一階線性微分方程解的存在唯一性證明

一階線形微分方程dy二P(X)y+q(X)解的存在唯一性定理的證明dx摘要:從分析方法入手,來證明滿足初值條件下一階線形微分方程解的存在唯一性定理的證明.引言:我們學(xué)習(xí)了能用初等解法的一階方程的若干類型,但同時(shí)知道大量的一階方程是不能用初等解法求出它的通解,而實(shí)際問題中所需要的往往是要求滿足某種初始條件的解,因此對(duì)初值問題的研究被提到重要地位,自然要問:初值問題的解是否存在?如果存在是否唯一?首先，我們令f(χ,y)=p(χ)y+q(χ)這里f(χ,y)是在矩形域R:廠X01≤叼y-y0∣≤b上的連續(xù)函數(shù).函數(shù)f(x,y)稱為在R上關(guān)于y滿足利普希茲條件,如果存在常數(shù)L>0使不等式∣/(X,yγ)-f(X,y2)|≤L?y1-y2|對(duì)于所有的(χ,y1),(χ,y2)WR都成立,L稱為利普希茲常數(shù)下面我們給出一階線形微分方程dy二P(X)y+q(X)(1)解的存在唯一性

dX定理:如果f(x,y)=p(x)y+q(x)?R上連續(xù)且關(guān)于y滿足利普希茲條件,則方程(1)存在唯一的解y=φ(X),定義于區(qū)間IX-X∣≤h上,連續(xù)且滿足初始條件：φ(X)=y這里h=min(a,M)M=max∣f(x,y)∣(x,y)∈R我們采用皮卡的逐步逼近法來證明這個(gè)定理,為了簡(jiǎn)單起見,只就區(qū)間X≤X≤X+h來討論,對(duì)于χ-h≤X≤X的討論完全一樣.00 0 0現(xiàn)在簡(jiǎn)單敘述一下運(yùn)用逐步逼近法證明定理的主要思想,首先證明求微分方程的初值問題的解等價(jià)于求積分方程J二j+JX[P(X”+q(X)dx的連續(xù)解這里我們用f(x,y)=p(x)y+q(x)來替J */0 ?X×*/ J.V×X0代,因此也就等價(jià)于求積分方程J=J+JXf(X,J)dX的連續(xù)解,然后去X0證明積分方程的解的存在唯一性.任取一個(gè)連續(xù)函數(shù)φ(X)代入上面的積分方程右端的y就得0到函數(shù)φ(X)三j+JXf(X,φ(X))dχ

10 0X0顯然φ(X)也是連續(xù)解,如果φ(X)三φ(χ)那么φ(χ)就是積分方1100程的解.否則,我們又把φ(X)代入積分方程右端的y得到1φ(X)三j+Jxf(X,φ(X))dχ

20 1X0如果φ(X)三φ(X),那么φ(X)就是積分方程的解,否則我們繼21續(xù)這個(gè)步驟.一般地做函數(shù)1φ(X)三J+Jxf(x,φ(X))dx (2)n 0 n-1X0這樣就得到連續(xù)函數(shù)序列φ(X),φ(X)…φ(X)???

01 n如果φ(X)三φ(X)那么φ(X)就是積分方程的解,如果始終不發(fā)生這種n+1 nn情況,我們可以證明上面的函數(shù)序列有一個(gè)極限函數(shù)φ(X)即limφnTglimφnTgnn(X)=φ(χ) 存在因此對(duì)(2)取極限就得到(X)=y+limJXf(X,φ(X))dX0n-1nTgX0=J+JXlimf(X,φ(X))dX

0 n-1即X0nTg=y+JXf(X,φ(X))dX0 X0φ(X)三J+Jxf(x,φ(X))dX0X0這就是說φ(X)是積分方程的解,這種一步一步地求出方程的解的方法就成為逐步逼近法油(2)所確定的函數(shù)φ(X)稱為問題⑴的n次近似n解,在定理的假設(shè)條件下以上步驟是可以實(shí)現(xiàn)的下面我們分四個(gè)命題來證明這個(gè)定理.命題L設(shè)y=φ(X)是一階線形微分方程(1)的定義于區(qū)間X≤X≤X+h00上的，且滿足初始條件φ(X)=)的解，則y=φ(X)是積分方程00y=y+∫xf(x,v)dx(X≤X≤X+h)的定義于X≤X≤X+h上的連續(xù)解，反0 ,00 00X0之亦然.因?yàn)閥=φ(X)是一階線形微分方程(1)的解故有dφ(x)=f(X,φ(X))dX兩邊從X到X取定積分得到0φ(X)—φ(X)三JXf(X,φ(X))dXx≤X≤X+h

