南通市重點中學(xué)2024年數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測模擬試題含解析

南通市重點中學(xué)2024年數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點，，則線段的中點坐標(biāo)與向量的模長分別是（）A.；5 B.；C.； D.；2．某公司要建造一個長方體狀的無蓋箱子，其容積為48m3，高為3m，如果箱底每1m2的造價為15元，箱壁每1m2造價為12元，則箱子的最低總造價為（）A.72元 B.300元C.512元 D.816元3．已知的三個頂點是，，，則邊上的高所在的直線方程為（）A. B.C. D.4．已知過點A（a，0）作曲線C：y＝x?ex的切線有且僅有兩條，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B.（0，+∞）C.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D.（﹣∞，﹣1）5．直線的一個法向量為（）A. B.C. D.6．直線與直線平行，則兩直線間的距離為（）A. B.C. D.7．已知直線的方程為，則該直線的傾斜角為（）A. B.C. D.8．圓與直線的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.不能確定9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為()A.8 B.9C.27 D.3610．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則()A.在上為減函數(shù) B.在處取極小值C.在上為減函數(shù) D.在處取極大值11．甲，乙、丙、丁、戊共5人隨機(jī)地排成一行，則甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的概率為（）A. B.C. D.12．已知數(shù)列是等比數(shù)列，，數(shù)列是等差數(shù)列，，則的值是()A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)f（x）=ex-2x+a有零點，則a的取值范圍是___________14．已知直線與圓：交于、兩點，則的面積為______.15．已知雙曲線的左焦點為F，點P在雙曲線右支上，若線段PF的中點在以原點O為圓心，為半徑的圓上，且直線PF的斜率為，則該雙曲線的離心率是______16．已知橢圓的左、右焦點分別為、，關(guān)于原點對稱的點A、B在橢圓上，且滿足，若令且，則該橢圓離心率的取值范圍為___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C：的離心率為，點和點都在橢圓C上，直線PA交x軸于點M（1）求橢圓C的方程，并求點M的坐標(biāo)（用m，n表示）；（2）設(shè)O為原點，點B與點A關(guān)于x軸對稱，直線PB交x軸于點N，問：y軸上是否存在點Q（不與O重合），使得？若存在，求點Q的坐標(biāo)，若不存在，說明理由18．（12分）已知雙曲線C：的離心率為，過點作垂直于x軸的直線截雙曲線C所得弦長為（1）求雙曲線C的方程；（2）直線（）與該雙曲線C交于不同的兩點A，B，且A，B兩點都在以點為圓心的同一圓上，求m的取值范圍19．（12分）已知直線l：，圓C：.（1）當(dāng)時，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若直線l被圓C截得的弦長恰好為，求k的值.20．（12分）要設(shè)計一種圓柱形、容積為500mL的一體化易拉罐金屬包裝，如何設(shè)計才能使得總成本最低？21．（12分）甲、乙兩人參加普法知識競賽，共有5題，選擇題（1）甲、乙兩人中有一個抽到選擇題（2）甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題22．（10分）已知函數(shù)，其中a為正數(shù)（1）討論單調(diào)性；（2）求證：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】根據(jù)給定條件利用中點坐標(biāo)公式及空間向量模長的坐標(biāo)表示計算作答.【題目詳解】因點，，所以線段的中點坐標(biāo)為，.故選：B2、D【解題分析】設(shè)這個箱子的箱底的長為xm，則寬為m，設(shè)箱子總造價為f（x）元，則f(x)＝72(x)+240，由此利用均值不等式能求出箱子的最低總造價【題目詳解】設(shè)這個箱子的箱底的長為xm，則寬為m，設(shè)箱子總造價為f(x)元，∴f(x)＝15×16+12×3(2x)＝72(x)+240≥144240＝816，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x＝4時，f（x）取最小值816元故選：D3、B【解題分析】求出邊上的高所在的直線的斜率，再利用點斜式方程可得答案.