2024屆福建省德化一中、永安一中、漳平一中高二數(shù)學第一學期期末綜合測試試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2024屆福建省德化一中、永安一中、漳平一中高二數(shù)學第一學期期末綜合測試試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.等比數(shù)列的前項和為,若,則()A. B.8C.1或 D.或2.設為等差數(shù)列的前項和,若,則的值為()A.14 B.28C.36 D.483.概率論起源于賭博問題.法國著名數(shù)學家布萊爾帕斯卡遇到兩個賭徒向他提出的賭金分配問題:甲、乙兩賭徒約定先贏滿局者,可獲得全部賭金法郎,當甲贏了局,乙贏了局,不再賭下去時,賭金如何分配?假設每局兩人輸贏的概率各占一半,每局輸贏相互獨立,那么賭金分配比較合理的是()A.甲法郎,乙法郎 B.甲法郎,乙法郎C.甲法郎,乙法郎 D.甲法郎,乙法郎4.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”.1852年英國來華傳教士偉烈亞利將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年,英國數(shù)學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關于同余式解法的一般性定理,因而西方稱之為“中國剩余定理”.“中國剩余定理”講的是一個關于整除的問題,現(xiàn)有這樣一個整除問題:將2至2021這2020個數(shù)中能被3除余1且被5除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列,構成數(shù)列,則此數(shù)列的項數(shù)為()A. B.C. D.5.若直線l的傾斜角是鈍角,則l的方程可能是()A. B.C. D.6.已知函數(shù)的導數(shù)為,則等于()A.0 B.1C.2 D.47.若過點(2,1)的圓與兩坐標軸都相切,則圓心到直線的距離為()A. B.C. D.8.設P是拋物線上的一個動點,F(xiàn)為拋物線的焦點.若,則的最小值為()A. B.C.4 D.59.若復數(shù)z滿足(其中為虛數(shù)單位),則()A. B.C. D.10.下面四個說法中,正確說法的個數(shù)為()(1)如果兩個平面有三個公共點,那么這兩個平面重合;(2)兩條直線可以確定一個平面;(3)若,,,則;(4)空間中,兩兩相交的三條直線在同一平面內(nèi).A.1 B.2C.3 D.411.過雙曲線的右焦點F作一條漸近線的垂線,垂足為M,且FM的中點A在雙曲線上,則雙曲線離心率e等于()A. B.C. D.12.已知等比數(shù)列滿足,,則()A.21 B.42C.63 D.84二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若不同的平面的一個法向量分別為,,則與的位置關系為___________.14.設函數(shù)是函數(shù)的導函數(shù),已知,且,則使得成立的x的取值范圍是_________.15.如圖,橢圓的中心在坐標原點,是橢圓的左焦點,分別是橢圓的右頂點和上頂點,當時,此類橢圓稱為“黃金橢圓”,則“黃金橢圓”的離心率___________.16.若,是雙曲線與橢圓的共同焦點,點P是兩曲線的一個交點,且為等腰三角形,則該雙曲線的漸近線為______三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),其中為常數(shù),且(1)求證:時,;(2)已知a,b,p,q為正實數(shù),滿足,比較與的大小關系.18.(12分)已知函數(shù)(a為常數(shù))(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)不等式在上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.19.(12分)一位父親在孩子出生后,每月給小孩測量一次身高,得到前7個月的數(shù)據(jù)如下表所示.月齡1234567身高(單位:厘米)52566063656870(1)求小孩前7個月的平均身高;(2)求出身高y關于月齡x的回歸直線方程(計算結果精確到整數(shù)部分);(3)利用(2)的結論預測一下8個月的時候小孩的身高參考公式:20.(12分)已知函數(shù),.(1)當時,求函數(shù)的極值;(2)若存在,使不等式成立,求實數(shù)的取值范圍.21.(12分)在下列所給的三個條件中任選一個,補充在下面問題中,并完成解答(若選擇多個條件分別解答,則按第一個解答計分).①與直線平行;②與直線垂直;③直線l的一個方向向量為;已知直線l過點,且___________.(1)求直線l的一般方程;(2)若直線l與圓C:相交于M,N兩點,求弦長.22.