北京市知春里中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

北京市知春里中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若圓與圓相外切，則的值為（）A. B.C.1 D.2．已知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且實(shí)半軸長為4，虛半軸長為5，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.＝1 B.＝1C.＝1 D.＝13．各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A. B.C. D.4．魯班鎖運(yùn)用了中國古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，相傳由春秋時(shí)代各國工匠魯班所作，是由六根內(nèi)部有槽的長方形木條，按橫豎立三方向各兩根凹凸相對(duì)咬合一起，形成的一個(gè)內(nèi)部卯榫的結(jié)構(gòu)體.魯班鎖的種類各式各樣，千奇百怪.其中以最常見的六根和九根的魯班鎖最為著名.下圖1是經(jīng)典的六根魯班鎖及六個(gè)構(gòu)件的圖片，下圖2是其中的一個(gè)構(gòu)件的三視圖（圖中單位：mm），則此構(gòu)件的表面積為（）A. B.C. D.5．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，將在2022年2月4日在中華人民共和國北京市和張家口市聯(lián)合舉行．這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運(yùn)會(huì)，北京成為奧運(yùn)史上第一個(gè)舉辦夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)和冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)的城市．同時(shí)中國也成為第一個(gè)實(shí)現(xiàn)奧運(yùn)“全滿貫”（先后舉辦奧運(yùn)會(huì)、殘奧會(huì)、青奧會(huì)、冬奧會(huì)、冬殘奧會(huì)）國家．根據(jù)規(guī)劃，國家體育場（鳥巢）成為北京冬奧會(huì)開、閉幕式的場館．國家體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，若由外層橢圓長軸一端點(diǎn)和短軸一端點(diǎn)分別向內(nèi)層橢圓引切線，（如圖），且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.6．某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒．若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待18秒才出現(xiàn)綠燈的概率為（）A B.C. D.7．在四棱錐中，底面為平行四邊形，為邊的中點(diǎn)，為邊上的一列點(diǎn)，連接，交于，且，其中數(shù)列的首項(xiàng)，則（）A. B.為等比數(shù)列C. D.8．兩圓與的公切線有（）A.1條 B.2條C.3條 D.4條9．已知數(shù)列滿足，，則的最小值為（）A. B.C. D.10．“”是“方程為雙曲線方程”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11．在四棱錐中，底面是正方形，為的中點(diǎn)，若，則（）A. B.C. D.12．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.即不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某班名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該班本次測試平均分為______14．已知原命題為“若，則”，則它的逆否命題是__________（填寫”真命題”或”假命題”）15．千年一遇對(duì)稱日，萬事圓滿在今朝，年月日又是一個(gè)難得的“世界完全對(duì)稱日”（公歷紀(jì)年日期中數(shù)字左右完全對(duì)稱的日期）.數(shù)學(xué)上把這樣的對(duì)稱自然數(shù)叫回文數(shù)，兩位數(shù)的回文數(shù)共有個(gè)（），其中末位是奇數(shù)的又叫做回文奇數(shù)，則在內(nèi)的回文奇數(shù)的個(gè)數(shù)為___16．已知p：“”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點(diǎn)是圓：上任意一點(diǎn)，是圓內(nèi)一點(diǎn)，線段的垂直平分線與半徑相交于點(diǎn)（1）當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且斜率為的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，記，的斜率分別是，．當(dāng)，都存在且不為時(shí)，試探究是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說明理由18．（12分）如圖，四棱錐，，，，為等邊三角形，平面平面ABCD，Q為PB中點(diǎn)（1）求證：平面平面PBC；（2）求平面PBC與平面PAD所成二面角的正弦值19．（12分）設(shè)AB是過拋物線焦點(diǎn)F的弦，若，，求證：（1）；（2）（為弦AB的傾斜角）20．（12分）如圖1，在△MBC中，，A，D分別為棱BM，MC的中點(diǎn)，將△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使，如圖2，連結(jié)PB，PC，BD（1）求證：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若E為PC中點(diǎn)，求直線DE與平面PBD所成角的正弦值21．（12分）已知拋物線y2＝8x.(1)求出該拋物線的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、對(duì)稱軸、變量x的范圍；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，作拋物線的內(nèi)接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦點(diǎn)F是△OAB的重心，求△OAB的周長22．（10分）直線：和：（1）若兩直線垂直，求m的值；（2）若兩直線平行，求平行線間的距離

