2024屆遼寧省朝陽市普通高中高二上數(shù)學期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

2024屆遼寧省朝陽市普通高中高二上數(shù)學期末學業(yè)水平測試模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的A. B.C. D.2．已知直線與直線平行，則實數(shù)a值為（）A.1 B.C.1或 D.3．設，，，則下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.4．設雙曲線：的左，右焦點分別為，，過的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點，若，則雙曲線的離心率為（）A.4 B.2C. D.5．已知圓，直線，直線l被圓O截得的弦長最短為（）A. B.C.8 D.96．設變量滿足約束條件，則的最大值為（）A.0 B.C.3 D.47．從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點；從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點.如圖①，一個光學裝置由有公共焦點的橢圓與雙曲線構成，現(xiàn)一光線從左焦點發(fā)出，依次經(jīng)與反射，又回到了點，歷時秒；若將裝置中的去掉，如圖②，此光線從點發(fā)出，經(jīng)兩次反射后又回到了點，歷時秒；若，則的長軸長與的實軸長之比為（）A. B.C. D.8．已知是拋物線上的一點，是拋物線的焦點，若以為始邊，為終邊的角，則等于（）A. B.C. D.9．若數(shù)列滿足，則（）A.2 B.6C.12 D.2010．如圖，在正方體中，是側面內一動點，若到直線與直線的距離相等，則動點的軌跡所在的曲線是（）A.直線 B.圓C.雙曲線 D.拋物線11．設函數(shù)，若的整數(shù)有且僅有兩個，則的取值范圍是（）A. B.C. D.12．等差數(shù)列的公差為2，若成等比數(shù)列，則（）A.72 B.90C.36 D.45二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在等比數(shù)列中，若，，則數(shù)列的公比為___________.14．如圖，在棱長為1的正方體中，點M為線段上的動點，下列四個結論：①存在點M，使得直線AM與直線夾角為30°；②存在點M，使得與平面夾角的正弦值為；③存在點M，使得三棱錐體積為；④存在點M，使得，其中為二面角的大小，為直線與直線AB所成的角則上述結論正確的有______．（填上正確結論的序號）15．在中，內角，，的對邊分別為，，，若，且，則_______16．歷史上第一個研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年—325年），大約100年后，阿波羅尼奧更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進一步研究了這些圓錐曲線的光學性質，比如：從拋物線的焦點發(fā)出的光線或聲波在經(jīng)過拋物線反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸：反之，平行于拋物線對稱軸的光線，經(jīng)拋物線反射后，反射光線經(jīng)過拋物線的焦點.已知拋物線，經(jīng)過點一束平行于C對稱軸的光線，經(jīng)C上點P反射后交C于點Q，則PQ的長度為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面，，是的中點，，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）已知橢圓的長軸長是6，離心率是.（1）求橢圓E的標準方程；（2）設O為坐標原點，過點的直線l與橢圓E交于A，B兩點，判斷是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.19．（12分）已知橢圓的焦距為，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）若斜率為1的直線與橢圓交于不同的兩點，，求的最大值.20．（12分）“雙十一”已經(jīng)成為網(wǎng)民們的網(wǎng)購狂歡節(jié)，某電子商務平臺對某市的網(wǎng)民在今年“雙十一”的網(wǎng)購情況進行摸底調查，用隨機抽樣的方法抽取了100人，其消費金額（百元）的頻率分布直方圖如圖1所示：（1）利用圖1，求網(wǎng)民消費金額的平均值和中位數(shù)；（2）把下表中空格里的數(shù)填上，能否有的把握認為網(wǎng)購消費與性別有關.