2022年福建省廈門(mén)市英才中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

2022年福建省廈門(mén)市英才中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|＞0}，則A∩（?RB）=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|0＜x≤1} D．{x|1＜x＜2}參考答案：C【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【專(zhuān)題】集合．【分析】分別求出A與B中不等式的解集，確定出A與B，根據(jù)全集R求出B的補(bǔ)集，找出A與B補(bǔ)集的交集即可．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|＞0}，∴A={x|0＜x＜2}，B={x|x＞1，或x＜﹣1}，∴?RB═{x|﹣1≤x≤1}，∴A∩（?RB）={x|0＜x≤1}，故選：C【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵．2.在平面直角坐標(biāo)系中，已知四邊形是平行四邊形，，，

則（

）

A． B．

C．

D．參考答案：B因?yàn)?，，所以，故選B．3.下列函數(shù)中，同時(shí)具有性質(zhì)：(1)圖象過(guò)點(diǎn)(0,1)；(2)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)；(3)是偶函數(shù).這樣的函數(shù)是

(

)

A.y＝x3＋1

B.y＝log2(|x|＋2)

C.y＝()|x|

D.y＝2|x|參考答案：C4.已知雙曲線（）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，以F1F2為直徑的圓被直線截得的弦長(zhǎng)為，則雙曲線的離心率為

（

）

A．3

B．2

C．

D．參考答案：D5.一個(gè)長(zhǎng)方體被一平面截去一部分后,所剩幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為（

）A．36

B．48

C.64

D．72參考答案：B6.已知方程有兩個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B由題意得，半圓與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，又直線過(guò)定點(diǎn)，如圖所示，又點(diǎn)，當(dāng)直線在位置時(shí)，斜率.當(dāng)直線和半圓相切時(shí)，由半徑解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為故選B．7.直線l：x+y﹣4=0與圓C：x2+y2=4的位置關(guān)系是（） A．相交過(guò)圓心 B． 相交不過(guò)圓心 C． 相切 D． 相離參考答案：C8.宋元時(shí)期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問(wèn)題：松長(zhǎng)五尺，竹長(zhǎng)兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長(zhǎng)等．下圖是源于其思想的一個(gè)程序框圖，若輸入的a，b分別為5，2，則輸出的n=（）A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：C【考點(diǎn)】EF：程序框圖．【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量S的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【解答】解：當(dāng)n=1時(shí)，a=，b=4，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，當(dāng)n=2時(shí)，a=，b=8滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，當(dāng)n=3時(shí)，a=，b=16滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，當(dāng)n=4時(shí)，a=，b=32不滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，故輸出的n值為4，故選C．9.某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】根據(jù)三視圖判斷幾何體是圓錐的一部分，再根據(jù)俯視圖與左視圖的數(shù)據(jù)可求得底面扇形的圓心角為120°，又由側(cè)視圖知幾何體的高為4，底面圓的半徑為2，把數(shù)據(jù)代入圓錐的體積公式計(jì)算．【解答】解：由三視圖知幾何體是圓錐的一部分，由俯視圖與左視圖可得：底面扇形的圓心角為120°，又由側(cè)視圖知幾何體的高為4，底面圓的半徑為2，∴幾何體的體積V=××π×22×4=．故選：D．10.已知tan（+α）=2，則sin2α=（）A． B．﹣ C．﹣ D．參考答案：A【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．【分析】根據(jù)兩角和的正切公式，結(jié)合已知可得tanα=，代入萬(wàn)能公式，可得答案．【解答】解：∵tan（+α）==2，∴tanα=，∴sin2α==，故選：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（3分）在△ABC中，不等式成立；在凸四邊形ABCD中，不等式成立；在凸五邊形ABCDE中，不等式成立．根據(jù)以上情況，猜想在凸n邊形A1A2…An（n≥3）中的成立的不等式是．參考答案：【考點(diǎn)】：歸納推理．【專(zhuān)題】：綜合題．【分析】：根據(jù)已知中△ABC中，不等式成立；在凸四邊形ABCD中，不等式成立；在凸五邊形ABCDE中，不等式成立．觀察分子與多邊形邊的關(guān)系及分母中π的系數(shù)與多邊形邊的關(guān)系，即可得到答案．【解答】：解：由已知中已知的多邊形角的倒數(shù)所滿足的不等式：△ABC中，不等式成立；凸四邊形ABCD中，不等式成立；凸五邊形ABCDE中，不等式成立；…由此推斷凸n邊形A1A2…An（n≥3）中的成立的不等式是：故答案為：【點(diǎn)評(píng)】：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是歸納推理，其中根據(jù)已知分析分子與多邊形邊的關(guān)系及分母中π的系數(shù)與多邊形邊的關(guān)系，是解答本題的關(guān)鍵．12.已知：條件A：，條件B：，如果條件是條件的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.參考答案：由得，即，解得，即A:.因?yàn)闂l件是條件的充分不必要條件，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是。13.若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．參考答案：[﹣1，4]考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題．專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：由絕對(duì)值的集合意義求得|x+3|+|x﹣1|的最小值，把不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立轉(zhuǎn)化為a2﹣3a≤4，求解該不等式得答案．解答：解：由絕對(duì)值的幾何意義知，|x+3|+|x﹣1|表示數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)x與兩定點(diǎn)﹣3，1的距離，則|x+3|+|x﹣1|的最小值為4，要使不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立，則a2﹣3a≤4，即a2﹣3a﹣4≤0，解得：﹣1≤a≤4．∴滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍為[﹣1，4]．故答案為：[﹣1，4]．點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查了絕對(duì)值的幾何意義，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．14.已知