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】確定出兩圓的圓心和半徑，然后由兩圓的位置關(guān)系建立方程求解即可.【題目詳解】由可得，所以圓的圓心為，半徑為，由可得，所以圓的圓心為，半徑為，因?yàn)閮蓤A相外切，所以，解得，故選：D2、D【解題分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解即可.【題目詳解】雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且實(shí)半軸長為4，虛半軸長為5，可得a＝4，b＝5，所以雙曲線方程為：＝1.故選：D.3、D【解題分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)可知，，，成等比數(shù)列，由等比中項(xiàng)特點(diǎn)可構(gòu)造方程求得，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求得，進(jìn)而得到結(jié)果.【題目詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：，，，成等比數(shù)列，則，即，解得：，，，解得：.故選：D.4、B【解題分析】由三視圖可知，該構(gòu)件是長為100，寬為20，高為20的長方體的上面的中間部分去掉一個(gè)長為40，寬為20，高為10的小長方體的一個(gè)幾何體，進(jìn)而求出表面積即可.【題目詳解】由三視圖可知，該構(gòu)件是長為100，寬為20，高為20的長方體的上面的中間部分去掉一個(gè)長為40，寬為20，高為10的小長方體的一個(gè)幾何體，如下圖所示，其表面積為：.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查幾何體的表面積的求法，考查三視圖，考查學(xué)生的空間想象能力與計(jì)算求解能力，屬于中檔題.5、B【解題分析】分別設(shè)內(nèi)外層橢圓方程為、，進(jìn)而設(shè)切線、分別為、，聯(lián)立方程組整理并結(jié)合求、關(guān)于a、b、m的關(guān)系式，再結(jié)合已知得到a、b的齊次方程求離心率即可.【題目詳解】若內(nèi)層橢圓方程為，由離心率相同，可設(shè)外層橢圓方程為，∴，設(shè)切線為，切線為，∴，整理得，由知：，整理得，同理，，可得，∴，即，故.故選：B.【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)內(nèi)外橢圓的離心率相同設(shè)橢圓方程，并寫出切線方程，聯(lián)立方程結(jié)合及已知條件，得到橢圓參數(shù)的齊次方程求離心率.6、B【解題分析】由幾何概型公式求解即可.【題目詳解】紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒，則至少需要等待18秒才出現(xiàn)綠燈的概率為，故選：B7、A【解題分析】由得，為邊的中點(diǎn)得，設(shè)，所以，根據(jù)向量相等可判斷A選項(xiàng)；由得是公比為的等比數(shù)列，可判斷B選項(xiàng)；代入可判斷C選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)可判斷D選項(xiàng).【題目詳解】由得，因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以，所以設(shè)，所以，所以，當(dāng)時(shí)，A選項(xiàng)正確；，由得，是公比為的等比數(shù)列，所以，所以，所以，不是常數(shù)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；所以，由得，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，此時(shí)為的中點(diǎn)，與重合，即，，故D錯(cuò)誤.故選：A.8、D【解題分析】求得圓心坐標(biāo)分別為，半徑分別為，根據(jù)圓圓的位置關(guān)系的判定方法，得出兩圓的位置關(guān)系，即可求解.【題目詳解】由題意，圓與圓，可得圓心坐標(biāo)分別為，半徑分別為，則，所以，可得圓外離，所以兩圓共有4條切線.故選：D.9、C【解題分析】采用疊加法求出，由可得，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)分析在或6取到最小值，代值運(yùn)算即可求解.【題目詳解】因?yàn)椋?，，，，式相加可得，所以，，?dāng)且僅當(dāng)取到，但，，所以時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，所以的最小值為.故選：C10、C【解題分析】先求出方程表示雙曲線時(shí)滿足的條件，然后根據(jù)“小推大”的原則進(jìn)行判斷即可.【題目詳解】因方程為雙曲線方程，所以，所以“”是“方程為雙曲線方程”的充要條件.故選：C.11、C【解題分析】由為的中點(diǎn)，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，即可求解.【題目詳解】由底面是正方形，E為的中點(diǎn)，且，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得.