男女合計30合計45附表：P(χ2≥k0)0.100.050.012.7063.8416.635參考公式：χ2＝.21．（12分）已知橢圓的離心率為，右焦點到上頂點的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）斜率為2的直線經(jīng)過橢圓的左焦點，且與橢圓相交于兩點，求的面積.22．（10分）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，設平面與平面的交線為.（1）證明：；（2）已知，為直線上的點，求與平面所成角的正弦值的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】根據(jù)輸入的條件執(zhí)行循環(huán)，并且每一次都要判斷結論是或否，直至退出循環(huán).【題目詳解】，，，；，【題目點撥】本題考查程序框圖，執(zhí)行循環(huán)，屬于基礎題.2、A【解題分析】根據(jù)兩直線平行的條件列方程，化簡求得，檢驗后確定正確答案.【題目詳解】由于直線與直線平行，所以，或，當時，兩直線方程都為，即兩直線重合，所以不符合題意.經(jīng)檢驗可知符合題意.故選：A3、B【解題分析】利用特殊值法可判斷ACD的正誤，根據(jù)不等式的性質，可判斷B的正誤.【題目詳解】對于A中，令，，，，滿足，，但，故A錯誤；對于B中，因為，所以由不等式的可加性，可得，所以，故B正確；對于C中，令，，，，滿足，，但，故C錯誤；對于D中，令，，，，滿足，，但，故D錯誤故選：B4、B【解題分析】根據(jù)雙曲線的定義及，求出，，，，再利用余弦定理計算可得；【題目詳解】解：依題意可知、，又且，所以，，，，則，且，即，即，所以離心率.故選：B5、B【解題分析】先求得直線過定點，再根據(jù)當點與圓心連線垂直于直線l時，被圓O截得的弦長最短求解.【題目詳解】因為直線方程，即為，所以直線過定點，因為點在圓的內部，當點與圓心連線垂直于直線l時，被圓O截得的弦長最短，點與圓心（0，0）的距離為，此時，最短弦長為，故選：B6、A【解題分析】先畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，然后根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義，即可求出目標函數(shù)的最大值.【題目詳解】解：滿足約束條件的可行域如下圖所示：由，可得，因為目標函數(shù)，即，表示斜率為，截距為的直線，由圖可知，當直線經(jīng)過時截距取得最小值，即取得最大值，所以的最大值為，故選：A.7、D【解題分析】在圖①和圖②中，利用橢圓和雙曲線的定義，分別求得和的周長，再根據(jù)光速相同，且求解.【題目詳解】在圖①中，由橢圓的定義得：，由雙曲線的定義得，兩式相減得，所以的周長為，在圖②中，的周長為，因為光速相同，且，所以，即，所以，即的長軸長與的實軸長之比為，故選：D8、D【解題分析】設點，取，可得，求出的值，利用拋物線的定義可求得的值.【題目詳解】設點，其中，則，，取，則，可得，因為，可得，解得，則，因此，.故選：D.9、D【解題分析】由已知條件變形可得，然后累乘法可得，即可求出詳解】由得，，.故選：D10、D【解題分析】由到直線的距離等于到點的距離可得到直線的距離等于到點的距離，然后可得答案.【題目詳解】因為到直線的距離等于到點的距離，所以到直線的距離等于到點的距離，所以動點的軌跡是以為焦點、為準線的拋物線故選：D11、D【解題分析】等價于，令，，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，作出的簡圖，數(shù)形結合只需滿足即可.【題目詳解】，即，又，則.令，，，當時，，時，，時，，在單調遞減，在單調遞增，且，且，，作出函數(shù)圖象如圖所示，若的整數(shù)有且僅有兩個，即只需滿足，即，解得：故選：D12、B【解題分析】由題意結合成等比數(shù)列，有即可得，進而得到、，即可求.【題目詳解】由題意知：，，又成等比數(shù)列，∴，解之得，∴，則，∴，故選：B【題目點撥】思路點睛：由其中三項成等比數(shù)列，利用等比中項性質求項，進而得到等差數(shù)列的基本量1、由成等比，即；2、等差數(shù)列前n項和公式的應用.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解題分析】求出等比數(shù)列的公比，利用定義可求得數(shù)列的公比.【題目詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，因此，數(shù)列的公比為.故答案為：.14、②③【解題分析】對①：由連接，，由平面，即可判斷；對③：設到平面的距離為，則，所以即可判斷；對④：以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，設，利用向量法求出與，比較大小即可判斷；對②：設與平面夾角為，利用向量法求出，即可求解判斷.