求解二、彈性曲面的基本公式第二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日一、基本概念及假設(shè)1、基本概念——中面平分板厚度t的平面簡稱為中面?！“灏宓暮穸萾遠(yuǎn)小于中面的最小尺寸b，這樣的板稱為薄板。第三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日2、假設(shè)薄板的小撓度彎曲理論，是以三個(gè)計(jì)算假設(shè)為基礎(chǔ)的。（1）、垂直于中面方向的正應(yīng)變可以不計(jì)。即也就是說，在中面的任意一根法線上，薄板全厚度內(nèi)所有各點(diǎn)都具有相同的位移，其值等于撓度。由幾何方程可得與梁的彎曲相似，在梁的任意一橫截面上，所有各點(diǎn)都具有相同的位移，其值等于軸線的撓度。第四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日（2）、應(yīng)力分量和遠(yuǎn)小于其余三個(gè)應(yīng)力分量，因而是次要的，它們所引起的形變可以不計(jì)。但它們本身是維持平衡所必需的，不能不計(jì)。所以有：這里與梁的彎曲相同之處，也有不同之處，梁的彎曲我們只考慮橫截面，板的彎曲有兩個(gè)方向，要考慮兩個(gè)橫截面上的應(yīng)力。第五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日結(jié)合第一假設(shè)，可見中面的法線在薄板彎曲時(shí)保持不伸縮，并且成為彈性曲面的法線。由于不計(jì)所引起的形變，所以其物理方程與薄板平面問題中的物理方程是相同的。第六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日（3）、薄板中面內(nèi)的各點(diǎn)都沒有平行于中面的位移，即：也就是說，中面的任意一部分，雖然彎曲成彈性曲面的一部分，但它在xy面上投影的形狀卻保持不變。所以由幾何方程可以得出：第七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日二、彈性曲面的基本公式1、彈性曲面的微分方程。薄板的小撓度問題是按位移求解的，其基本未知函數(shù)是薄板的撓度ω。因此把其它所有物理量都用ω來表示，即可得彈性曲面的微分方程。其中第八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日由假設(shè)可得即積分得下面對彈性曲面的微分方程進(jìn)行推導(dǎo)。第九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日根據(jù)薄板中面內(nèi)的各點(diǎn)都沒有平行于中面的位移即：可得第十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日由幾何方程可得由物理方程可得第十一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日另由平衡方程可得即積分得x,y)第十二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日根據(jù)薄板上下面內(nèi)的邊界條件：可求得F1(x,y),F2(x,y),最后得到：第十三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日另由平衡方程可得即積分得根據(jù)薄板下面內(nèi)的邊界條件：可求得F3(x,y),最后得到：第十四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日根據(jù)薄板上面內(nèi)的邊界條件：最后得到：可記為其中代入第十五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日截面上的內(nèi)力：彎矩可得同樣可得MyMx由第十六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日由可得截面上的內(nèi)力：扭矩第十七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日可得由截面上的內(nèi)力：剪力第十八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日同樣可得Qy,記可得第十九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日如果用截面內(nèi)力表示截面上的應(yīng)力，可得第二十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日截面上的最大應(yīng)力，正應(yīng)力發(fā)生在板的上下面上，切應(yīng)力發(fā)生在板的中面上，其值為第二十一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日3、邊界條件邊界上的應(yīng)力邊界條件，一般難于精確滿足，一般只要求滿足邊界內(nèi)力條件。情況一：以矩形薄板為例，說明各種邊界處的邊界條件。假設(shè)OA邊是固支邊界，則邊界處的撓度和曲面的法向斜率等于零。即第二十二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日情況二：OC具有簡支邊界。則邊界處的撓度和彎矩等于零。即：后者可表示為＝0由于沿邊界的撓度為常值0，故沿x后的導(dǎo)數(shù)恒為零，邊界條件又可表示為＝0第二十三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日情況三：假設(shè)薄板具有簡支邊界。邊界上具有力矩載荷M。這時(shí)，邊界處的撓度等于零，而彎矩等于力矩載荷。即：第二十四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日情況四：假設(shè)薄板具有自由邊界。邊界上具有力矩載荷Mx或My、Mxy及分布剪力Qx或Qy。這時(shí)，彎矩等于邊界力矩載荷,扭矩Mxy應(yīng)轉(zhuǎn)換為等效剪力與原有分布剪力Qx或Qy合并為一個(gè)條件，分析如下。第二十五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日第二十六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日第二十七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日邊界上的分布扭矩就變換為等效的分布剪力邊界上的總的分布剪力為除此之外，在A和B