【題目詳解】因為，所以邊上的高所在的直線的斜率為，所以邊上的高所在的直線方程為，即.故選：B.4、A【解題分析】設(shè)出切點，對函數(shù)求導(dǎo)得到切點處的斜率，由點斜式得到切線方程，化簡為，整理得到方程有兩個解即可，解出不等式即可.【題目詳解】設(shè)切點為，，，則切線方程為：，切線過點代入得：，，即方程有兩個解，則有或.故答案為:A.【題目點撥】這個題目考查了函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的求法，以及過某一點的切線方程的求法，其中應(yīng)用到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，一般過某一點求切線方程的步驟為：一：設(shè)切點，求導(dǎo)并且表示在切點處的斜率；二：根據(jù)點斜式寫切點處的切線方程；三：將所過的點代入切線方程，求出切點坐標(biāo)；四：將切點代入切線方程，得到具體的表達(dá)式.5、B【解題分析】直線化為，求出直線的方向向量，因為法向量與方向向量垂直，逐項驗證可得答案.【題目詳解】直線的方向向量為，化為，直線的方向向量為，因為法向量與方向向量垂直，設(shè)法向量為，所以，由于，A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；，故D錯誤；故選：B.6、B【解題分析】先根據(jù)直線平行求得，再根據(jù)公式可求平行線之間的距離.【題目詳解】由兩直線平行，得，故，當(dāng)時，，，此時，故兩直線平行時又之間的距離為，故選：B.7、C【解題分析】設(shè)直線的傾斜角為，則，解方程即可.【題目詳解】由已知，設(shè)直線的傾斜角為，則，又，所以.故選：C8、B【解題分析】用圓心到直線的距離與半徑的大小判斷【題目詳解】解：圓的圓心到直線的距離，等于圓的半徑，所以圓與直線相切，故選：B9、B【解題分析】執(zhí)行程序框圖，第一次循環(huán)，，滿足；第二次循環(huán)，，滿足；第三次循環(huán)，，不滿足，輸出，故選B.【方法點睛】本題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，屬于中檔題.解決程序框圖問題時一定注意以下幾點：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu)；(3)注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；(4)處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問題時一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；(5)要注意各個框的順序,（6）在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運算方法逐次計算，直到達(dá)到輸出條件即可.10、C【解題分析】首先利用導(dǎo)函數(shù)的圖像求和的解，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點.【題目詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知:當(dāng)時，或；當(dāng)時，或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為和，故在處取得極大值，在處取得極小值，在處取得極大值.故選：C.11、A【解題分析】先求出所有的基本事件，再求出甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的基本事件，根據(jù)古典概型的概率公式求解即可【題目詳解】甲，乙、丙、丁、戊共5人隨機(jī)地排成一行有種方法，甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的排法為先將甲、乙捆綁在一起，再與戊進(jìn)行排列，然后丙、丁從3個空中選2個空插入，則共有種方法，所以甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的概率為，故選：A12、B【解題分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)即可求解.【題目詳解】為等比數(shù)列，，，，；為等差數(shù)列，，，，，∴.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】根據(jù)零點定義，分離出，構(gòu)造函數(shù)，通過研究的值域來確定的取值范圍【題目詳解】根據(jù)零點定義，則所以令則，令解得當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增所以當(dāng)時取得最小值，最小值為所以由零點的條件為所以，即的取值范圍為【題目點撥】本題考查了函數(shù)零點的意義，通過導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域，分離參數(shù)法的應(yīng)用，屬于中檔題14、2【解題分析】用已知直線方程和圓方程聯(lián)立，可以求出交點，再分析三角形的形狀，即可求出三角形的面積.