銳角三角形函數(shù)

導(dǎo)入新課情境引入1金紫山上有個(gè)道觀，與頂峰的海拔差約為100米，除了迂回的登頂小路之外，還有一條70度左右的碎石坡可以登頂，是戶外運(yùn)動(dòng)者青睞之地.其中，金紫山海拔約1400米，霧景乃金紫山一絕.清晨、傍晚或雨后時(shí)分常見屢屢輕霧自山谷升起，氣流在山巒間穿行，猶如人間仙境.若從頂峰至道觀修一條滑道，滑道大約長多少米？情境引入2為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機(jī)井房沿著山坡鋪設(shè)水管，在山坡上建一座揚(yáng)水站，對坡面綠地進(jìn)行噴灌.現(xiàn)測得斜坡的坡腳（∠A）為30°，為使出水口的高度為35m，需要準(zhǔn)備多長的水管？已知直角三角形的邊長求正弦值一互動(dòng)探究問題

同學(xué)們，從上述情境中，你可以找到一個(gè)什么數(shù)學(xué)問題呢？能否結(jié)合數(shù)學(xué)圖形把它描述出來？ABC30°35m?如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，求AB.講授新課所以AB=2BC=70m.ABC30°35m如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，求AB.在直角三角形中，30°的角所對的邊等于斜邊的一半如果出水的高度為50m，那么需要準(zhǔn)備多長的水管？

歸納如果∠A=45°，那么BC與AB的比是一個(gè)定值嗎？因?yàn)椤螦=45°，則AC=BC，由勾股定理得AB2=AC2+BC2=2BC2.

歸納當(dāng)∠A

是任意一個(gè)確定的銳角時(shí)，它的對邊與斜邊的比是否也是一個(gè)固定值呢？

ABCA'B'C'因?yàn)椤螩＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.

這就是說，在直角三角形中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí)，不管三角形的大小如何，∠A的對邊與斜邊的比也是一個(gè)固定值．

知識要點(diǎn)

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫作∠A的正弦（sine），記作sinA

，即例如，當(dāng)∠A＝30°時(shí)，我們有當(dāng)∠A＝45°時(shí)，我們有ABCcab對邊斜邊在圖中∠A的對邊記作a∠B的對邊記作b∠C的對邊記作c∠A的對邊斜邊典例精析例1如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA

和sinB的值.AABBCC43135圖(1)圖(2)解析：求sinA

和sinB的值，實(shí)質(zhì)就是求∠A與∠B的對邊與斜邊的比.？？先利用勾股定理求未知的斜邊與直角邊的長.解：如圖(1)，在Rt△ABC中，由勾股定理得

如圖(2)，在Rt△ABC中，由勾股定理得

例2

如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)P（3，4），連接OP，求OP與x軸正方向所夾銳角α的正弦值.解：如圖，設(shè)點(diǎn)A（3，0），連接PA.A在△APO中，由勾股定理得

結(jié)合平面直角坐標(biāo)系求某角的正弦函數(shù)值，一般過已知點(diǎn)向x軸或y軸作垂線，構(gòu)造直角三角形，再結(jié)合勾股定理求解.歸納

已知銳角的正弦值求直角三角形的邊長二典例精析

ABC解析：已知sinA

及∠A的對邊BC的長度，可以求出斜邊AB的長.然后再利用勾股定理，求出AC的長度，進(jìn)而求出sinB及Rt△ABC的面積.

∴AB=3BC=3×3=9.

ABC3歸納總結(jié)在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=k，sinB=h，AB=c，則BC=ckAC=ch在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=k，sinB=h，BC=a，則AB=AC=

A.4B.6C.8D.10D

2練一練

解：設(shè)BC=7x，則AB=25x，在Rt△ABC中，由勾股定理得即24x=24cm，解得x=1cm.故BC=7x=7cm，AB=25x=25cm.所以△ABC的周長為AB+BC+AC=7+24+25=56(cm).

已知一邊及其鄰角的正弦函數(shù)值時(shí)，一般需結(jié)合方程思想和勾股定理，解決問題.歸納

1.在直角三角形ABC中，若三邊長都擴(kuò)大二倍，則銳角A的正弦值（)A.擴(kuò)大2倍B.不變C.縮小2倍D.無法確定B2.如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則sinB=_____，sinC=____.課堂練習(xí)

3.如圖，點(diǎn)D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一條弦，則sin∠OBD=___________.解析：連接CD，可得出∠OBD=∠OCD，根據(jù)點(diǎn)D（0，3），C（4，0），得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函數(shù)求出sin∠OCD即可．4.如圖，在正方形ABCD中，