.參考答案：略15.已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則△AFO與△BFO面積之和的最小值是

．參考答案：16.下列說(shuō)法不正確的是．（1）命題“若x＞0且y＞0，則x+y＞0”的否命題是真命題（2）命題“”的否定是“?x∈R，x2﹣x﹣1≥0”（3）a＜0時(shí)，冪函數(shù)y=xa在（0，+∞）上單調(diào)遞減（4）若，向量與向量的夾角為120°，則在向量上的投影為1．參考答案：（1）（4）【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】（1）根據(jù)否命題的定義進(jìn)行判斷即可．（2）根據(jù)含有量詞的命題的否定進(jìn)行判斷．（3）根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．（4）根據(jù)向量的投影的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：（1）命題“若x＞0且y＞0，則x+y＞0”的逆命題是若x+y＞0，則x＞0且y＞0，當(dāng)x=3，y=﹣1時(shí)，滿足x+y＞0，但x＞0且y＞0不成立，即命題的逆命題為假命題，則命題的否命題是假命題，故（1）錯(cuò)誤．（2）命題“”的否定是“?x∈R，x2﹣x﹣1≥0”，正確，故（2）正確，（3）a＜0時(shí)，冪函數(shù)y=xa在（0，+∞）上單調(diào)遞減，正確，故（3）正確，（4）若，向量與向量的夾角為120°，則在向量上的投影為||cos120°=2×（﹣）=﹣1，故（4）錯(cuò)誤，故答案為：（1）（4）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)．17.在△ABC中，若（sinA+sinB）：（sinA+sinC）：（sinB+sinC）=4：5：6，且該三角形面積為，則△ABC的最大邊長(zhǎng)等于

．參考答案：14【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【專(zhuān)題】計(jì)算題；解三角形．【分析】利用正弦定理化簡(jiǎn)已知可得：（a+b）：（a+c）：（b+c）=4：5：6，從而解得：a：b：c=3：5：7，不妨設(shè)a=3x，那么b=5xc=7x，則c為△ABC的最大邊長(zhǎng)．由余弦定理可求C，利用三角形面積公式解得ab=60．由余弦定理即可解得x的值，從而可求c的值．【解答】解：∵（sinA+sinB）：（sinA+sinC）：（sinB+sinC）=4：5：6，∴利用正弦定理可得：sinA=，sinB=，sinC=，代入上式可得：（a+b）：（a+c）：（b+c）=4：5：6，從而解得：a：b：c=3：5：7，不妨設(shè)a=3x，那么b=5xc=7x，則c為△ABC的最大邊長(zhǎng)．∴cosC==﹣，∴由0＜C＜180°，可得：C=120°，sinC=，∴由S△ABC=absinC=ab=15，解得ab=60．∴由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，可得：49x2=9x2+25x2﹣2×60×（﹣），解得：x2=4，x=2，從而可得△ABC的最大邊長(zhǎng)c=7×2=14．故答案為：14．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，熟練掌握公式及定理是解題的關(guān)鍵，屬于基本知識(shí)的考查．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分13分）已知橢圓：的焦點(diǎn)為，P是橢圓上任意一點(diǎn)，若以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，橢圓短軸長(zhǎng)為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線的是圓O：上動(dòng)點(diǎn)處的切線，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，證明：的大小為定值．參考答案：解（Ⅰ）因?yàn)橐宰鴺?biāo)原點(diǎn)為圓心，橢圓短軸長(zhǎng)為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，所以，可得，又因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，可得，所以，可得，所求橢圓的方程為．

