探索三角形全等的條件

3探索三角形全等的條件第1課時(shí)“邊邊邊(SSS)”和三角形的穩(wěn)定性教學(xué)目標(biāo)一、基本目標(biāo)1．掌握三角形全等的“邊邊邊”條件，了解三角形的穩(wěn)定性．2．經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程，體會(huì)利用畫圖、操作、歸納獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過程，初步形成解決問題的基本策略．二、重難點(diǎn)目標(biāo)【教學(xué)重點(diǎn)】利用三角形全等的“邊邊邊”條件證明兩個(gè)三角形全等；三角形的穩(wěn)定性．【教學(xué)難點(diǎn)】利用“SSS”說明三角形全等的思考和推理過程．教學(xué)過程環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問題【5min閱讀】閱讀教材P97～P99的內(nèi)容，完成下面練習(xí)．【3min反饋】1．(教材P97“做一做”)只給一個(gè)條件(一條邊或一個(gè)角)畫三角形時(shí)，畫出的三角形一定全等嗎？略2．(教材P97“做一做”)給出兩個(gè)條件畫三角形時(shí)，有幾種可能的情況？每種情況下作出的三角形一定全等嗎？分別按照下面的條件做一做．(1)三角形的一個(gè)內(nèi)角為30°，一條邊為3cm；(2)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別為30°和50°；(3)三角形的兩條邊分別為4cm,6cm.略3．(教材P97“議一議”)如果給出三個(gè)條件畫三角形，你能說出有哪幾種可能的情況？解：三條邊；三個(gè)角；兩條邊和一個(gè)角；兩個(gè)角和一條邊．4．(教材P98“做一做”)(1)已知一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為40°，60°和80°，你能畫出這個(gè)三角形嗎？把你畫的三角形與同伴畫出的進(jìn)行比較，它們一定全等嗎？(2)已知一個(gè)三角形的三條邊分別為4cm,5cm和7cm，你能畫出這個(gè)三角形嗎？把你畫的三角形與同伴畫出的進(jìn)行比較，它們一定全等嗎？解：(1)三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等．(2)三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)稱為“邊邊邊”或“SSS”．通常寫成下面的格式：在△ABC和△DEF中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AC＝DF，,AB＝DE，,BC＝EF，))所以△ABC≌△DEF(SSS)．5．2017年11月5日19時(shí)45分，我國(guó)在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長(zhǎng)征三號(hào)乙運(yùn)載火箭，以“一箭雙星”的方式成功發(fā)射第二十四、二十五顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星．這兩顆衛(wèi)星屬于中國(guó)地球軌道衛(wèi)星，是我國(guó)北斗三號(hào)第一、二顆組網(wǎng)衛(wèi)星，開啟了北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)全球組網(wǎng)的新時(shí)代．如圖所示，在發(fā)射運(yùn)載火箭時(shí)，運(yùn)載火箭的發(fā)射架被焊接成了許多的三角形，這樣做的原因是：三角形具有穩(wěn)定性.環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題活動(dòng)1小組討論(師生互學(xué))【例1】如圖，已知AB＝DE，AC＝DF，點(diǎn)E、C在直線BF上，且BE＝CF.求證：△ABC≌△DEF.【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)已知兩個(gè)三角形有兩組對(duì)邊相等，同一直線上的一組邊相等，可考慮用“SSS”證明△ABC≌△DEF.【證明】因?yàn)锽E＝CF，所以BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF.在△ABC和△DEF中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝DE，,BC＝EF，,AC＝DF，))所以△ABC≌△DEF(SSS)．【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或易證的結(jié)論確定判定三角形全等的方法，然后再根據(jù)判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．【例2】如圖，已知AB＝AD，DC＝BC，∠B與∠D相等嗎？為什么？【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)要判斷角相等，可考慮用三角形全等證明，需添加輔助線AC構(gòu)造三角形進(jìn)行證明．【解答】∠B＝∠D．理由如下：連結(jié)AC．在△ADC和△ABC中，因?yàn)閑q\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AD＝AB，,AC＝AC，,DC＝BC，))所以△ADC≌△ABC(SSS)，所以∠B＝∠D．【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))要證∠B與∠D相等，可證這兩個(gè)角所在的三角形全等，而現(xiàn)有的條件并不滿足，可以考慮添加輔助線證明．【例3】要使下列木架穩(wěn)定，可以在任意兩個(gè)點(diǎn)之間釘上木棍，各圖至少需要釘上多少根木棍？【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)三角形具有穩(wěn)定性，怎樣添加木棍才能使多邊形具有穩(wěn)定性呢？【解答】如圖1，四邊形木架至少需要釘上1根木棍；如圖2，五邊形木架至少需要釘上2根木棍；如圖3，六邊形木架至少需要釘上3根木棍．圖1圖2圖3【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))n邊形沿一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線添加(n－3)條木棍后就具有穩(wěn)定性．活動(dòng)2鞏固練習(xí)(學(xué)生獨(dú)學(xué))1．