【題目詳解】解：對①：連接，，在正方體中，由平面，可得，又，，所以平面，所以，故①錯誤；對③：設到平面的距離為，則，所以，故③正確；對④：以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，0，，，0，，，，，，，，所以，，，，，，設平面的法向量為，，，則，即，取，，，又，1，是平面的一個法向量，又二面角為銳二面角或直角，所以，，，又，，，故④錯誤對②：由④的解析知，，，，設平面的法向量為，則，即，取，則，設與平面夾角為，令，即，又，解得或，故②正確.故答案為：②③.15、【解題分析】代入，展開整理得，①化為，與①式相加得，轉化為關于的方程，求解即可得出結論.【題目詳解】因為，所以，所以，因為，所以，則，整理得，解得.故答案為:.【題目點撥】本題考查正弦定理的邊角互化，考查三角函數(shù)化簡求值，屬于中檔題.16、####【解題分析】根據(jù)題意，求得點以及拋物線焦點的坐標，即可求得所在直線方程，聯(lián)立其與拋物線方程，求得點的坐標，即可求得.【題目詳解】因為經(jīng)過點一束平行于C對稱軸的光線交拋物線于點，故對，令，則可得，也即的坐標為，又拋物線的焦點的坐標為，故可得直線方程為，聯(lián)立拋物線方程可得：，，解得或，將代入，可得，即的坐標為，則.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）建立空間直角坐標系，分別求出向量和，證明即可；（2）先求出和平面的法向量，然后利用公式求出，則直線與平面所成角的正弦值即為.【小問1詳解】證明：∵，，∴△≌△,∴,設，在△中，由余弦定理得，即，則,即，，連接交于點，分別以，為軸、軸，過作軸，建立如圖空間直角坐標系，則，，，，，，的中點，則，，∵，∴.【小問2詳解】由（1）可知，，，，設平面的法向量為，則，即，令，則，即，則，記直線與平面所成角為，.18、（1）；（2）存在，.【解題分析】(1)根據(jù)給定條件求出橢圓長短半軸長即可代入計算作答.(2)當直線l的斜率存在時，設出直線l的方程，與橢圓E的方程聯(lián)立，利用韋達定理、向量數(shù)量積運算，推理計算作答.【小問1詳解】依題意，，半焦距為c，則離心率，即，有，所以橢圓E的標準方程為：.【小問2詳解】當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，由消去y并整理得：，設，則，，，，，，要使為定值，必有，解得，此時，當直線l的斜率不存在時，由對稱性不妨令，，，當時，，即當時，過點的任意直線l與橢圓E交于A，B兩點，恒有，所以存在滿足條件.【題目點撥】方法點睛：求定值問題常見的方法：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值19、（1）；（2）.【解題分析】（1）由題設可得且，結合橢圓參數(shù)關系求，即可得橢圓的方程；（2）設直線為，聯(lián)立拋物線整理成一元二次方程的形式，由求m的范圍，再應用韋達定理及弦長公式求關于m的表達式，根據(jù)二次函數(shù)性質求最值即可.小問1詳解】由題設，且，故，，則，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】設直線為，聯(lián)立橢圓并整理得：，所以，可得，且，，所以且，故當時，.20、（1），（2）列聯(lián)表見解析，沒有【解題分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的定義求平均數(shù)，由于前2組的頻率和恰好為，從而可求出中位數(shù)，（2）根據(jù)頻率分布表結合已知的數(shù)據(jù)計算完成列聯(lián)表，然后計算χ2公式計算χ2，再根據(jù)臨界值表比較可得結論【小問1詳解】以每組的中間值代表本組的消費金額，則網(wǎng)民消費金額的平均值為0.頻率直方圖中第一組、第二組的頻率之和為，中位數(shù)；【小問2詳解】把下表中空格里的數(shù)填上，得列聯(lián)表如下；男女合計252550203050合計4555100計算，所以沒有的把握認為網(wǎng)購消費與性別有關.21、（1）；（2）.【解題分析】（1）由題可得，即求；（2）由題可設直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理法結合三角形面積公式即求.【小問1詳解】由題意可得，解得，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】解法一：由（1）得，則由題意可設直線，代入橢圓方程整理可得，設，則，則由弦長公式知，又設到的距離為，則由點到直線距離公式可得，的面積，即所求面積為.解法二：由（1）得，則由題意可設直線，即代入橢圓方程整理可得，設，則