北京香營(yíng)學(xué)校2022年高二數(shù)學(xué)文月考試題含解析

北京香營(yíng)學(xué)校2022年高二數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|y=lg（x﹣1）}，則A∩B(

)A．（0，1） B．（0，2） C．（1，2） D．（1，+∞）參考答案：C【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域；交集及其運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；集合．【分析】求出A中不等式的解集確定出A，求出B中x的范圍確定出B，找出A與B的交集即可．【解答】解：由A中不等式變形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即A=（0，2），由B中y=lg（x﹣1），得到x﹣1＞0，即x＞1，∴B=（1，+∞），則A∩B=（1，2），故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．2.10個(gè)正數(shù)的平方和是370，方差是33，那么平均數(shù)為（

）A．1B．2C．3D．4參考答案：B．由題意得，于是3.圓心在曲線上，且與直線3x+4y+3=0相切的面積最小的圓的方程為（）A． B．C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】計(jì)算題．【分析】設(shè)圓心為（a，），a＞0，圓心到直線的最短距離為：=|3a++3|=r，|3a++3|=5r，由a＞0，知3a++3=5r，欲求面積最小的圓的方程，即求r最小時(shí)a和r的值，由此能求出面積最小的圓的方程．【解答】解：設(shè)圓心為（a，），a＞0，圓心到直線的最短距離為：=|3a++3|=r，（圓半徑）∴|3a++3|=5r，∵a＞0，∴3a++3=5r，欲求面積最小的圓的方程，即求r最小時(shí)a和r的值，∵5r=3a++3≥2+3=15，∴r≥3，當(dāng)3a=，即a=2時(shí)，取等號(hào)，∴面積最小的圓的半徑r=3，圓心為（2，）所以面積最小的圓的方程為：（x﹣2）2+（y﹣）2=9．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查點(diǎn)到直線的距離公式和圓的性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意均值定理的靈活運(yùn)用．4.某班級(jí)有50名學(xué)生,其中有30名男生和20名女生,隨機(jī)詢問(wèn)了該班五名男生和五名女生在某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中的成績(jī),五名男生的成績(jī)分別為86,94,88,92,90,五名女生的成績(jī)分別為88,93,93,88,93.下列說(shuō)法一定正確的是（）A．這種抽樣方法是一種分層抽樣.

B．這種抽樣方法是一種系統(tǒng)抽樣.C．這五名男生成績(jī)的方差大于這五名女生成績(jī)的方差.D．該班級(jí)男生成績(jī)的平均數(shù)小于該班女生成績(jī)的平均數(shù).參考答案：C5.將正整數(shù)排列如圖：則圖中數(shù)2019出現(xiàn)在（）A.第44行第84列 B.第45行第84列C.第44行第83列 D.第45行第83列參考答案：D【分析】經(jīng)過(guò)觀察，第n行的最后一個(gè)數(shù)為n2，令n2≤2019，得n≤44，所以2019在第45行，2019﹣442＝83，故可得2019的位置．【詳解】依題意，經(jīng)過(guò)觀察，第n行的最后一個(gè)數(shù)為n2，而令n2≤2019得，n≤44，所以2019在第45行，2019﹣442＝83，所以2019在第45行，第83列．故選：D．6.由給出的數(shù)列的第34項(xiàng)是(

).A.

B.

100

C.

D.

參考答案：C7.若（是常數(shù)），且，則

（

）A、6

B、

C、5

D、參考答案：C略8.設(shè)a∈R，若函數(shù)y=x+alnx在區(qū)間（，e）有極值點(diǎn)，則a取值范圍為（）A．（，e）

B．（﹣e，﹣） C．（﹣∞，）∪（e，+∞） D．（﹣∞，﹣e）∪（﹣，+∞）參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件．【分析】函數(shù)y=f（x）=x+alnx在區(qū)間（，e）有極值點(diǎn)?y′=0在區(qū)間（，e）有零點(diǎn)．由f′（x）=1+=．（x＞0）．可得，解出即可．【解答】解：函數(shù)y=f（x）=x+alnx在區(qū)間（，e）有極值點(diǎn)?y′=0在區(qū)間（，e）有零點(diǎn)．f′（x）=1+=．（x＞0）．∴，∴，解得．∴a取值范圍為．故選：B．9.設(shè)函數(shù)的定義域是，其圖象如圖(其中)，那么不等式的解集為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C10.若數(shù)列，，，…，，…是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則為（）． （A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程是