(10分)某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務情況,隨機訪問50名職工,根據(jù)這50名職工對該部門的評分,繪制頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為(1)求頻率分布直方圖中的值;(2)估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率;(3)從評分在的受訪職工中,隨機抽取2人,求此2人評分都在的概率.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式及等比數(shù)列通項公式即可求解.【題目詳解】設等比數(shù)列的公比為,則因為,所以,即,解得或,所以或.故選:C.2、D【解題分析】利用等差數(shù)列的前項和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求出.【題目詳解】因為為等差數(shù)列的前項和,所以故選:D【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列的前項和公式的計算以及等差數(shù)列性質(zhì)的應用,屬于較易題.3、A【解題分析】利用獨立事件計算出甲、乙各自贏得賭金的概率,由此可求得兩人各分配的金額.【題目詳解】甲贏得法郎的概率為,乙贏得法郎的概率為,因此,這法郎中分配給甲法郎,分配給乙法郎.故選:A.4、C【解題分析】由題設且,應用不等式求的范圍,即可確定項數(shù).【題目詳解】由題設,且,所以,可得且.所以此數(shù)列的項數(shù)為.故選:C5、A【解題分析】根據(jù)直線方程,求得直線斜率,再根據(jù)傾斜角和斜率的關系,即可判斷和選擇.【題目詳解】若直線的傾斜角為,則,當時,為鈍角,當,,當,為銳角;當不存在時,傾斜角為,對A:,顯然傾斜角為鈍角;對B:,傾斜角為銳角;對C:,傾斜角為銳角;對D:不存在,此時傾斜角為直角.故選:A.6、A【解題分析】先對函數(shù)求導,然后代值計算即可【題目詳解】因為,所以.故選:A7、B【解題分析】由題意可知圓心在第一象限,設圓心的坐標為,可得圓的半徑為,寫出圓的標準方程,利用點在圓上,求得實數(shù)的值,利用點到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離.【題目詳解】由于圓上的點在第一象限,若圓心不在第一象限,則圓與至少與一條坐標軸相交,不合乎題意,所以圓心必在第一象限,設圓心的坐標為,則圓的半徑為,圓的標準方程為.由題意可得,可得,解得或,所以圓心的坐標為或,圓心到直線的距離均為;圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為;所以,圓心到直線的距離為.故選:B.【題目點撥】本題考查圓心到直線距離的計算,求出圓的方程是解題的關鍵,考查計算能力,屬于中等題.8、C【解題分析】作出圖形,過點作拋物線準線的垂線,由拋物線的定義得,從而得出,再由、、三點共線時,取最小值得解.【題目詳解】,所以在拋物線的內(nèi)部,過點作拋物線準線的垂線,由拋物線的定義得,,當且僅當、、三點共線時,等號成立,因此,的最小值為.故選:C.9、B【解題分析】利用復數(shù)的除法化簡復數(shù),利用復數(shù)的模長公式可求得結果.【題目詳解】,因此,.故選:B10、A【解題分析】如果兩個平面有三個公共點,那么這兩個平面重合或者是相交,即可判斷;利用兩條異面直線不能確定一個平面即可判斷;利用平面的基本性質(zhì)中的公理判斷即可;若兩兩相交的三條直線相交于同一點,則相交于同一點的三直線不一定在同一平面內(nèi)(如棱錐的3條側棱),即可判斷.【題目詳解】如果兩個平面有三個公共點,那么這兩個平面重合或者是相交,故(1)不正確;兩條異面直線不能確定一個平面,故(2)不正確;利用平面的基本性質(zhì)中的公理判斷(3)正確;空間中,若兩兩相交的三條直線相交于同一點,則相交于同一點的三直線不一定在同一平面內(nèi)(如棱錐的3條側棱),故(4)不正確,綜上所述只有一個說法是正確的,故選:A【題目點撥】本題主要考查了空間中點,線,面的位置關系.屬于較易題.11、A【解題分析】根據(jù)題意可表示出漸近線方程,進而可知的斜率,表示出直線方程,求出的坐標進而求得A點坐標,代入雙曲線方程整理求得和的關系式,進而求得離心率【題目詳解】:由題意設相應的漸近線:,則根據(jù)直線的斜率為,則的方程為,聯(lián)立雙曲線漸近線方程求出,則,,則的中點,把中點坐標代入雙曲線方程中,即,整理得,即,求得,即離心率為,故答案為:12、D【解題分析】設等比數(shù)列公比為q,根據(jù)給定條件求出即可計算作答.【題目詳解】等比數(shù)列公比為q,由得:,即,而,解得,所以.故選:D二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、平行【解題分析】根據(jù)題意得到,得出,即可得到平面與的位置關系.【題目詳解】由題意,平面的一個法向量分別為,,可得,所以,所以,即平面與的位置關系為平行.