下列實(shí)際情景運(yùn)用了三角形穩(wěn)定性的是(C)A．人能直立在地面上B．校門口的自動(dòng)伸縮柵欄門C．古建筑中的三角形屋架D．三輪車能在地面上運(yùn)動(dòng)而不會(huì)倒2．工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角．做法如下：如圖，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA、OB上分別取OM＝ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M、N重合，過角尺頂點(diǎn)C作射線OC．由做法得△MOC≌△NOC的依據(jù)是SSS.3．如圖，AC與BD交于點(diǎn)O，AD＝CB，E、F是BD上兩點(diǎn)，且AE＝CF，DE＝BF.求證：(1)∠D＝∠B；(2)AE∥CF.證明：(1)在△ADE和△CBF中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AE＝CF，,AD＝BC，,DE＝BF，))所以△ADE≌△CBF(SSS)，所以∠D＝∠B．(2)因?yàn)椤鰽DE≌△CBF，所以∠AED＝∠CFB．因?yàn)椤螦ED＋∠AEO＝180°，∠CFB＋∠CFO＝180°，所以∠AEO＝∠CFO，所以AE∥CF.環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))1．“邊邊邊(SSS)”：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等．2．三角形具有穩(wěn)定性，四邊形具有不穩(wěn)定性．練習(xí)設(shè)計(jì)請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)！第2課時(shí)“角邊角(ASA)”和“角角邊(AAS)”教學(xué)目標(biāo)一、基本目標(biāo)1．掌握三角形全等的“ASA”“AAS”條件，并會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用．2．經(jīng)歷探索三角形全等“兩角一邊”的過程，體會(huì)通過操作、歸納獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的趣味．二、重難點(diǎn)目標(biāo)【教學(xué)重點(diǎn)】應(yīng)用三角形全等的“ASA”“AAS”條件．【教學(xué)難點(diǎn)】探索三角形全等條件“兩角一邊”．教學(xué)過程環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問題【5min閱讀】閱讀教材P100～P101的內(nèi)容，完成下面練習(xí)．【3min反饋】1．兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”．通常寫成下面的格式：在△ABC與△DEF中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠E，,BC＝EF，,∠C＝∠F，))所以△ABC≌△DEF.2．兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”．通常寫成下面的格式：在△ABC與△DEF中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠D，,∠B＝∠E，,BC＝EF，))所以△ABC≌△DEF.3．能確定△ABC≌△DEF的條件是(D)A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠EB．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠EC．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠DD．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E4．如圖，已知點(diǎn)F、E分別在AB、AC上，且AE＝AF，請(qǐng)你補(bǔ)充一個(gè)條件：∠B＝∠C，使得△ABE≌△ACF.(只需填寫一種情況即可)教師點(diǎn)撥：此題答案不唯一，還可以填A(yù)B＝AC或∠AEB＝∠AFC．環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題活動(dòng)1小組討論(師生互學(xué))【例1】如圖，已知AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，求證：△ADF≌△CBE.【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)回憶我們學(xué)過的判定三角形全等的條件，結(jié)合已知中的平行線段，可考慮利用“ASA”證明△ADF≌△CBE.【證明】因?yàn)锳D∥BC，BE∥DF，所以∠A＝∠C，∠DFA＝∠BEC．因?yàn)锳E＝CF，所以AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.在△ADF和△CBE中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠C，,AF＝CE，,∠DFA＝∠BEC，))所以△ADF≌△CBE(ASA)．【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))在“ASA”中，包含“邊”和“角”兩種元素，是兩角夾一邊而不是兩角及一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，應(yīng)用時(shí)要注意區(qū)分．在“ASA”中，“邊”必須是“兩角的夾邊”．【例2】如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，AD與BE交于點(diǎn)F.若BF＝AC，求證：△ADC≌△BDF.【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)觀察圖形，要證△ADC≌△BDF，只需∠DAC＝∠DBF即可．由在Rt△ADC與Rt△BDF中，利用等角的余角相等即可得∠DAC＝∠DBF.【證明】因?yàn)锳D⊥BC，BE⊥AC，所以∠ADC＝∠BDF＝∠BEA＝∠BEC＝90°.又因?yàn)椤螦FE＝∠BFD，所以∠DAC＝∠DBF.在△ADC和△BDF中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠DAC＝∠DBF，,∠ADC＝∠BDF，,AC＝BF，))所以△ADC≌△BDF(AAS)．