參考答案：略12.已知，且，則的最小值是

。參考答案：13.直線y=k（x﹣1）+4必過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)是．參考答案：（1，4）【考點(diǎn)】過(guò)兩條直線交點(diǎn)的直線系方程．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓．【分析】令參數(shù)k的系數(shù)x﹣1=0，求得x和y的值，可得直線y=k（x﹣1）+4必過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：令參數(shù)k的系數(shù)x﹣1=0，求得x=1，y=4，可得直線y=k（x﹣1）+4必過(guò)定點(diǎn)（1，4），故答案為：（1，4）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．14.設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸跳動(dòng)，每次向正方向或負(fù)方向跳1個(gè)單位，若經(jīng)過(guò)5次跳動(dòng)質(zhì)點(diǎn)落在點(diǎn)（3,0）處（允許重復(fù)過(guò)此點(diǎn)），則質(zhì)點(diǎn)不同的運(yùn)動(dòng)方法共有___________種（用數(shù)字作答）；若經(jīng)過(guò)m次跳動(dòng)質(zhì)點(diǎn)落在點(diǎn)（n,0）處（允許重復(fù)過(guò)此點(diǎn)），其中，且為偶數(shù)，則質(zhì)點(diǎn)不同的運(yùn)動(dòng)方法共有_______種.參考答案：5，15.已知向量=（k，12），=（4，5），=（10，k），且A、B、C三點(diǎn)共線，當(dāng)k＜0時(shí)，若k為直線的斜率，則過(guò)點(diǎn)（2，﹣1）的直線方程為．參考答案：2x+y﹣3=0【考點(diǎn)】三點(diǎn)共線．【分析】先求出和的坐標(biāo)，利用向量和共線的性質(zhì)x1y2﹣x2y1=0，解方程求出k的值．利用點(diǎn)斜式可得直線方程．【解答】解：由題意可得=（4﹣k，﹣7），=（6，k﹣5），由于和共線，故有故有（4﹣k）（k﹣5）+42=0，解得k=11或k=﹣2．∵當(dāng)k＜0時(shí)，若k為直線的斜率，∴過(guò)點(diǎn)（2，﹣1）的直線方程為y+1=﹣2（x﹣2），即2x+y﹣3=0．故答案為2x+y﹣3=0．16.若，則實(shí)數(shù)k的值為________．參考答案：－1略17.已知，，則