還有未被抵消的集中剪力（也就是有集中反力）第二十八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日2、板彎曲的解題思路曲面微分方程邊界條件撓度ω應(yīng)力分量方程應(yīng)力分量方程第二十九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日三、圓形薄板彎曲問題1求解圓形薄板彎曲問題時(shí)，用極坐標(biāo)比較方便。把撓度和橫向載荷都看作是極坐標(biāo)ρ和φ的函數(shù)。即：ω=ω(ρ,φ)，q=q(ρ,φ)進(jìn)行坐標(biāo)變換可得：ρφ第三十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日則彈性曲面的微分方程可以變換為：D為板的抗彎剛度第三十一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日2、如果圓形薄板的邊界是繞z軸對稱的，它所受的橫向載荷也是繞z軸對稱的，q只是ρ的函數(shù)，則該薄板的彈性曲面也是繞z軸對稱的，即ω只是ρ的函數(shù)，這時(shí)，彈性曲面的微分方程將簡化為：這個(gè)常微分方程的解答是：第三十二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日此時(shí)，從板中取出一單元體，則單元體單位長度上的彎矩和扭矩以及板中應(yīng)力分別為：第三十三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日應(yīng)力分別為：第三十四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日在彈性曲面微分方程解答中的ω1是任意一個(gè)特解，可以根據(jù)載荷的分布按照彈性曲面微分方程的要求來選擇；A、B、C、K任意常數(shù)，由邊界條件來決定。對于均布載荷q，取特解ω1=Nρ4代入微分方程，可解得N=q/64D。得特解ω1=q

ρ

4/64D所以軸對稱載荷的圓板彎曲的一般解為：（解題思路→A、B、C、K）第三十五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日3、典型問題的邊界分析※對于無孔圓板受均布載荷的問題由于薄板中心無孔，所以B和C應(yīng)當(dāng)?shù)扔诹恪７駝t板中心（R=0）處內(nèi)力及撓度將無限大（參考前內(nèi)力公式）。而A、K

則由邊界條件求解。第三十六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日情況一：假設(shè)半徑為a的薄板具有固支邊界。則邊界處的撓度和曲面的法向斜率等于零。即將二式聯(lián)立解方程組，可得A，K。第三十七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日情況二：假設(shè)半徑為a的薄板具有簡支邊界。則邊界處的撓度和彎矩等于零。即：聯(lián)立二式解方程組，可得A，K。第三十八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日聯(lián)立二式解方程組，可得A，K。情況三：假設(shè)半徑為a的薄板具有簡支邊界。但無橫向載荷q，邊界上具有均布力矩載荷M。這時(shí)，q等于零，因而特解可以取零。則邊界處的撓度等于零，而彎矩等于均布力矩載荷。即：第三十九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日※對于圓環(huán)形薄板。

條件：內(nèi)外半徑分別為a，b的圓環(huán)薄板，內(nèi)邊界簡支，外邊界自由。薄板不受均布橫向載荷q，邊界上受均布力矩載荷M。第四十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日由于薄板不受橫向載荷，所以特解可取零。內(nèi)外兩邊界處有四個(gè)邊界條件。內(nèi)邊界處撓度和彎矩等于零，外邊界處彎矩等于均布力矩載荷M，總剪力等于零。即第四十一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日其中，扭矩Mρφ可以變換成等效剪力聯(lián)立四式解方程組，可得A，B，C，K。與橫向剪力Qr合并而成總的剪力即：第四十二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日※對于載荷徑向不連續(xù)的圓板若圓板所受的載荷沿徑向不連續(xù)，有間斷，則必需將該板劃分為N個(gè)區(qū)段，每一區(qū)段內(nèi)載荷沿徑向連續(xù)。第四十三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日在每個(gè)區(qū)段內(nèi)寫出撓度的表達(dá)式，其特解項(xiàng)可根據(jù)載荷的分布特點(diǎn)選取。每個(gè)區(qū)段撓度表達(dá)式中都有四個(gè)待定常數(shù)，因此共有4N個(gè)待定常數(shù)，需要聯(lián)立4N個(gè)方程來求解。因此，求解的關(guān)鍵還是在于尋求能夠列出4N個(gè)方程的條件。第四十四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日小結(jié)對于無孔圓板：1、無論圓板中心處的情況如何，該處的撓度都不應(yīng)該無限大。由此可確定常數(shù)C等于零。2、圓板中心處的支承和載荷情況。如果中心處既無支座又無集中載荷，則該處的彎矩和