湖北省隨州市隨縣2024學年數(shù)學高二上期末學業(yè)質量監(jiān)測試題含解析

湖北省隨州市隨縣2024學年數(shù)學高二上期末學業(yè)質量監(jiān)測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線y2＝4x的焦點為F，定點，M為拋物線上一點，則|MA|+|MF|的最小值為（）A.3 B.4C.5 D.62．“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學的瑰寶，如圖所示，它是由四個全等的直角三角形和一個正方形構成.現(xiàn)用4種不同的顏色（4種顏色全部使用）給這5個區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，每個區(qū)域只涂一種顏色，則不同的涂色方案有（）A.24種 B.48種C.72種 D.96種3．如圖，在三棱柱中，平面，，，分別是，中點，在線段上，則與平面的位置關系是（）A.垂直 B.平行C.相交但不垂直 D.要依點的位置而定4．已知等比數(shù)列，且，則（）A.16 B.32C.24 D.645．下圖稱為弦圖，是我國古代三國時期趙爽為《周髀算經》作注時為證明勾股定理所繪制，我們新教材中利用該圖作為“（）”的幾何解釋A.如果，，那么B.如果，那么C.對任意實數(shù)和，有，當且僅當時等號成立D.如果，那么6．設，是橢圓C：的左、右焦點，若橢圓C上存在一點P，使得，則橢圓C的離心率e的取值范圍為（）A. B.C. D.7．2021年7月，某文學網站對該網站的數(shù)字媒體內容能否滿足讀者需要進行了調查，調查部門隨機抽取了名讀者，所得情況統(tǒng)計如下表所示：滿意程度學生族上班族退休族滿意一般不滿意記滿分為分，一般為分，不滿意為分.設命題：按分層抽樣方式從不滿意的讀者中抽取人，則退休族應抽取人；命題：樣本中上班族對數(shù)字媒體內容滿意程度的方差為.則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.8．丹麥數(shù)學家琴生（Jensen）是19世紀對數(shù)學分析作出卓越貢獻的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果．設函數(shù)在區(qū)間內的導函數(shù)為，在區(qū)間內的導函數(shù)為，在區(qū)間內恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間內為“凸函數(shù)”，則下列函數(shù)在其定義域內是“凸函數(shù)”的是（）A. B.C. D.9．拋物線的準線方程為（）A B.C. D.10．函數(shù)在區(qū)間上平均變化率等于（）A. B.C. D.11．在四面體中，空間的一點滿足，若共面，則（）A. B.C. D.12．已知數(shù)列的前項和滿足，記數(shù)列的前項和為，.則使得的值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為，設直線的斜率為，直線(其中為坐標原點)的斜率為，則______.14．已知空間向量，，，若，，共面，則實數(shù)___________.15．已知等比數(shù)列滿足，則_________16．若存在實常數(shù)k和b，使得函數(shù)F（x）和G（x）對其公共定義域上的任意實數(shù)x都滿足：F（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立，則稱此直線y＝kx+b為F（x）和G（x）的“隔離直線”，已知函數(shù)f（x）＝x2（x∈R），g（x）（x＜0），h（x）＝2elnx，有下列命題：①F（x）＝f（x）﹣g（x）內單調遞增；②f（x）和g（x）之間存在“隔離直線”，且b的最小值為﹣4；③f（x）和g（x）之間存在“隔離直線”，且k的取值范圍是（﹣4，0]；④f（x）和h（x）之間存在唯一的“隔離直線”y＝2x﹣e其中真命題為_____（請?zhí)钏姓_命題的序號）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓，直線（1）判斷直線l與圓C的位置關系；（2）過點作圓C的切線，求切線的方程18．（12分）已知正項等差數(shù)列滿足：，且，，成等比數(shù)列（1）求的通項公式；（2）設的前n項和為，且，求的前n項和19．（12分）在下面兩個條件中任選一個條件，補充在后面問題中的橫線上，并完成解答.條件①：展開式前三項的二項式系數(shù)的和等于37；條件②：第3項與第7項的二項式系數(shù)相等；問題：在二項式的展開式中，已知__________.（1）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；（2）設，求的值；（3）求的展開式中的系數(shù).20．