故答案為:平行14、【解題分析】構造函數(shù)利用導數(shù)研究單調(diào)性,即可得到答案;【題目詳解】,令,,單調(diào)遞減,且,,x的取值范圍是,故答案為:15、或【解題分析】寫出,,求出,根據(jù)以及即可求解,【題目詳解】由題意,,,所以,,因為,則,即,即,所以,即,解得或(舍).故答案為:16、【解題分析】根據(jù)給定條件求出兩曲線的共同焦點,再由橢圓、雙曲線定義求出a,b即可計算作答.【題目詳解】橢圓的焦點,由橢圓、雙曲線的對稱性不妨令點P在第一象限,因為等腰三角形,由橢圓的定義知:,則,,由雙曲線定義知:,即,,,所以雙曲線的漸近線為:.故答案為:【題目點撥】易錯點睛:雙曲線(a>0,b>0)漸近線方程為,而雙曲線(a>0,b>0)的漸近線方程為(即),應注意其區(qū)別與聯(lián)系.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)【解題分析】(1)根據(jù)導數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性求出其最大值,即可證出;(2)由(1)知:,再變形即可得出小問1詳解】因為,∴在上單調(diào)遞減,又因,故當時,;當時,,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以.【小問2詳解】由(1)知:,兩邊同乘以a得:,∴,即.18、(1)當時,在定義域上單調(diào)遞增;當時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;(2).【解題分析】(1)求出的導數(shù),通過討論的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即得解;(2)問題轉(zhuǎn)化為,,,令,求出的最大值,從而求出的范圍即得解【題目詳解】解:(1)函數(shù)的定義域為,,①當時,,,,在定義域上單調(diào)遞增②當時,若,則,在上單調(diào)遞增;若,則,在上單調(diào)遞減綜上所述,當時,在定義域上單調(diào)遞增;當時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減(2)當時,,不等式在,上恒成立,,,,令,,,,在,上單調(diào)遞增,(1),,的范圍為,19、(1)62;(2);(3)74.【解題分析】(1)直接利用平均數(shù)的計算公式即可求解;(2)套公式求出b、a,求出回歸方程;(3)把x=8代入回歸方程即可求出.【小問1詳解】小孩前7個月的平均身高為.【小問2詳解】(2)設回歸直線方程是.由題中的數(shù)據(jù)可知.,..計算結果精確到整數(shù)部分,所以,于是,所以身高y關于月齡x的回歸直線方程為.【小問3詳解】由(2)知,.當x=8時,y=3×8+50=74,所以預測8個月的時候小孩的身高為74厘米.20、(1)函數(shù)在上遞增,在上遞減,極大值為,無極小值(2)【解題分析】(1)求出函數(shù)的導函數(shù),再根據(jù)導數(shù)的符號求得單調(diào)區(qū)間,再根據(jù)極值的定義即可得解;(2)若存在,使不等式成立,問題轉(zhuǎn)化為,令,,利用導數(shù)求出函數(shù)的最大值即可得出答案.【小問1詳解】解:當時,,則,當時,,當時,,所以函數(shù)在上遞增,在上遞減,所以函數(shù)的極大值為,無極小值;【小問2詳解】解:若存在,使不等式成立,則,即,則問題轉(zhuǎn)化為,令,,,當時,,當時,,所以函數(shù)在遞增,在上遞減,所以,所以.21、(1)若選擇①②,則直線方程為:;若選擇③,則直線方程為;(2)若選擇①②,則;若選擇③,則.【解題分析】(1)根據(jù)所選擇的條件,結合直線過點,即可寫出直線的方程;(2)利用(1)中所求直線方程,以及弦長公式,即可求得結果.【小問1詳解】若選①與直線平行,則直線的斜率;又其過點,故直線的方程為,則其一般式為;若選②與直線垂直,則直線的斜率滿足,解得;又其過點,故直線的方程為,則其一般式為;若選③直線l的一個方向向量為,則直線的斜率;又其過點,故直線的方程為,則其一般式為;綜上所述:若選擇①②,則直線方程為:;若選擇③,則直線方程為.【小問2詳解】對圓C:,其圓心為,半徑,根據(jù)(1)中所求,若選擇①②,則直線方程為,則圓心到直線的距離,則直線截圓所得弦長;若選擇③,則直線方程為,則圓心到直線的距離,則直線截圓所得弦長.綜上所述,若選擇①②,則;若選擇③,則.22、(1)0.006;(2);(3).【解題分析】(1)在頻率分布直方圖中,由頻率總和即所有矩形面積之和為,可求;(2)在頻率分布直方圖中先求出50名受訪職工評分不低于80的頻率為,由頻率與概率關系可得該部門評分不低于80的概率的估計值為;(3)受訪職工評分在[50,60)的有3人,記為,受訪職工評分在[40,50)的有2人,記為,列出從這5人中選出兩人所有基本事件,即可求相應的概率.【題目詳解】(1)因為,所以(2)由所給頻率分布直方圖知,50名受訪職工評分

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