故選：C.12、D【解題分析】根據(jù)充分條件、必要條件的判定方法，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可求解.【題目詳解】由，可得，即，當(dāng)時(shí)，，但的符號(hào)不確定，所以充分性不成立；反之當(dāng)時(shí)，也不一定成立，所以必要性不成立，所以是的即不充分也不必要條件.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】將每個(gè)矩形底邊的中點(diǎn)值乘以對(duì)應(yīng)矩形的面積，即可得解.【題目詳解】由頻率分布直方圖可知，該班本次測試平均分為.故答案為：.14、真命題【解題分析】先判斷原命題的真假，再由逆否命題與原命題是等價(jià)命題判斷.【題目詳解】因?yàn)槊}“若，則”是真命題，且逆否命題與原命題是等價(jià)命題,所以它的逆否命題是真命題，故答案為：真命題15、【解題分析】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合題中定義、組合的定義進(jìn)行求解即可.【題目詳解】兩位數(shù)的回文奇數(shù)有，共個(gè)，三位數(shù)的回文奇數(shù)有，四位數(shù)的回文奇數(shù)有，所以在內(nèi)的回文奇數(shù)的個(gè)數(shù)為，故答案為：16、【解題分析】根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化不等式在上有解，則，由此求解出的取值范圍.【題目詳解】因?yàn)椤啊睘檎婷}，所以不等式在上有解，所以，所以，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）是定值，.【解題分析】(1)根據(jù)給定條件探求得，再借助橢圓定義直接求得軌跡的方程.(2)設(shè)出直線的方程，再與軌跡的方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理計(jì)算作答.【小問1詳解】圓：的圓心，半徑，因線段的垂直平分線與半徑相交于點(diǎn)，則，而，于是得，因此，點(diǎn)的軌跡是以C，A為左右焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，短半軸長有，所以軌跡的方程為.【小問2詳解】依題意，設(shè)直線的方程為：，，由消去y并整理得：，，則且，設(shè)，則有，，因直線，的斜率，都存在且不為，因此，且，，，所以直線，的斜率，都存在且不為時(shí)，是定值，這個(gè)定值是.【題目點(diǎn)撥】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值18、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，可證，從而可利用面面垂直的判定定理可證平面平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量、平面的法向量后可得二面角的正弦值.【小問1詳解】如圖，取的中點(diǎn)為S，連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，故，，而平面平面ABCD，平面平面，平面，故平面，而平面，故，而，故，因，故平面，因平面，故，因，故平面，而平面，故平面平面.【小問2詳解】連接，因?yàn)?，故四邊形為平行四邊形，而，故四邊形為矩形，所以，由?）可得平面，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則所以，，設(shè)平面的法向量為，則即，取，則，設(shè)平面的法向量為，則即，取，則，故，故平面PBC與平面PAD所成二面角的正弦值為.19、（1）證明見解析（2）證明見解析【解題分析】（1）設(shè)直線的方程為，代入，再利用韋達(dá)定理，即可得到結(jié)論；（2）由拋物線的定義，結(jié)合余弦函數(shù)的定義，即可得到的長，同理可得的長，兩式相乘即可證明；【小問1詳解】證明：由題意設(shè)直線的方程為，代入，可得，所以；【小問2詳解】證明：如圖，不妨設(shè)弦AB的傾斜角為銳角，作垂直于拋物線準(zhǔn)線,垂足為M,N,由拋物線的定義可得，所以，同理可得，,所以，當(dāng)為直角或鈍角時(shí)，同理可證明，故.20、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】(1)推導(dǎo)出，，利用線面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理即可證明；(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求出直線DE與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】由題意知，因?yàn)辄c(diǎn)A、D分別為MB、MC中點(diǎn)，所以，又，所以，所以.因?yàn)?，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面；【小?詳解】因?yàn)?，，，所以兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，所以，設(shè)直線DE與平面所成角為，則，所以直線DE與平面所成角的正弦值為.21、（1）見解析；（2）2＋4.【解題分析】（1）由拋物線的簡單幾何性質(zhì)易得結(jié)果；(2)由|OA|＝|OB|可知AB⊥x軸，又焦點(diǎn)F是△OAB的重心，則|OF|＝|OM|=2.設(shè)A(3，m)，代入y2＝8x即可得到△OAB的周長【題目詳解】(1)拋物線y2＝8x的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、對(duì)稱軸、變量x的范圍分別為(0,0)，(2,0)，x＝－2，x軸，x≥0.(2)如圖所示．由|OA|＝|OB|可知AB⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，又焦點(diǎn)F是△OAB的重心，則|OF|＝|OM|.因?yàn)镕(2,0)，所以|