碩士入學(xué)考試：2019年數(shù)學(xué)一考試真題與答案解析

碩士入學(xué)考試：2019年[數(shù)學(xué)一]考試真題與答案解析一、選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.當(dāng)時，若與是同階無窮小，則A.1. B.2.C.3. D.4.2.設(shè)函數(shù)則是的A.可導(dǎo)點(diǎn)，極值點(diǎn). B.不可導(dǎo)點(diǎn)，極值點(diǎn).C.可導(dǎo)點(diǎn)，非極值點(diǎn). D.不可導(dǎo)點(diǎn)，非極值點(diǎn).3.設(shè)是單調(diào)增加的有界數(shù)列，則下列級數(shù)中收斂的是A. B..C.. D..4.設(shè)函數(shù)，如果對上半平面（）內(nèi)的任意有向光滑封閉曲線都有，那么函數(shù)可取為A.. B..C.. D..5.設(shè)是3階實(shí)對稱矩陣，是3階單位矩陣.若，且，則二次型的規(guī)范形為A.. B..C.. D..6.如圖所示，有3張平面兩兩相交，交線相互平行，它們的方程組成的線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣分別記為，則A.B.C.D.7.設(shè)為隨機(jī)事件，則的充分必要條件是A.B.C.D.8.設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布，則A.與無關(guān)，而與有關(guān).B.與有關(guān)，而與無關(guān).C.與都有關(guān).D.與都無關(guān).填空題設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，則=.微分方程滿足條件的特解.冪級數(shù)在內(nèi)的和函數(shù).設(shè)為曲面的上側(cè)，則=.設(shè)為3階矩陣.若線性無關(guān)，且，則線性方程組的通解為.設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為為的分布函數(shù)，為的數(shù)學(xué)期望，則.解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)是微分方程滿足條件的特解.（1）求；（2）求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).16.（本題滿分10分）設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)在點(diǎn)（3，4）處的方向?qū)?shù)中，沿方向的方向?qū)?shù)最大，最大值為10.（1）求；（2）求曲面（）的面積.17.求曲線與x軸之間圖形的面積.18.設(shè)，n=（0，1，2…）（1）證明數(shù)列單調(diào)減少，且（n=2，3…）（2）求.19.設(shè)是錐面與平面圍成的錐體，求的形心坐標(biāo).20.設(shè)向量組，為的一個基，在這個基下的坐標(biāo)為.（1）求.（2）證明，為的一個基，并求到的過度矩陣.21.已知矩陣與相似（1）求.（2）求可可逆矩陣，使得22.設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，的概率分布為令（1）求的概率密度.（2）為何值時，與不相關(guān).（3）與是否相互獨(dú)立?23.（本題滿分11分）設(shè)總體的概率密度為其中是已知參數(shù)，是未知參數(shù)，是常數(shù)，來自總體的簡單隨機(jī)樣本.求；求的最大似然估計量答案解析1.C 2.B 3.D 4.D 5.C 6.A 7.C 8.A9. 10.11.12.為任意常數(shù).解：（1），又，故，因此，，令得凸拐點(diǎn)凹拐點(diǎn)凸拐點(diǎn)凹所以，曲線的凹區(qū)間為和，凸區(qū)間為和,拐點(diǎn)為，，.解：（1），，由題設(shè)可得，，即，又，所以，（2）=====17.略18.略19.由對稱性，，=20.（1）即，解得.（2），所以，則可為的一個基.則.21.（1）與相似，則，，即，解得（2）的特征值與對應(yīng)的特征向量分別為，；，；，.所以存在，使得.的特征值與對應(yīng)的特征向量分別為，；，；，.所以存在，使得.所以，即其中.22.解：（I）的分布函數(shù)從而當(dāng)時，；當(dāng)時，則的概率密度為.（II）由條件可得，又，從而當(dāng)時，，即不相關(guān).（III）由上知當(dāng)時，相關(guān)，從而不獨(dú)立；當(dāng)時，而，，顯然，