（12分）某市對排污水進行綜合治理，征收污水處理費，系統(tǒng)對各廠一個月內排出污水量x噸收取的污水處理費y元，運行程序如圖所示：INPUTxIFTHENELSEIFTHENELSEENDIFENDIFPRINTyEND（1）請寫出y與x的函數(shù)關系式；（2）求排放污水150噸的污水處理費用.21．（12分）已知直線經過點，且滿足下列條件，求相應的方程.（1）過點；（2）與直線垂直.22．（10分）為了解某校今年高一年級女生的身體素質狀況，從該校高一年級女生中抽取了一部分學生進行“擲鉛球”的項目測試，成績低于5米為不合格，成績在5至7米（含5米不含7米）的為及格，成績在7米至11米（含7米和11米，假定該校高一女生擲鉛球均不超過11米）為優(yōu)秀．把獲得的所有數(shù)據(jù)，分成五組，畫出的頻率分布直方圖如圖所示．已知有4名學生的成績在9米到11米之間(1)求實數(shù)的值及參加“擲鉛球”項目測試的人數(shù)；(2)若從此次測試成績最好和最差的兩組中隨機抽取2名學生再進行其它項目的測試，求所抽取的2名學生自不同組的概率

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】作出圖象，過點M作準線的垂線，垂足為H，結合圖形可得當且僅當三點M，A，H共線時|MA|+|MH|最小，求解即可【題目詳解】過點M作準線的垂線，垂足為H，由拋物線的定義可知|MF|＝|MH|，則問題轉化為|MA|+|MH|的最小值，結合圖形可得當且僅當三點M，A，H共線時|MA|+|MH|最小，其最小值為.故選：B2、B【解題分析】根據(jù)題意，分2步進行分析區(qū)域①、②、⑤和區(qū)域③、④的涂色方法，由分步計數(shù)原理計算可得答案.【題目詳解】根據(jù)題意，分2步進行分析：當區(qū)域①、②、⑤這三個區(qū)域兩兩相鄰，有種涂色的方法；當區(qū)域③、④，必須有1個區(qū)域選第4種顏色，有2種選法，選好后，剩下的區(qū)域有1種選法，則區(qū)域③、④有2種涂色方法，故共有種涂色的方法.故選：B3、B【解題分析】構造三角形,先證∥平面,同理得∥平面,再證平面∥平面即可.【題目詳解】連接，，.因為在直三棱柱中，M，N分別是，AB的中點，所以∥.因為平面內，平面，所以∥平面.同理可得AM∥平面.又因為，平面，平面，所以平面∥平面.又因為P點在線段上，所以∥平面.故選：B.4、A【解題分析】由等比數(shù)列的定義先求出公比，然后可解..【題目詳解】，得故選：A5、C【解題分析】設圖中直角三角形邊長分別為a，b，則斜邊為，則可表示出陰影面積和正方形面積，根據(jù)圖象關系，可得即可得答案.【題目詳解】設圖中全等的直角三角形的邊長分別為a，b，則斜邊為，如圖所示：則四個直角三角形的面積為，正方形的面積為，由圖象可得，四個直角三角形面積之和小于等于正方形的面積，所以，當且僅當時等號成立，所以對任意實數(shù)和，有，當且僅當時等號成立.故選：C6、B【解題分析】先設，根據(jù)P在橢圓上得到，由，得到的范圍，即為離心率的范圍.【題目詳解】由橢圓的方程可得，，設，由，則，即，由P在橢圓上可得，所以，代入可得所以，因為，所以整理可得：，消去得：所以，即所以.故選：B7、A【解題分析】由抽樣比再乘以可得退休族應抽取人數(shù)可判斷命題，求出上班族對數(shù)字媒體內容滿意程度的平均分，由方差公式計算方差可判斷，再由復合命題的真假判斷四個選項，即可得正確選項.【題目詳解】因為退休族應抽取人，所以命題正確；樣本中上班族對數(shù)字媒體內容滿意程度的平均分為，方差為，命題正確，所以為真，、、為假命題，故選：8、B【解題分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導函數(shù)公式求各函數(shù)二階導函數(shù)，判斷其在定義域上是否恒有，即可知正確選項.【題目詳解】A：，則，顯然定義域內有正有負，故不是“凸函數(shù)”；B：，則，故是“凸函數(shù)”；C：，則，故不是“凸函數(shù)”；D：，則，顯然定義域內有正有負，故不是“凸函數(shù)”；故選：B9、D【解題分析】根據(jù)拋物線方程求出，進而可得焦點坐標以及準線方程.【題目詳解】由可得，所以焦點坐標為，準線方程為：，故選：D.10、C【解題分析】根據(jù)平均變化率的定義算出答案即可.【題目詳解】函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于故選：C11、D【解題分析】根據(jù)四點共面的向量表示，可得結果.【題目詳解】由共面知，故選：【題目點撥】本題主要考查空間中四點共面的向量表示，屬基礎題.12、B【解題分析】由，求得，得到，結合裂項法求和，即可求解.【題目詳解】數(shù)列的前項和滿足，當時，；當時，，當時，適合上式，所以，則，所以.