第三章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)

第三章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)第一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四第一節(jié)概述

常見的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)問題可歸納如下：1．對(duì)一給定的機(jī)器人，已知桿件幾何參數(shù)和關(guān)節(jié)角矢量求機(jī)器人末端執(zhí)行器相對(duì)于參考坐標(biāo)系的位置和姿態(tài)。2．已知機(jī)器人桿件的幾何參數(shù)，給定機(jī)器人末端執(zhí)行器相對(duì)于參考坐標(biāo)系的期望位置和姿態(tài)(位姿)，機(jī)器人能否使其末端執(zhí)行器達(dá)到這個(gè)預(yù)期的位置？如能達(dá)到，那么機(jī)器人有幾種不同形態(tài)可滿足同樣的條件?

2第二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四

第一個(gè)問題常稱為運(yùn)動(dòng)學(xué)正問題(直接問題);第二個(gè)問題常稱為運(yùn)動(dòng)學(xué)逆問題(解臂形問題)。這兩個(gè)問題是機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)中的基本問題。3第三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四第二節(jié)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本問題

一、運(yùn)動(dòng)學(xué)基本問題

圖3－1所示為2自由度機(jī)器人手部的連桿機(jī)構(gòu)。

4第四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四圖中的連桿機(jī)構(gòu)是兩桿件通過轉(zhuǎn)動(dòng)副聯(lián)接的關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)，通過確定連桿長(zhǎng)度，以及關(guān)節(jié)角，，可以定義該連桿機(jī)構(gòu)。在分析機(jī)器人的末端手爪的運(yùn)動(dòng)時(shí)，若把作業(yè)看作主要依靠機(jī)器人手爪來實(shí)現(xiàn)的，則應(yīng)考慮手爪的位置（圖中點(diǎn)的位置）。一般場(chǎng)合中，手爪姿勢(shì)也表示手指位置。從幾何學(xué)的觀點(diǎn)來處理這個(gè)手指位置與關(guān)節(jié)變量的關(guān)系稱為運(yùn)動(dòng)學(xué)（Kinematics）。

5第五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四我們引入向量分別表示手爪位置ｒ和關(guān)節(jié)變量θ，

因此，利用上述兩個(gè)向量來描述一下這個(gè)2自由度機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題。手爪位置的各分量，按幾何學(xué)可表示為：(3-1)(3-2)6第六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四用向量表示這個(gè)關(guān)系式，其一般可表示為

式中表示向量函數(shù)。已知機(jī)器人的關(guān)節(jié)變量，求其手爪位置的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題稱為正運(yùn)動(dòng)學(xué)（directkinematics）。該公式被稱為運(yùn)動(dòng)方程式。如果，給定機(jī)器人的手爪位置，求為了到達(dá)這個(gè)預(yù)定的位置，機(jī)器人的關(guān)節(jié)變量的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題稱為逆運(yùn)動(dòng)學(xué)（inversekinematics）。其運(yùn)動(dòng)方程式可以通過以下分析得到。

(3-3)7第七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四如圖所示，根據(jù)圖中描述的幾何學(xué)關(guān)系，可得

式中(3-4)(3-5)(3-6)8第八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四同樣，如果用向量表示上述關(guān)系式，其一般可表示為

如圖所示，機(jī)器人到達(dá)給定的手爪位置

有兩個(gè)姿態(tài)滿足要求，即圖中的也是其解。這時(shí)和變成為另外的值。即逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的解不是惟一的，可以有多個(gè)解。

(3-7)9第九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四二、機(jī)器人位置與關(guān)節(jié)變量的關(guān)系

1．表示方法

機(jī)器人是由一系列關(guān)節(jié)連接起來的連桿所組成---開式鏈結(jié)構(gòu)。為了求機(jī)器人手部在空間的運(yùn)動(dòng)規(guī)律-----一種合適的數(shù)學(xué)方法來描述。通常把坐標(biāo)系固定于每一個(gè)連桿的關(guān)節(jié)上，如果知道了這些坐標(biāo)系之間的相互位置與姿態(tài)，手部在空間的位置與姿態(tài)也就能夠確定了。第十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四二、機(jī)器人位置與關(guān)節(jié)變量的關(guān)系

1．表示方法以手爪位置與關(guān)節(jié)變量之間的關(guān)系為例，要想正確表示機(jī)器人的手爪位置和姿態(tài)，就要首先建立坐標(biāo)系，如圖3－3所示，應(yīng)分別定義固定機(jī)器人的基座和手爪的坐標(biāo)系，這樣才能很好地描述它們之間的位置和姿態(tài)之間的關(guān)系。11第十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四圖3－3基準(zhǔn)坐標(biāo)系和手爪坐標(biāo)系