【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))在解決三角形全等的問題時(shí)，要注意挖掘題中的隱含條件，如：對(duì)頂角、公共邊、公共角等．活動(dòng)2鞏固練習(xí)(學(xué)生獨(dú)學(xué))1．完成教材P102“”第1～3題．略2．如圖，點(diǎn)B在線段AD上，BC∥DE，AB＝ED，∠A＝∠E.求證：BC＝DB．證明：因?yàn)锽C∥DE，所以∠ABC＝∠EDB．在△ABC和△EDB中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(,∠A＝∠E，,AB＝ED，,∠ABC＝∠EDB，))所以△ABC≌△EDB(ASA)，所以BC＝BD．環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))1．“角邊角(ASA)”：兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等．2．“角角邊(AAS)”：兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等．練習(xí)設(shè)計(jì)請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)！第3課時(shí)“邊角邊(SAS)”教學(xué)目標(biāo)一、基本目標(biāo)1．經(jīng)歷畫圖比較，得出判定三角形全等的“SAS”條件．2．能夠利用“SAS”判定兩個(gè)三角形全等并會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言說明理由．3．在探索三角形全等及其應(yīng)用的過程中，能夠進(jìn)行有條理地思考并進(jìn)行簡(jiǎn)單推理．二、重難點(diǎn)目標(biāo)【教學(xué)重點(diǎn)】通過畫圖比較，得出“SAS”結(jié)論的過程及應(yīng)用．【教學(xué)難點(diǎn)】探索“邊邊角”能否用于判定全等．教學(xué)過程環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問題【5min閱讀】閱讀教材P102～P104的內(nèi)容，完成下面練習(xí)．【3min反饋】1．(1)兩邊及夾角，cm,cm，它們所夾的角為40°，你能畫出這個(gè)三角形嗎？你畫的三角形與同桌畫的一定全等嗎？(2)cm,cm為三角形的兩邊，cm的邊所對(duì)的角為40°，情況又怎樣？動(dòng)手畫一畫，你發(fā)現(xiàn)了什么？解：(1)與同桌畫的是全等的(如圖1)．(2)與同桌畫的不一定全等(如圖2)．圖1圖2總結(jié)：(1)兩邊及其一邊所對(duì)的角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等；(2)三角形全等的判定方法4：兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”．通常寫成下面的格式：在△ABC與△DEF中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝DE，,∠B＝∠E，,BC＝EF，))所以△ABC≌△DEF.2．如圖，已知BD＝CD，要根據(jù)“SAS”判定△ABD≌△ACD，則還需添加的條件是∠ADB＝∠ADC.環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題活動(dòng)1小組討論(師生互學(xué))【例1】如圖，A、D、F、B在同一直線上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC．求證：△AEF≌△BCD．【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)由題意可知，如果∠A＝∠B就可證△AEF≌△BCD．由AE∥BC可得∠A＝∠B．【證明】因?yàn)锳E∥BC，所以∠A＝∠B．因?yàn)锳D＝BF，所以AD＋DF＝DF＋FB，即AF＝BD．在△AEF和△BCD中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AE＝BC，,∠A＝∠B，,AF＝BD，))所以△AEF≌△BCD(SAS)．【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．【例2】如圖，BC∥EF，BC＝BE，AB＝FB，∠1＝∠2，若∠1＝60°，求∠C的度數(shù)．【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)已知兩組邊對(duì)應(yīng)相等，可考慮證明△ABC≌△FBE，從而得出∠C＝∠BEF.又由BC∥EF可得∠BEF＝∠1，進(jìn)而解決問題．【解答】因?yàn)椤?＝∠2，所以∠1＋∠ABE＝∠2＋∠ABE，即∠ABC＝∠FBE.在△ABC和△FBE中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(BC＝BE，,∠ABC＝∠FBE，,AB＝FB，))所以△ABC≌△FBE(SAS)，所以∠C＝∠BEF.又因?yàn)锽C∥EF，所以∠C＝∠BEF＝∠1＝60°.【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))(1)全等三角形是證明線段和角相等的重要工具；(2)學(xué)會(huì)挖掘題中的已知條件，如“公共邊”“公共角”等．活動(dòng)2鞏固練習(xí)(學(xué)生獨(dú)學(xué))1．如圖，AB＝AC，AD＝AE，欲證△ABD≌△ACE，可補(bǔ)充條件(A)A．∠1＝∠2 B．∠B＝∠CC．∠D＝∠E D．∠BAE＝∠CAD2．下列條件中，不能證明△ABC≌△DEF的是(C)A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EFB．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DFC．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DFD．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF3．如圖，已知AB＝AD，若AC平分∠BAD，問AC是否平分∠BCD？為什么？解：AC平分∠BCD．理由如下：因?yàn)锳C平分∠BAD，所以∠BAC＝∠DAC．在△ABC和△ADC中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,∠BAC＝∠DAC，,AC＝AC，))所以△ABC≌