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##-0.0625【解題分析】使用點差法即可求解﹒【題目詳解】設，，則①－②得：，即，即.故答案為：.14、1【解題分析】根據(jù)向量共面，可設，先求解出的值，則的值可求.【題目詳解】因為，，共面且，不共線，所以可設，所以，所以，所以，所以，故答案為：1.15、84【解題分析】設公比為q，求出，再由通項公式代入可得結論【題目詳解】設公比為q，則，解得所以故答案為：8416、①②④【解題分析】①求出F（x）＝f（x）﹣g（x）的導數(shù)，檢驗在x∈（，0）內的導數(shù)符號，即可判斷；②、③設f（x）、g（x）的隔離直線為y＝kx+b，x2≥kx+b對一切實數(shù)x成立，即有△1≤0，又kx+b對一切x＜0成立，△2≤0，k≤0，b≤0，根據(jù)不等式的性質，求出k，b的范圍，即可判斷②③；④存在f（x）和g（x）的隔離直線，那么該直線過這個公共點，設隔離直線的斜率為k．則隔離直線，構造函數(shù)，求出函數(shù)函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)求出函數(shù)的最值【解答】解：①∵F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2，∴x∈（，0），F(xiàn)′（x）＝2x0，∴F（x）＝f（x）﹣g（x）在x∈（，0）內單調遞增，故①對；②、③設f（x）、g（x）的隔離直線為y＝kx+b，則x2≥kx+b對一切實數(shù)x成立，即有△1≤0，k2+4b≤0，又kx+b對一切x＜0成立，則kx2+bx﹣1≤0，即△2≤0，b2+4k≤0，k≤0，b≤0，即有k2≤﹣4b且b2≤﹣4k，k4≤16b2≤﹣64k?﹣4≤k≤0，同理?﹣4≤b≤0，故②對，③錯；④函數(shù)f（x）和h（x）的圖象在x處有公共點，因此存在f（x）和g（x）的隔離直線，那么該直線過這個公共點，設隔離直線的斜率為k．則隔離直線方程為y﹣e＝k（x），即y＝kx﹣ke，由f（x）≥kx﹣ke（x∈R），可得x2﹣kx+ke≥0當x∈R恒成立，則△≤0，只有k＝2，此時直線方程為：y＝2x﹣e，下面證明h（x）≤2x﹣e，令G（x）＝2x﹣e﹣h（x）＝2x﹣e﹣2elnx，G′（x），當x時，G′（x）＝0，當0＜x時，G′（x）＜0，當x時，G′（x）＞0，則當x時，G（x）取到極小值，極小值是0，也是最小值所以G（x）＝2x﹣e﹣g（x）≥0，則g（x）≤2x﹣e，當x＞0時恒成立∴函數(shù)f（x）和g（x）存在唯一的隔離直線y＝2x﹣e，故④正確故答案為：①②④【題目點撥】本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查新定義，關鍵是對新定義的理解，考查函數(shù)的求導，利用導數(shù)求最值，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）相交.（2）或.【解題分析】（1）先判斷出直線恒過定點(2，1)，由(2，1)在圓內，即可判斷；（2）分斜率存在與不存在兩種情況，利用幾何法求解.【小問1詳解】直線方程，即，則直線恒過定點(2，1).因為，則點(2，1)位于圓的內部，故直線與圓相交.【小問2詳解】直線斜率不存在時，直線滿足題意；②直線斜率存在的時候，設直線方程為，即.因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，解得:，則直線方程為：.綜上可得，直線方程或.18、（1）；（2）.【解題分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式結合條件即求；（2）利用條件可得，然后利用錯位相減法即求.【小問1詳解】設等差數(shù)列公差為d，由得，即，化簡得，又，，成等比數(shù)列，則，即，將代入上式得，化簡得，解得或－2（舍去），則，所以【小問2詳解】∵，當時，，當時，，符合上式，則，所以，令，則，，∴，化簡得綜上，的前n項和19、（1）答案見解析（2）0（3）560【解題分析】（1）選擇①，由，得，選擇②，由，得；（2）利用賦值法可求解；（3）分兩個部分求解后再求和即可.【小問1詳解】選擇①，因為，解得，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為選擇②，因為，解得，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為【小問2詳解】令，則，令，則，所以，【小問3詳解】因為所以的展開式中含的項為：所以展開式中的系數(shù)為560.20、（1）；（2）1400（元）.【解題分析】（1）根據(jù)已知條件即可容易求得函數(shù)關系式；（2）根據(jù)（1）中所求函數(shù)關