基準(zhǔn)坐標(biāo)系,固定在基座上手爪坐標(biāo)系，固定在手爪上12Ｒ旋轉(zhuǎn)變換矩陣P－OB指向ＯE的位置矢量第十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四2．姿態(tài)的變換矩陣

如圖3－4所示，給出原點(diǎn)重合的兩坐標(biāo)系

則假設(shè)點(diǎn)的位置向量的分量在兩坐標(biāo)系中分別表示為13第十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四則從向的變換為：其中：它是從坐標(biāo)向坐標(biāo)進(jìn)行位置向量姿態(tài)變換的矩陣，稱為姿態(tài)變換矩陣（或旋轉(zhuǎn)矩陣）。

14第十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四分析如圖3－5所示坐標(biāo)系，它是將圍繞軸沿正方向旋轉(zhuǎn)角后構(gòu)成的坐標(biāo)系。

圖3－5兩個(gè)坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換因此，在坐標(biāo)系上表示的坐標(biāo)與在將坐標(biāo)系繞軸沿正方向旋轉(zhuǎn)角得到的坐標(biāo)系上表示的坐標(biāo)之間，存在下列關(guān)系式：15第十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四由上面知從坐標(biāo)系向坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換矩陣為：16第十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四因?yàn)樯鲜鲎儞Q是把某一坐標(biāo)系上表示的坐標(biāo)，表示到另一坐標(biāo)系中，因此有時(shí)也稱它為坐標(biāo)變換。在該例子中是從坐標(biāo)系向坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換，由于坐標(biāo)系是圍繞軸旋轉(zhuǎn)角后構(gòu)成的坐標(biāo)系，則該坐標(biāo)變換矩陣也可用來表示17第十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四同理，上述例子中，當(dāng)考慮圍繞著軸旋轉(zhuǎn)時(shí)（設(shè)其旋轉(zhuǎn)量為），可得到如下關(guān)系式：

另外，當(dāng)圍繞著軸旋轉(zhuǎn)時(shí)（設(shè)其旋轉(zhuǎn)量為），可表示為如下關(guān)系式：18第十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四可以驗(yàn)證

該矩陣為單位矩陣式中*表示、、中的任何一個(gè)。所以有下列等式成立在分析機(jī)器人運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)只用圍繞一個(gè)軸旋轉(zhuǎn)不能表示時(shí)，可以通過圍繞幾個(gè)軸同時(shí)旋轉(zhuǎn)的組合方式進(jìn)行表示。

均滿足

19第十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四3．齊次變換前面討論了機(jī)器人在進(jìn)行旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的坐標(biāo)變換，一般來說，機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)不僅是旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，有時(shí)要做平行移動(dòng)，或以上兩種運(yùn)動(dòng)的合成，因此也應(yīng)考慮平移運(yùn)動(dòng)時(shí)的坐標(biāo)變換，即齊次變換。20第二十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四現(xiàn)在來看下圖的兩個(gè)坐標(biāo)系，坐標(biāo)系是將坐標(biāo)系單獨(dú)地平行移動(dòng)后，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)匦D(zhuǎn)得到的坐標(biāo)系。21第二十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四這時(shí)，某一點(diǎn)其在坐標(biāo)系和上的坐標(biāo)分別為、，可以認(rèn)為，是由旋轉(zhuǎn)而進(jìn)行坐標(biāo)變換后，即乘以旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換，在加上表示平移的向量而得到的，因此可寫出下列表達(dá)式：22第二十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四因旋轉(zhuǎn)而進(jìn)行的坐標(biāo)變換，與因平移而進(jìn)行的坐標(biāo)變換，可以用一個(gè)坐標(biāo)變換矩陣來表示，記為，稱這個(gè)矩陣為齊次坐標(biāo)變換矩陣，或簡(jiǎn)稱為坐標(biāo)變換矩陣，表示為：23第二十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四三、機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)的一般表示

前面所介紹的是任意兩個(gè)坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)變換，我們知道，機(jī)器人一般是有多個(gè)關(guān)節(jié)組成的，各關(guān)節(jié)之間的坐標(biāo)變換可以通過坐標(biāo)變換相乘后，結(jié)合在一起進(jìn)行求解。如前所述，可以把機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)模型看作是一系列由關(guān)節(jié)連接起來的連桿機(jī)構(gòu)。一般機(jī)器人具有個(gè)自由度，為了分析其運(yùn)動(dòng)，可將上述方法擴(kuò)展一下。