………5分（Ⅱ)直線的方程為

，且，記，，聯(lián)立方程，消去得，，

………8分，從而，為定值．

………13分19.已知函數(shù)，．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若在區(qū)間上存在不相等的實(shí)數(shù),使成立，求的取值范圍；（Ⅲ）若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，求證：.參考答案：（Ⅰ）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見(jiàn)解析.試題分析：（Ⅰ）將代入函數(shù)的表達(dá)式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求使函數(shù)在上不為單調(diào)函數(shù)的的取值范圍，通過(guò)討論的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出的范圍；（Ⅲ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，找到函數(shù)的極值點(diǎn)，從而證明出結(jié)論.（Ⅱ）依題意即求使函數(shù)在上不為單調(diào)函數(shù)的的取值范圍..設(shè)，則，.因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為.當(dāng)時(shí)，，即，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，即，為增函數(shù)，滿足在上不為單調(diào)函數(shù).當(dāng)時(shí)，，，所以在上成立（因在上為增函數(shù)），所以在上成立，即在上為增函數(shù)，不合題意.同理時(shí)，可判斷在上為減函數(shù)，不合題意.綜上.……9分(Ⅲ)．因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，即有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即方程的判別式，解得.由，解得，．此時(shí)，.隨著變化時(shí)，和的變化情況如下：＋－0＋↗極大值↘極小值↗考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；2.分類(lèi)討論；3.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查的是導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,分類(lèi)討論,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和分類(lèi)討論思想方法，屬于難題，解決此類(lèi)問(wèn)題最主要的思想是先求出導(dǎo)函數(shù)，然后再對(duì)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)討論求解，根據(jù)參數(shù)的范圍，求出函數(shù)的極值，再通過(guò)對(duì)比得出結(jié)論，因此正確求出導(dǎo)函數(shù)并對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行合理的處理是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.20.為了解某校學(xué)生的視力情況，現(xiàn)采用隨機(jī)抽樣的方式從該校的A，B兩班中各抽5名學(xué)生進(jìn)行視力檢測(cè)．檢測(cè)的數(shù)據(jù)如下：A班5名學(xué)生的視力檢測(cè)結(jié)果：4.3，5.1，4.6，4.1，4.9.B班5名學(xué)生的視力檢測(cè)結(jié)果：5.1，4.9，4.0，4.0，4.5.（Ⅰ）分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從計(jì)算結(jié)果看，哪個(gè)班的學(xué)生視力較好？（Ⅱ）由數(shù)據(jù)判斷哪個(gè)班的5名學(xué)生視力方差較大？（結(jié)論不要求證明）（Ⅲ）現(xiàn)從A班的上述5名學(xué)生中隨機(jī)選取3名學(xué)生，用X表示其中視力大于4.6的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考答案：（Ⅰ）解：A班5名學(xué)生的視力平均數(shù)為，…………2分B班5名學(xué)生的視力平均數(shù)為.

………………3分從數(shù)據(jù)結(jié)果來(lái)看A班學(xué)生的視力較好.

………………4分（Ⅱ）解：B班5名學(xué)生視力的方差較大.

………………7分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知，A班的5名學(xué)生中有2名學(xué)生視力大于.則的所有可能取值為，，.

………………8分所以；

………………9分；

………………10分.

………………11分所以隨機(jī)變量的分布列如下：012………………12分故.

………………13分

略21.（13分）已知橢圓E：（a>b>0）的一焦點(diǎn)F在拋物線y2=4x的準(zhǔn)線上，且點(diǎn)M（1，）在橢圓上（I）求橢圓E的方程；（II）過(guò)直線x=-2上一點(diǎn)P作橢圓E的切線，切點(diǎn)為Q，證明：PF⊥QF。參考答案：（Ⅰ）拋物線的準(zhǔn)線為，則，即.……2分又點(diǎn)在橢圓上，則，解得，

……4分故求橢圓的方程為.………………………5分（Ⅱ）設(shè)、.依題意可知切線的斜率存在，設(shè)為，則：，并代入到中，整理得：………………………8分因此，即.……………9分從而，，則；…………10分又，則，.…11分由于，故，即.………………13分22.（16分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn+an=4，n∈N*．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）已知cn=2n+3（n∈N*），記dn=cn+logCan（C＞0且C≠1），是否存在這樣的常數(shù)C，使得數(shù)列{dn}是常數(shù)列，若存在，求出C的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）若數(shù)列{bn}，對(duì)于任意的正整數(shù)n，均有b1an+b2an﹣1+b3an﹣2+…+bna1=（）n﹣成立，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．參考答案：考點(diǎn)： 數(shù)列的求和；等差關(guān)系的確定．專(zhuān)題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析： （1）利用“當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1；當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1”即可得出；（2）dn=cn+logCa