初中數(shù)學滬科版九年級上冊第22章相似形2比例線段 名師獲獎

中物理滬科版數(shù)學九年級上冊第22章相似形22.1.4平行線分線段成比例

下圖是一架梯子的示意圖.由生活常識可知：AA1，BB1，CC1，DD1互相平行，且若AB=CD，則A1B1=C1D1，由此可猜測：若兩條直線被一組平行線所截，如果在其中一條直線上截得的線段相等，那么在另一條直線上截得的線段也相等，這個猜測是真的嗎?ABCDA1B1C1D1觀察平行線等分線段定理

已知，直線l1、l2、l3

互相平行，直線AC和直線A1C1分別交直線l1、l2、l3

于點A、B、C和點A1、B1、C1，且AB=BC.求證：A1B1=B1C1.課前熱身l1l2l3ABCA1B1C1EF證明：過點B1作EF∥AC，分別交直線l1、l3于點E、F.∴四邊形ABB1E和四邊形BCFB1都是平行四邊形∴

AB=EB1，∵AB=BC∴

EB1=B1F∵

l1∥l3∴∠A1EB1=∠C1FB1BC=B1F在△A1B1E和△C1B1F中∵∠A1B1E=∠C1FB1EB1=FB1∠A1EB1=∠B1FC1∴△A1B1E≌△C1B1F∴A1B1=B1C1(ASA)由此得到如下結(jié)論：

那么在其他直線上

如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，平行線等分線段定理l1l2l3ABCA1B1C1截得的線段也相等.幾何語言:∵

l1∥l2∥l3,∴

A1B1=B1C1且AB=BC注意：平行線等分線段定理的條件相鄰的兩條平行線間的距離相等一組平行線中相鄰兩條平行線間距離不相等，結(jié)論又如何呢？

如圖，有一組平行線：l1∥l2∥l3

···lk∥

···

ln-1∥ln，另外，直線A1An與直線B1Bn被這一組平行直線分別截于點A1，A2，A3，···，Ak，···，An-1，An

和點B1，B2，B3，···，Bk，···，Bn-1，Bn.根據(jù)已學定理，可以得到：如果A1A2=A2A3=···=An-1An，那么B1B2=B2B3=···=Bn-1Bn.

A1A2A3AkAn-1AnB1B2B3BkBn-1Bnl1l2l3lklnln-1思考：A1AkAkAn與相等嗎？B1BkBkBn這時，如設A1A2=A2A3=···=An-1An=a，B1B2=B2B3=···=Bn-1Bn=b，容易推得：A1AkAkAn=(k-1)a(n-k)b=k-1n-kB1BkBkBn=(k-1)a(n-k)b=k-1n-k∴A1AkAkAnB1BkBkBn=,A1AkA1AnB1BkB1BnAkAnA1AnBkBnB1Bn,,A1AkA1AnB1BkB1Bn=AkAnA1AnBkBnB1Bn=

是指同一條直線上的兩條線段的比，3、對應線段的比相等兩條直線被平行線分線段成比例定理注意：1、一組平行線的數(shù)量為3條以上；4、常見的線段對應關(guān)系有：2、對應線段是指A1AkAnB1BkBnl1lkln探究新知A1AkAkAnB1BkBkBn=A1AkA1AnB1BkB1BnAkAnA1AnBkBnB1Bn,,==可簡記為：上下=上全下全,,==上下上全下全所得的對應線段一組平行線所截，成比例.被平行線所截的線段；等于另一條直線上與它們對應的兩條線段的比；平行線分線段成比例定理歸納總結(jié)ABCDEFl1l2l3幾何語言:∵

l1∥l2∥l3

∴ABBCDEEF=ABACDEDFBCACEFDF,,==可簡記為：上下=上全下全,,==上下上全下全兩條直線被所得的對應線段一組平行線所截，成比例.思考：平行線分線段成比例與平行線等分線段的聯(lián)系：ABCDEFABCDEF結(jié)論：后者是前者的一種特殊情況！ABBC當=1ABBC當≠1運用平行線分線段成比例定理的三種基本圖形：ABCDEFABCDEFABCDEF(1)兩條截線無交點(2)兩條截線的交點在三條平行線的外面(3)兩條截線的交點在三條平行線的內(nèi)部CB

如圖，直線DE平行于△ABC的一邊BC，并分別交另兩邊AB，AC與點D，E.則動腦筋AEDMNADDB=AEEC,ADAB=AEAC和BDAB=ECAC成立嗎？為什么？過點A作直線MN∥DE∵DE∥BC又∵

AB，AC被一組平行線MN，DE，BC所截∴MN∥DE∥BC解：ADDB=AEEC,ADAB=AEAC和DBAB=ECAC∴(平行線分線段成比例定理

)由此得到以下結(jié)論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，所得的對應線段成比例.

如圖，直線DE平行于△ABC的一邊BC，并分別交另兩邊AB，AC的延長線于點D，E.對應線段還成比例嗎？

由此可以得到以下結(jié)論：CBADEMNCBANMED(1)DE在三角形的順向延長線上；(2)DE在三角形的反向延長線上；平行于三角形一邊的直線截其他兩邊的延長線，所得的對應線段成比例.思考：ABBD=ACCE,ABAD=ACAE和BDAD=CEAEADAB=AEAC,ADBD=AEEC和ABBD=ACEC歸納總結(jié)平行于三角形一邊的直線平行線分線段成比例定理的推論CBADECBAED截其他兩邊(或兩邊延長線)，所得的對應線段成比例.

