安徽省淮北、宿州市2024年高二數(shù)學第一學期期末綜合測試試題含解析

安徽省淮北、宿州市2024年高二數(shù)學第一學期期末綜合測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知平面直角坐標系內一動點P，滿足圓上存在一點Q使得，則所有滿足條件的點P構成圖形的面積為（）A. B.C. D.2．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.3．已知平面，的法向量分別為，，且，則（）A. B.C. D.4．若雙曲線的兩個焦點為，點是上的一點，且，則雙曲線的漸近線與軸的夾角的取值范圍是（）A. B.C. D.5．已知兩個向量，，且，則的值為（）A.-2 B.2C.10 D.-106．如圖，平面四邊形中，，，，為等邊三角形，現(xiàn)將沿翻折，使點移動至點，且，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B.C. D.7．已知定義域為R的函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)，則下列命題一定為真命題的是()A.?x∈R，f(－x)≠f(x)B.?x∈R，f(－x)≠－f(x)C?x0∈R，f(－x0)≠f(x0)D.?x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)8．方程表示的圖形是A.兩個半圓 B.兩個圓C.圓 D.半圓9．一條光線從點射出，經軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為()A.或 B.或C.或 D.或10．若，，則有（）A. B.C. D.11．過點且平行于直線的直線方程為（）A. B.C. D.12．在平面幾何中，將完全覆蓋某平面圖形且直徑最小的圓，稱為該平面圖形的最小覆蓋圓.如線段的最小覆蓋圓就是以該線段為直徑的圓，銳角三角形的最小覆蓋圓就是該三角形的外接圓.若，，，則的最小覆蓋圓的半徑為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設有下列命題：①當，時，不等式恒成立；②函數(shù)在上的最小值為2；③函數(shù)在上的最大值為；④若，，且，則的最小值為其中真命題為________________．（填寫所有真命題的序號）14．已知等差數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的前2022項的和為___________.15．已知曲線在點處的切線與曲線相切，則______.16．若點O和點F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則·的最大值為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，使；不等式對一切恒成立.如果為真命題，為假命題，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）如圖，已知正四棱錐中，O為底面對角線的交點.（1）求證：平面；（2）求證：平面.19．（12分）四棱錐中，平面，四邊形為平行四邊形，（1）若為中點，求證平面；（2）若，求面與面的夾角的余弦值.20．（12分）動點M到點的距離比它到直線的距離小，記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程；（2）已知圓，設P，A，B是C上不同的三點，若直線PA，PB均與圓D相切，若P的縱坐標為，求直線AB的方程.21．（12分）已知數(shù)列與滿足（1）若，且，求數(shù)列的通項公式；（2）設的第k項是數(shù)列的最小項，即恒成立．求證：的第k項是數(shù)列的最小項；（3）設．若存在最大值M與最小值m，且，試求實數(shù)的取值范圍22．（10分）等差數(shù)列的前n項和為，已知（1）求的通項公式；（2）若，求n的最小值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】先找臨界情況當PQ與圓C相切時，，進而可得滿足條件的點P形成的圖形為大圓（包括內部），即求.【題目詳解】當PQ與圓C相切時，，這種情況為臨界情況，當P往外時無法找到點Q使，當P往里時，可以找到Q使，故滿足條件的點P形成的圖形為大圓（包括內部），如圖，由圓，可知圓心，半徑為1，則大圓的半徑為，∴所有滿足條件的點P構成圖形的面積為.故選：D.【題目點撥】關鍵點點睛：本題的關鍵是找出臨界情況時點所滿足的條件，進而即可得到動點滿足條件的圖形，問題即可解決.2、B【解題分析】由雙曲線的漸近線方程以及即可求得離心率.【題目詳解】由已知條件得，∴，∴，∴，∴，故選：.3、D【解題分析】由題得，解方程即得解.【題目詳解】解：因為，所以所以，所以，所以.故選：D4、B【解題分析】由條件結合雙曲線的定義可得，然后可得，然后可求出的范圍即可.【題目詳解】由雙曲線的定義可得，結合可得當點不為雙曲線的頂點時，可得，即當點為雙曲線的頂點時，可得，即所以，所以，所以所以雙曲線的漸近線與軸的夾角的取值范圍是故選：B5、C【解題分析】根據向量共線可得滿足的關系，從而可求它們的值，據此可得正確的選項.【題目詳解】因為，故存在常數(shù)，使得，所以，故，所以，故選：C.6、A【解題分析】將三棱錐補形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心應在棱柱上下底面三角形的外心連線上，在中，計算半徑即可.【題目詳解】由，，可知平面將三棱錐補形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心應在棱柱上下底面三角形的外心連線上，記的外心為，由為等邊三角形，可得又，故在中，此即為外接球半徑，從而外接球表面積為故選：A【題目點撥】本題考查了三棱錐外接球的表面積，考查了學生空間想象，邏輯推理，綜合分析，數(shù)學運算的能力，屬中檔題.7、C【解題分析】利用偶函數(shù)的定義和全稱命題的否定分析判斷解答.