0 00X0把φ(X)=)代上式即有00φ(X)三y+∫xf(X,φ(X))dXx≤X≤X+h0X 0 00因此,y=φ(x)是積分方程y=y+JXf(Xy)dx定義于X≤X≤X+h上的連0 , 00X0續(xù)解反之如果y=φ(X)是積分方程y=?+∫Xf(x,y)dχ的連續(xù)解,則有X0φ(X)三y+∫xf(X,φ(X))dXx≤X≤X+h(3)0 00X0微分之,得到dφ(X)二f(x,φ(X))dX又把X二X代入(3)得至I」0φ(Z)=>0因此y=φ(χ)是方程⑴的定義于X≤χ≤χ+入上且滿足初始條件O O(P(X)-的解.命題1證畢.OO現(xiàn)在取(P⑴二,構(gòu)造皮卡逐步逼近函數(shù)序列如下：O Oφ(X)=y<O 0rφ(X)=y+Jχ∕(ξ,φ(ξ)M

n O n-1X<x<X+hO O(n=L2,…)(4)命題2 函數(shù)序列(p(%)｝在X≤χ≤χ+力上是一致收斂的\o"CurrentDocument"n O O證明:我們考慮級(jí)數(shù)φw+∑tp(X)-φ⑴L≤χ≤χ+√5)O k k-1O Ok=l它的部分和為φ(x)+Σ[p(X)-φ(x)l=φ(x)O k k-?k=l因此,要證明序列(P⑴}在X≤χ≤χ+"上一致收斂,只需證明級(jí)數(shù)⑸O On在X≤x≤x+∕z上一致收斂為此我們進(jìn)行如下估計(jì).由⑷有O OM(X)—φθ(x)∣≤p∣∕(ξ,φθ(ξ))∣?<M{x-x}Xn及 ∣φ2(X)-φι(x)∣≤J?∣∕(ξ,φι(ξ))-/(ξ,Φθ(ξ))∣?」 xO利用利普希茲條件及(6)得到Iq(X)-Q(X)I≤Lp∣φι(ξ)-φθ(ξ)∣6∕ξxO≤LjrΛ∕(ξ-X)dξ~—(x-x)2xO ° 2! °設(shè)對(duì)于正整數(shù)"不等式(6)I.. z.IMLL1,φ(x)-φ(x)≤——(x-x)"n n-1 川 0成立,則有利普希茲條件,當(dāng)X≤x≤x+。時(shí),有0 0I(P(x)-φ(x)∣≤??∣∕(ξ,φ(ξ))-∕(ξ,φ(ξ))∣dξ〃+1 〃 〃 n-1λ()≤L?X1XOMLn<—

n!W&)-φ&)∣d己

n n-1J：&-XM=2(X-X0"+1于是,由數(shù)學(xué)歸納法得知,對(duì)于所有的正整數(shù)k,有如下的估計(jì)l l ML-1∣φk(X)-φk-1(x)∣≤F⑺(X—X)kx<x≤X+h0 00從而可知,當(dāng)X≤X≤X+h時(shí)00l l ML-ιφk(X)-φk-i(X)≤Fhk(8)⑻的右端是正項(xiàng)收斂級(jí)數(shù)EMLkh-k!k=1的一般項(xiàng),由維爾斯特拉斯判別法級(jí)數(shù)(5)在X≤X≤X+h上一致00\o"CurrentDocument"收斂,因而序列(p(X)｝也在X≤X≤X+h上一致收斂,命題2證畢.n 0 0命題3φ(X)是積分方程(2)的定義于X≤X≤X+h上的連續(xù)解.00證明：由利普希茲條件∣/(X,φ(X))—f(X,φ(X))∣≤Lφ(X)-φ(X)|n n\o"CurrentDocument"以及｛p(X)｝在X≤X≤X+h上一致收斂于φ(X),即知序列n 0 0f(X)｝三f(X,φ(X)｝nn在X≤X≤X+h上一致收斂于｛f(X,φ(X)｝.因而對(duì)于(4)兩邊取極限,00得至1」?limφnn→∞(X)三y+limf(X,φ (X))dXn-1Xn→∞X,Oy0+?xlimf《,φn-1&))dξX0n→∞即叭X)=y+?xf(ξ,叭己))dξ0x0這就是說φ(x)是積分方程(2)的定義于χ≤χ≤χ+h上的連續(xù)解.0 0命題3證畢.命題4設(shè)ψ(X)是積分方程(2)的定義于χ≤χ≤χ+h上的一個(gè)連00續(xù)解,則φ(X)三φ(X),X≤X≤X+h00證明:我們首先證明φ(X)也是序列(p(X)｝的一致收斂極限函數(shù).為n此從φ(X)=)00φ(x)=>+?Xf(S,φ(?))d5 (n=L2,.?.)n 0 XOφ(X)三)+?xf(X,φ(ξ))dS0 X0我們可以進(jìn)行如下估計(jì)φ0(X)—φ(x)|≤?Xlf(S,φ(ξ)IdS≤M(X一X0)X0φι(X)一φ(χ)|≤?Xlf(S,φ0(ξ))-f(S,φ(ξ))IdSX0≤L?xφ0(s)-φ(s)dSx0 0≤MLJX(S-X)dS=M(X-X)20 2! 0x0現(xiàn)設(shè)φ(X)-φ(X)∣≤MLl(X-X)n,則有1n-1 1n! 0φ(X)-φ(X)∣≤JXlf(S,φ(S))-f(S,φ(s))∣dSn n-1X0≤L?xφnI(S)-φ(s)IdSX0/MLnXx mlML/?≤——J(S-X)dS= —(X-X)n+1n!X0 0 (n+1)! 0故有數(shù)學(xué)歸納法得知,對(duì)于所有的正整數(shù)n,有下面的估計(jì)式MLnφn(X)-φ(X)∣≤(n+])!(X-X0)n+1(10)因此,