①截線在三角形的內(nèi)部；

②截線在三角形的順向延長線上；

③

截線在三角形的反向延長線上.CBAED①平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，所得的對應線段成比例.②平行于三角形一邊的直線截其他兩邊的延長線，所得的對應線段成比例.幾何語言:①∵

DE∥BCADDB=AEEC,ADAB=AEAC和DBAB=ECAC∴②∵

DE∥BC∴ABBD=ACCE,ABAD=ACAE和BDAD=CEAE③∵

DE∥BC∴ADAB=AEAC,ADBD=AEEC和ABBD=ACEC注意：平行線等分線段定理推論的條件(1)

截線與三角形的兩邊(或兩邊的延長線)相交；(2)

截線平行于三角形的第三邊；A字形圖X字形圖1、填空ABECD(1)∵AB∥DE∴CDAD＝（）（）ACCD＝（）（）BEBC＝（）（）ABCFDGE(2)∵AD∥EF∥BC＝（）（）∴AGGC＝（）（）ABCDFE(3)已知平行四邊形ABCD則ABAE＝（）（）CFFB＝（）（）CEBEBCCEADACAEBEDFFCDFDEDFEF鞏固練習2、如圖，已知AB∥CD∥EF，AF交BE于點H，下列結(jié)論中錯誤的是(

)C鞏固練習二是線段之間的關(guān)系，A.B.C.D.在題目中如遇到與直線平行相關(guān)的問題時，可從兩個方面獲取信息：一是位置角之間的關(guān)系(同旁內(nèi)角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補)；即平行線分線段成比例.鞏固練習3、如圖，直線

l1∥l2∥l3，直線AC分別交這三條直線于點A，B，C，直線DF分別交這三條直線于點D，E，F(xiàn)，若AB=3，DE=，EF=4，求BC的長.72ABCDEl1l2l3F3724？規(guī)律總結(jié)：

寫出一個含有它們的比例式，∵直線

l1∥l2∥l3解：ABBC=DEEF∴又∵AB=3，DE=，EF=4722BC=4∴72解得BC=247利用平行線分線段成比例的定理及推論求線段長時，先確定圖中的平行線，由此聯(lián)想到平行線截得的線段間的比例關(guān)系，結(jié)合待求線段和已知線段構(gòu)造方程，解方程求出待求線段長.鞏固練習4、如圖，已知直線a∥b∥c，直線m，n與直線a，b，c分別交于點A，C，E，B，D，F(xiàn)，AC=4，CE=6，BD=3，求BF的長.ABCab4DEFcmn63∵a∥b∥c解：ACCE=BDDF∴又∵AC=4，CE=6，BD=3∴46=3DF解得DF=92∴BF=BD+DF=3+92=1525、如圖，已知直線AB∥CD，AD與BC相交于點O.若=,AD=10，則AO=

.BOOC23鞏固練習46、如圖，在△ABC中，DE∥BC，如果AE：EC=7：3，則DB：AB=

.BCDEA鞏固練習3：108、已知：EG∥BC，GF∥CD求證：DFABCEG鞏固練習AEAB=AFAD∵EG∥BC解：∴AEAB=AGAC∵GF∥CD∴AGAC=AFAD∴AEAB=AFAD從而通過等量代換注意：若不能直接證明兩組比相等，則可以證明這兩組比分別與另一組比相等，證明這兩組比相等.9、已知在△ABC中，DE∥BC，EF∥DC，那么下列結(jié)論不成立的是()ADAFABADADABACAEAFDFADDBAFADAEACA.B.D.C.鞏固練習B

先根據(jù)已知的平行線寫出比例式，鞏固練習11、【中考·臨沂】如圖，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB．若AB=8，BD=3，BF=4，求FC的長.

規(guī)律總結(jié)：利用中間比進行等量代換，利用平行線分線段成比例的定理及推論求線段長時，建立起已知線段和未知線段的橋梁.∵DE∥BC解：∴ADBD=AEEC∵EF∥AB∴AEEC=BFFC∴ADBD=BFFC∵AB=8，BD=3，BF=4∴53=4FC解得FC=125∴AD=AB-BD=510、如圖，E為ABCD的邊CD的延長線上的一點，連接BE，交AC于點O，交AD于點F.求證：BO2=OF·OE.鞏固練習∵四邊形ABCD是平行四邊形解：∴AD∥

BC，AB∥

CD∴，OFBO=OAOCOAOCBOOE=∴OFBO=BOOE∴BO2=OF·OE

鞏固練習12、如圖，在△ABC中，點D、E、F分別是邊AB、AC、BC上的點，DE∥BC、EF∥AB，若AD：DB=3：5，則CF：CB等于（）A．2：5B．3：8

C．3：5

D．5：8D鞏固練習13、如圖，AD是△ABC的高，E為AB的中點，EF⊥BC.如果DC=BD，那么FC：BF等于().A.B.1

C.

D.

13234353A鞏固練習7、如圖，AD是△ABC的中線，AE=EF=FC，BE交AD于點G，求的值.AGAD14、如圖，F(xiàn)D∥BC，F(xiàn)B∥AC，=，求的值.EFBC35ADFB鞏固練習鞏固練習15、如圖，已知線段AB，在線段AB上求作點C，使得AC：BC=3：1.(保留作圖痕跡)AB1、作射線AD2、在射線AD上順次截取AE=EF=FH=HG3、連接BG4、過點H作BG的平行線交AB于C則點C即為所求．解：本節(jié)課你有什么收獲？平行線分線段成比例定理歸納總結(jié)兩條直線被所得的對應線段一組平行線所截，成