2024屆鄭州第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題含解析

2024屆鄭州第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在中，已知角A，B，C所對(duì)邊為a，b，c，，，，則（）A. B.C. D.12．下列命題中正確的是（）A.函數(shù)最小值為2.B.函數(shù)的最小值為2.C.函數(shù)的最小值為D.函數(shù)的最大值為3．若，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.C. D.4．已知向量，，且，則值是（）A. B.C. D.5．一組“城市平安建設(shè)”的滿意度測(cè)評(píng)結(jié)果，，…，的平均數(shù)為116分，則，，…，，116的（）A.平均數(shù)變小 B.平均數(shù)不變C.標(biāo)準(zhǔn)差不變 D.標(biāo)準(zhǔn)差變大6．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用（萬(wàn)元）4235銷售額（萬(wàn)元）49263954根據(jù)上表可得回歸方程中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬(wàn)元時(shí)銷售額為A.63.6萬(wàn)元 B.65.5萬(wàn)元C.67.7萬(wàn)元 D.72.0萬(wàn)元7．在等比數(shù)列中，，則等于（）A. B.C. D.8．已知函數(shù)，，若，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.9．將直線2x－y＋λ＝0沿x軸向左平移1個(gè)單位，所得直線與圓x2＋y2＋2x－4y＝0相切，則實(shí)數(shù)λ值為()A.－3或7 B.－2或8C0或10 D.1或1110．如圖，在三棱錐中，點(diǎn)E在上，滿足，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，記分別為，則（）A. B.C. D.11．已知拋物線的方程為，則此拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.12．若數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，若，且，則等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻題”是我國(guó)數(shù)學(xué)的古典名題．“今有城墻厚若干尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半……”題意是：“兩只老鼠從城墻的兩邊相對(duì)分別打洞穿墻．大老鼠第一天進(jìn)一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進(jìn)一尺，以后每天減半……”則小老鼠第三天穿城墻______尺；若城墻厚40尺，則至少在第________天相遇14．在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中，平面OAB的一個(gè)法向量為＝(2，－2,1)，已知點(diǎn)P(－1,3,2)，則點(diǎn)P到平面OAB的距離d等于__________________15．設(shè)，若，則S＝________.16．我國(guó)古代，9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國(guó)古代皇家建筑中包含許多與9相關(guān)的設(shè)計(jì)．例如，北京天壇圓丘的底面由扇環(huán)形的石板鋪成（如圖），最高一層是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開(kāi)始，每一圈比前一圈多9塊，共有9圈，則前9圈的石板總數(shù)是__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且離心率為.（1）橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且，求的面積.18．（12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，.（1）求；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求當(dāng)取得最小值時(shí)的的值.19．（12分）如圖，在空間四邊形中，分別是的中點(diǎn)，分別是上的點(diǎn)，滿足.（1）求證：四點(diǎn)共面；（2）設(shè)與交于點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線.20．（12分）已知直線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且橢圓C的離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）以橢圓的短軸為直徑作圓，若點(diǎn)M是第一象限內(nèi)圓周上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作圓的切線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，橢圓C的右焦點(diǎn)為，試判斷的周長(zhǎng)是否為定值．若是，求出該定值21．（12分）已知橢圓的下焦點(diǎn)為、上焦點(diǎn)為，其離心率．過(guò)焦點(diǎn)且與x軸不垂直的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)（1）求實(shí)數(shù)m的值；（2）求△ABO(O為原點(diǎn))面積的最大值22．（10分）公差不為0的等差數(shù)列中，，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若，求的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】利用正弦定理求解.【題目詳解】在中，由正弦定理得，解得，故選：B.2、D【解題分析】根據(jù)基本不等式知識(shí)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷【題目詳解】對(duì)于A，時(shí)為負(fù)值，故A錯(cuò)誤對(duì)于B，，而無(wú)解，無(wú)法取等，故B錯(cuò)誤對(duì)于，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故，D正確，C錯(cuò)誤故選：D3、B【解題分析】由得出，再利用不等式的基本性質(zhì)和基本不等式來(lái)判斷各選項(xiàng)中不等式的正誤.【題目詳解】，，，，A選項(xiàng)正確；，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，則等號(hào)不成立，所以，C選項(xiàng)正確；，，D選項(xiàng)正確.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查不等式正誤的判斷，涉及不等式的基本性質(zhì)和基本不等式，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】求出向量，的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積坐標(biāo)表示即可求解.【題目詳解】因?yàn)橄蛄浚?，所以，，因?yàn)?，所以，解得：，故選：A.5、B【解題分析】利用平均數(shù)、方差的定義和性質(zhì)直接求出，，…，，116的平均數(shù)、方差從而可得答案.【題目詳解】，，…，的平均數(shù)為116分，則，，…，，116的平均數(shù)為設(shè)，，…，的方差為則所以則，，…，，116的方差為所以，，…，，116的平均數(shù)不變，方差變小.標(biāo)準(zhǔn)差變小.故選：B6、B【解題分析】，∵數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)在線性回歸直線上，回歸方程中的為9.4，∴42=9．