【題目詳解】由圓C方程：可得：；即圓心C的坐標(biāo)為（0，-1），半徑r=2；聯(lián)立方程得交點，如下圖：可知軸，∴是以為直角的直角三角形，，故答案為：2.15、3【解題分析】如圖利用條件可得，，然后利用雙曲線的定義可得，即求.【題目詳解】如圖設(shè)雙曲線的右焦點為，線段PF的中點為M，連接，則，又直線PF的斜率為，∴在直角三角形中，，∴，∴，即，∴.故答案：3.16、【解題分析】由得為矩形，則，故，結(jié)合正弦函數(shù)即可求得范圍【題目詳解】由已知可得，且四邊形為矩形所以，又因為，所以得離心率因為，所以，可得，從而故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）存在或，使得，理由見解析.【解題分析】（1）根據(jù)離心率，及求出，，進(jìn)而得到橢圓方程及用m，n表示點M的坐標(biāo)；（2）假設(shè)存在，根據(jù)得到，表達(dá)出點坐標(biāo)，得到，結(jié)合得到，從而求出答案.【小問1詳解】由離心率可知：，又，，解得：，，故橢圓C：，直線PA為：，令得：，所以；【小問2詳解】存在或，使得，理由如下：假設(shè)，使得，則，其中，直線：，令得：，則，，解得：，其中，故，所以，所以或18、（1）（2）或【解題分析】（1）利用雙曲線離心率、點在雙曲線上及得到關(guān)于、、的方程組，進(jìn)而求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）聯(lián)立直線和雙曲線的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用直線和雙曲線的位置關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系得到兩個交點坐標(biāo)間的關(guān)系，利用A，B兩點都在以點為圓心的同一圓上得到，再利用向量的數(shù)量積為0得到、的關(guān)系，進(jìn)而消去得到的不等式進(jìn)行求解.【小問1詳解】解：因為過點作垂直于x軸的直線截雙曲線C所得弦長為，所以點在雙曲線上，由題意，得，解得，，，即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】解：聯(lián)立，得，因為直線與該雙曲線C交于不同的兩點，所以且，即且，設(shè)，，的中點，則，，因為A，B兩點都在以點為圓心的同一圓上，所以，即，因為，，所以，即，將代入，得，解得或，即m的取值范圍為或.19、（1）相離，理由見解析；（2）0或【解題分析】（1）求出圓心到直線的距離和半徑比較即可判斷；（2）求出圓心到直線的距離，利用弦長計算即可得出.【題目詳解】（1）圓C：的圓心為，半徑為2，當(dāng)時，線l：，則圓心到直線的距離為，直線l與圓C相離；（2）圓心到直線的距離為，弦長為，則，解得或.20、當(dāng)圓柱底面半徑為，高為時，總成本最底.【解題分析】設(shè)圓柱底面半徑為cm，高為cm，圓柱表面積為Scm2，進(jìn)而根據(jù)體積得到，然后求出表面積，進(jìn)而運用導(dǎo)數(shù)的方法求得表面積的最小值，此時成本最小.【題目詳解】設(shè)圓柱底面半徑為cm，高為cm,圓柱表面積為Scm2,每平方厘米金屬包裝造價為元，由題意得：，則，表面積造價，，令，得，令，得，的單調(diào)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，當(dāng)圓柱底面半徑為，高為時，總成本最底.21、（1）（2）【解題分析】首先用列舉法，求得甲、乙兩人各抽一題的所有可能情況.（1）根據(jù)上述分析，分別求得“甲抽到判斷題，乙抽到選擇題（2）根據(jù)上述分析，求得“甲、乙兩人都抽到判斷題”的概率，根據(jù)對立事件概率計算公司求得“甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題【題目詳解】把3個選擇題因此基本事件的總數(shù)為.（1）記“甲抽到選擇題（2）記“甲、乙兩人至少有一人抽到選擇題【題目點撥】本小題主要考查互斥事件概率計算，考查對立事件，屬于基礎(chǔ)題.22、（1）答案見解析（2）證明見解析【解題分析】（1）求解函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，并且求的兩個根，然后分類討論，和三種情況下對應(yīng)的單調(diào)性；（2）令，通過二次求導(dǎo)法，判斷函數(shù)的單調(diào)性與最小值，設(shè)的零點為，求出取值范圍，最后將轉(zhuǎn)化為的對勾函數(shù)并求解最小值，即可證明出不等式.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為∵令得∵，∴，得或①當(dāng)，即時，時，或；時，.∴在上單調(diào)遞