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=±1時(shí)取得極值，且f（1）=﹣1．（I）試求常數(shù)a、b、c的值；（II）試求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．參考答案：【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（Ⅰ）是實(shí)數(shù)域上的可導(dǎo)函數(shù)，可先求導(dǎo)確定可能的極值點(diǎn)，再通過(guò)極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即極值點(diǎn)必為f′（x）=0的根建立起由極值點(diǎn)x=±1所確定的相關(guān)等式，運(yùn)用待定系數(shù)法確定a、b、c的值．（Ⅱ）求出f′（x）并分解因式討論x的取值決定f′（x）的正負(fù)研究函數(shù)的增減性即可．【解答】解：（Ⅰ）由f′（1）=f′（﹣1）=0，得3a+2b+c=0，①，3a﹣2b+c=0，②，又f（1）=﹣1，∴a+b+c=﹣1．③由①②③解得a=，b=0，c=﹣．（Ⅱ）f（x）=x3﹣x，∴f′（x）=x2﹣=（x﹣1）（x+1），當(dāng)x＜﹣1或x＞1時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)﹣1＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0；故f（x）在（﹣∞，﹣1）遞增，在（﹣1，1）遞減，在（1，+∞）遞增．19.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2bcosC=acosC+ccosA．（I）求角C的大??；（II）若b=2，c=，求a及△ABC的面積．參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】（I）由正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形內(nèi)角和定理化簡(jiǎn)已知等式可得2sinBcosC=sinB，結(jié)合sinB＞0，可得cosC=，由于C∈（0，C），可求C的值．（II）由已知利用余弦定理可得：a2﹣2a﹣3=0，解得a的值，進(jìn)而利用三角形的面積公式即可計(jì)算得解．【解答】（本題滿分為12分）解：（I）∵2bcosC=acosC+ccosA，∴由正弦定理可得：2sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC，可得：2sinBcosC=sin（A+C）=sinB，∵sinB＞0，∴cosC=，∵C∈（0，C），∴C=…6分（II）∵b=2，c=，C=，∴由余弦定理可得：7=a2+4﹣2×，整理可得：a2﹣2a﹣3=0，∴解得：a=3或﹣1（舍去），∴△ABC的面積S=absinC==…12分20.設(shè)二次函數(shù)f（x）=（k﹣4）x2+kx（k∈R），對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有f（x）≤6x+2恒成立；正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足an+1=f（an）．?dāng)?shù)列{bn}，{cn}分別滿足|bn+1﹣bn|=2，cn+12=4cn2．（1）若數(shù)列{bn}，{cn}為遞增數(shù)列，且b1=1，c1=﹣1，求{bn}，{cn}的通項(xiàng)公式；（2）在（1）的條件下，若g（n）=（n≥1，n∈N*），求g（n）的最小值；（3）已知a1=，是否存在非零整數(shù)λ，使得對(duì)任意n∈N*，都有l(wèi)og3（）+log3（）+…+log3（）＞﹣1+（﹣1）n﹣12λ+nlog32恒成立，若存在，求之；若不存在，說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列與函數(shù)的綜合．【分析】（1）由題意，數(shù)列{bn}，{cn}為遞增數(shù)列，即可求出{bn}，{cn}的通項(xiàng)公式（2）由題意可得，k﹣4＜0，且判別式（k﹣6）2+8（k﹣4）≤0，解不等式可得k=2，可得f（x）的解析式，可得f（n）=﹣2n2+2n，代值計(jì)算即可求出g（n）的表達(dá)式，根據(jù)g（n）=為關(guān)于n的單調(diào)遞增函數(shù)，即可求出最小值．（3）假設(shè)存在非零整數(shù)λ．運(yùn)用構(gòu)造數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式和求和公式，化簡(jiǎn)所求不等式，即為2n﹣1＞（﹣1）n﹣1λ恒成立，討論n為奇數(shù)和偶數(shù)，即可得到所求．【解答】解：（1）數(shù)列{bn}為遞增數(shù)列，則|bn+1﹣bn|=bn+1﹣bn=2，∴{bn}為公差d=2的等差數(shù)列b1=1．∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1（n∈N*）由cn+12=4cn2，∴=4又∵數(shù)列{cn}為遞增數(shù)列，∴=2，∴數(shù)列{cn}公比q=2的等比數(shù)列，首先c1=﹣1，∴cn=（﹣1）?2n﹣1=﹣2n﹣1，（n∈N*）（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有f（x）≤6x+2恒成立，即為（k﹣4）x2+（k﹣6）x﹣2≤0，k﹣4＜0，且判別式（k﹣6）2+8（k﹣4）≤0，即為k2﹣4k+4≤0，即（k﹣2）2≤0，解得k=2，即有f（x）=﹣2x2+2x，∴f（n）=﹣2n2+2n，∴g（n）====2?=∴g（n）=為關(guān)于n的單調(diào)遞增函數(shù)，又∵n≥1．∴g（n）min=g（1）==﹣2（3）由（2）得f（x）=﹣2x2+2x=﹣2（x﹣）2+∵an+1=f（an），又∵f（x）≤，∴正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足an∈（0，]令bn=﹣an，則bn+1=﹣an+1=﹣（﹣2an2+2an）=2（﹣an）2，∴l(xiāng)gbn+1=lg2（﹣an）2=lg2+2lg（﹣an）=lg2+2lgbn，∴l(xiāng)gbn+1+lg2=2（lg2+lgbn），∵lg2+lgb1=lg（﹣）+lg2=lg∴l(xiāng)g2+lgbn=（lg）?2n﹣1，∴l(xiāng)g2bn=lg（），∴bn=?（），∴l(xiāng)og3（）+log3（）+…+log3（）=log32?+log32?3+…+log32?3=nlog32+=nlog32+2n﹣1，要證2n+nlog32﹣1＞﹣1+（﹣1）n﹣1?2+nlog32恒成立即證2n＞（﹣1）n﹣12λ恒成立∴2n＞（﹣1）n﹣12λ恒成立①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即λ＜2n﹣1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，2n﹣1有最小值1為．∴λ＜1；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，即λ＞﹣2n﹣1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，有最大值﹣2為．∴λ＞﹣2，所以，對(duì)任意n∈N*，有﹣2＜λ＜1．又λ為非零整數(shù)，∴λ=﹣1．21.(本小題13分)已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)O為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切。（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且，判斷△AOB的面積是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說(shuō)明理由．參考答案：（Ⅰ）由題意知，∴，即，又，∴，故橢圓的方程為.

……………4分（Ⅱ）設(shè)，由得，，.

…………7分 ....................................9分,,,, 13分22.設(shè)函數(shù)f（x）=x2+2ax﹣b2+4．（Ⅰ）若a是從﹣2、﹣1、0、1、2五個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0、1、2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求函數(shù)f（x）無(wú)零點(diǎn)的概率；（Ⅱ）若a是從區(qū)間[﹣2，2]任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]任取的一個(gè)數(shù)，求函數(shù)f（x）無(wú)零點(diǎn)的概率．參考答案：【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；幾何概型．【分析】（Ⅰ）問(wèn)題等價(jià)于a2+b2＜4，列舉可得基本事件共有15個(gè)，事件A包含6個(gè)基本事件，可得概率；（Ⅱ）作出圖形，由幾何概型的概率公式可得．【解答】解：（Ⅰ）函