4×3．5+a，∴=9．1，∴線性回歸方程是y=9．4x+9．1，∴廣告費(fèi)用為6萬(wàn)元時(shí)銷售額為9．4×6+9．1=65．5考點(diǎn)：線性回歸方程7、C【解題分析】根據(jù)，然后與，可得，最后簡(jiǎn)單計(jì)算，可得結(jié)果.【題目詳解】在等比數(shù)列中，由所以，又，所以所以故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，重在計(jì)算，當(dāng)，在等差數(shù)列中有，在等比數(shù)列中，靈活應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】由定義證明函數(shù)的單調(diào)性，再由函數(shù)不等式恒能成立的性質(zhì)得出，從而得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】任取，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，使得，則即故選：A【題目點(diǎn)撥】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式恒成立問(wèn)題，解題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，轉(zhuǎn)化時(shí)要注意全稱量詞與存在量詞對(duì)題意的影響．等價(jià)轉(zhuǎn)化如下：(1)，，使得成立等價(jià)于(2)，，不等式恒成立等價(jià)于(3)，，使得成立等價(jià)于(4)，，使得成立等價(jià)于9、A【解題分析】根據(jù)直線平移的規(guī)律，由直線2x﹣y+λ=0沿x軸向左平移1個(gè)單位得到平移后直線的方程，然后因?yàn)榇酥本€與圓相切得到圓心到直線的距離等于半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于λ的方程，求出方程的解即可得到λ的值解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式方程得（x+1）2+（y﹣2）2=5，圓心坐標(biāo)為（﹣1，2），半徑為，直線2x﹣y+λ=0沿x軸向左平移1個(gè)單位后所得的直線方程為2（x+1）﹣y+λ=0，因?yàn)樵撝本€與圓相切，則圓心（﹣1，2）到直線的距離d==r=，化簡(jiǎn)得|λ﹣2|=5，即λ﹣2=5或λ﹣2=﹣5，解得λ=﹣3或7故選A考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系10、B【解題分析】利用空間向量加減、數(shù)乘的幾何意義，結(jié)合三棱錐用表示出即可.【題目詳解】由題設(shè)，，，，.故選：B11、A【解題分析】由拋物線的方程直接寫(xiě)出其準(zhǔn)線方程即可.【題目詳解】由拋物線的方程為，則其準(zhǔn)線方程為：故選：A12、B【解題分析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式求出的首項(xiàng)和公差，即可求出.【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則解得：，所以.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.##0.25②.6【解題分析】由題意知小老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，大老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，即可算出小老鼠第三天穿城墻的厚度，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式，構(gòu)造等式，即可得解.【題目詳解】由題意知，小老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，前天打洞之和為，∴小老鼠第三天穿城墻的厚度為；大老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，前天打洞之和為，∴兩只老鼠第天打洞穿墻的厚度之和為，且數(shù)列為遞增數(shù)列，而，，又城墻厚40尺，所以這兩只老鼠至少6天相遇.故答案為：；6.14、2【解題分析】O是平面OAB上一個(gè)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到平面OAB的距離為d,則d=∵=(-1,3,2)．(2,-2,1)=-6,∴d==2即點(diǎn)P到平面OAB的距離為2考點(diǎn)：空間向量在立體幾何中的運(yùn)用15、1007【解題分析】可證f（x）+f（1﹣x）＝1，由倒序相加法可得所求為1007對(duì)的組合，即1007個(gè)1，可得答案【題目詳解】解：∵函數(shù)f（x），∴f（x）+f（1﹣x）1故可得S＝f（）+f（）…+f（）＝1007×1＝1007,故答案為：1007點(diǎn)睛】本題考查倒序相加法求和，推斷出f（x）+f（1﹣x）＝1是解題的關(guān)鍵.16、405【解題分析】前9圈的石板數(shù)依次組成一個(gè)首項(xiàng)為9，公差為9的等差數(shù)列，三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】（1）由題意求出即可求解；（2）由橢圓的定義和三角形面積公式求解即可【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闄E圓C與橢圓有相同的焦點(diǎn)，所以橢圓C的焦點(diǎn)，，，又，所以，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】由，，得，，而，所以，所以18、（1）（2）10或11【解題分析】（1）利用通項(xiàng)公式以及求和公式列出方程組得出；（2）先求出數(shù)列通項(xiàng)公式，再根據(jù)得出取得最小值時(shí)的的值.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由得解得所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，則.令，解得，由于，故或，故當(dāng)前項(xiàng)和取得最小值時(shí)的值為10或11.19、（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解題分析】【小問(wèn)1詳解】連接AC，分別是的中點(diǎn)，.在中，，所以四點(diǎn)共面.【小問(wèn)2詳解】，所以，又平面平面，同理平面，為平面與平面的一個(gè)公共點(diǎn).又平面平面，即三點(diǎn)共線.20、（1）（2）周長(zhǎng)是定值，且定值為4【解題分析】（1）首先求出直線與軸的交點(diǎn)，即可求出，再根據(jù)離心率求出，最后根據(jù)求出，即可得解；（2）：設(shè)直線的方程為、、，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，即可表示出弦的長(zhǎng)，再根據(jù)直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，即可得到，再求出、，最后根據(jù)計(jì)算即可得解；【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)榻?jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，令，則，所以橢圓的右焦點(diǎn)為，可得：，又，可得：，由，所以，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)直線的方程為，由得：，所以，設(shè)，，則：，所以.因?yàn)橹本€與圓相切，所以，即，所以，因?yàn)椋?，所以，同?所以，即的周長(zhǎng)是定值，且定值為421、（1）2；（2）﹒【解題分析】(1)根據(jù)已知條件得，，結(jié)合離心率，即可解得答案(2)設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式以及三角形的面積公式，基