【題目詳解】∵定義域為R的函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)，∴?x∈R，f(－x)＝f(x)為假命題，∴?x0∈R，f(－x0)≠f(x0)為真命題.故選C【題目點撥】本題主要考查偶函數(shù)的定義和全稱命題的否定，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.8、D【解題分析】其中，再兩邊同時平方，由此確定圖形【題目詳解】根據題意，，再兩邊同時平方，由此確定圖形為半圓.故選：D【題目點撥】幾何圖像中要注意與方程式是一一對應，故方程的中未知數(shù)的的取值范圍對應到圖形中的坐標的取值范圍9、C【解題分析】點關于軸的對稱點為，由反射光線的性質，可設反射光線所在直線的方程為：，再利用直線與圓相切，可知圓心到直線的距離等于半徑，由此即可求出結果【題目詳解】點關于軸的對稱點為，設反射光線所在直線的方程為：，化為因為反射光線與圓相切，所以圓心到直線的距離，可得，所以或故選：C10、D【解題分析】對待比較的代數(shù)式進行作差，利用不等式基本性質，即可判斷大小.【題目詳解】因為，又，，故，則，即；因為，又，，故，則；綜上所述：.故選：D.11、A【解題分析】設直線的方程為，代入點的坐標即得解.【題目詳解】解：設直線的方程為，把點坐標代入直線方程得.所以所求的直線方程為.故選：A12、C【解題分析】根據新定義只需求銳角三角形外接圓的方程即可得解.【題目詳解】，，，為銳角三角形，的外接圓就是它的最小覆蓋圓，設外接圓方程為，則解得的最小覆蓋圓方程為，即，的最小覆蓋圓的半徑為.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①③④【解題分析】①直接利用基本不等式判斷即可；②直接利用基本不等式以及等號成立的條件判斷即可；③分子、分母同除，利用基本不等式即可判斷；④設，，利用指、對互化以及基本不等式即可判斷.【題目詳解】由于，，故恒成立，當且僅當時取等號，所以①正確；，當且僅當，即時取等號，由于，所以②不正確；因為，所以，當且僅當時取等號，而，即函數(shù)的最大值為，所以③正確；設，，則，，，，，所以，當且僅當，時取等號，故的最小值為，所以④正確.故答案為：①③④【題目點撥】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.14、【解題分析】先設等差數(shù)列的公差為，根據題中條件，求出首項和公差，得出前項和，再由裂項相消的方法，即可求出結果.【題目詳解】設等差數(shù)列的公差為，因為，，所以，解得，因此，所以，所以數(shù)列的前2022項的和為.故答案：.15、2或10【解題分析】求出在處的導數(shù)，得出切線方程，與聯(lián)立，利用可求.【題目詳解】令，，則，，可得曲線在點處的切線方程為.聯(lián)立，得，，解得或.故答案為：2或10.16、6【解題分析】由橢圓方程得到F，O的坐標，設P(x，y)(－2≤x≤2)，利用數(shù)量積的坐標運算將·轉化為二次函數(shù)最值求解.【題目詳解】由橢圓＋＝1，可得F(－1，0)，點O(0，0)，設P(x，y)(－2≤x≤2)，則·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，當x＝2時，·取得最大值6.故答案為：6【題目點撥】本題主要考查平面向量的數(shù)量積及應用以及橢圓的幾何性質和二次函數(shù)求最值，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解題分析】若真命題，利用分離參數(shù)法結合指數(shù)函數(shù)性質，可得；若為真命題，利用分離參數(shù)法并結合基本不等式可得，再根據為真命題，為假命題，可知，一真命題一假命題；再分“為真命題，為假命題”和“為假命題，為真命題”兩種情況，求解范圍，即可得到結果.【題目詳解】解：若為真命題，則有解，所以，即；若為真命題，則對一切恒成立,令則,當且僅當，即時，取得最小值；所以，即；又為真命題，為假命題，所以，一真命題一假命題；當為真命題，為假命題時，，所以；當為假命題，為真命題時，，所以；綜上所述，.18、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解題分析】（1）根據給定條件，利用線面平行的判定推理作答.（2）利用正四棱錐的結構特征，結合線面垂直的判定推理作答.小問1詳解】在正四棱錐中，由正方形得：，而平面，平面，所以平面.【小問2詳解】在正四棱錐中，O為底面對角線的交點，則O是AC，BD的中點，而，，則，，因，平面，所以平面.19、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）先證，，再證平面即可；（2）建立空間直角坐標系，先求出面與面的法向量，再計算夾角余弦值即可.小問1詳解】取中點，連接，則四邊形為平行四邊形，，為直角三角形，且.又平面，平面，.又，平面.【小問2詳解】，為等邊三角形，取中點，連接，則，以為坐標原點，分別以為軸建立空間坐標系，如圖令，則，設面的法向量為，則由得取，則設面的法向量為，則由得取，則設面與面的夾角為，則所以面與面的夾角的余弦值為.20、（1）（2）【解題分析】（1）由拋物線的定義可得結論；（2）設，得PA的兩點式方程為，由在拋物線上，化簡直線方程為，然后由圓心到切線的距離等于半徑得出的關系式，并利用得出點滿足的等式，同理設得方程，最后由直線方程的定義可得直線方程【小問1詳解】由題意得動點M到點的距離等于到直線的距離，所以曲線C是以為焦點，為準線的拋物線.設，則，于是C的方程為.【小問2詳解】由（1）可知，設，PA的兩點式方程為.由，，可得.因為PA與D相切，所以，整理得.因為，可得.設，同理可得于是直線AB的方程為.21、（1）（2）證明見解析．（3）【解題分析】（1）由已知關系得出是等差數(shù)列及公差，然后可得通項公式；（2）由已知關系式，利用累加法證明對任意的，恒成立，即可得（3）由累加法求得通項公式，然后確定的奇數(shù)項和偶數(shù)項的單調性，得出數(shù)列的最大項和最小項，再利用已知范圍解得的范圍【小問1詳解】由已知，是等差數(shù)列，公差為6，所以；【小問2詳解】對任意的，恒成立，而恒成立，若，則，恒成立，同理若，也有恒成立，所以對任意的，恒成立，即是最小項；【小問3詳解】時