24第二十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四通常把描述一個(gè)連桿與下一個(gè)連桿間相對(duì)關(guān)系的齊次變換稱為矩陣。一個(gè)矩陣就是一個(gè)描述連桿坐標(biāo)系間相對(duì)平移和旋轉(zhuǎn)的齊次變換。如果用表示第一個(gè)連桿在基系的位置和姿態(tài)，表示第二個(gè)連桿相對(duì)第一個(gè)連桿的位置和姿態(tài)，那么第二個(gè)連桿在基系的位置和姿態(tài)可由下列矩陣的乘積求得25第二十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四同理，若表示第三個(gè)連桿相對(duì)第二個(gè)連桿的位置和姿態(tài)，那么第三個(gè)連桿在基系的位置和姿態(tài)可由下列矩陣的乘積求得26第二十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四于是，對(duì)于六連桿的機(jī)器人，有下列矩陣成立一般，每個(gè)連桿有一個(gè)自由度，則六連桿組成的機(jī)器人具有六個(gè)自由度，并能在其運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)任意定位與定向。其中，三個(gè)自由度用于規(guī)定位置，另外三個(gè)自由度用來規(guī)定姿態(tài)。所以，表示了機(jī)器人的位置和姿態(tài)。27第二十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四對(duì)于具有個(gè)關(guān)節(jié)的機(jī)器人，若設(shè)坐標(biāo)系為固定在指尖上的坐標(biāo)系時(shí)，則從坐標(biāo)系到基準(zhǔn)坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換矩陣可由下式給出：不僅是從坐標(biāo)系到坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換，而且同時(shí)還可以解釋為在基準(zhǔn)坐標(biāo)系上看到的表示指尖位置和方向的矩陣。

28第二十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四四、機(jī)器人運(yùn)動(dòng)問題的示例

1．機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)問題機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)問題就是求機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)的正解（forwardkinematics），即在給定組成運(yùn)動(dòng)副的相鄰連桿的相對(duì)位置情況下，確定機(jī)器人末端執(zhí)行器的位置和姿態(tài)。通過上述分析可知，運(yùn)動(dòng)學(xué)正解可用一個(gè)反映此相對(duì)關(guān)系的變換矩陣來表示，這里一般是指開式鏈的機(jī)器人結(jié)構(gòu)。

29第二十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四以一個(gè)6自由度的機(jī)器人為例，如圖所示，在該機(jī)器人中，除第3個(gè)關(guān)節(jié)為平移關(guān)節(jié)外，其余均為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)。30第三十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四對(duì)于這個(gè)機(jī)器人，根據(jù)圖中表示的坐標(biāo)系為基準(zhǔn)坐標(biāo)系，正運(yùn)動(dòng)學(xué)問題就是求該機(jī)器人末端手指關(guān)節(jié)6的位置和姿態(tài)，也就是在基準(zhǔn)坐標(biāo)系上看關(guān)節(jié)6，因此找出由到的坐標(biāo)變換矩陣即可。也就是表示這個(gè)機(jī)器人的末端指尖的位置和方向，可以由下式給出：31第三十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四其中32第三十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四33第三十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四34第三十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四上式即為該6自由度機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解。對(duì)于不同類型的機(jī)器人，其坐標(biāo)變換矩陣的形式不同，要根據(jù)實(shí)際結(jié)構(gòu)求得。

35第三十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四2．機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)

機(jī)器人的逆解問題比較復(fù)雜，為了說明問題，下面先以2自由度的機(jī)器人為例。如圖所示，已知機(jī)器人末端的坐標(biāo)值（x,y），試?yán)帽硎?6第三十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四根據(jù)圖中的幾何關(guān)系可知：

（3－38）

（3－39）

37第三十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四聯(lián)立求解上述兩方程，可分別求出的表達(dá)式。因此可進(jìn)一步得到：

將該式代入前面的幾何表達(dá)式就可求出的表達(dá)式。

38第三十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四從機(jī)器人的手爪末端位置姿態(tài)出發(fā)，可以求出機(jī)器人對(duì)應(yīng)的各關(guān)節(jié)的角度。該例的機(jī)器人是屬于平面多關(guān)節(jié)機(jī)器人，對(duì)于一般的機(jī)械手來講，其求解過程比較復(fù)雜，往往其解不是唯一的.39第三十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四第三節(jié)機(jī)器人的雅可比矩陣一、雅可比矩陣的定義

前面討論了機(jī)器人的指尖位置和方向與各關(guān)節(jié)的變化位置之間的關(guān)系。在本節(jié)將進(jìn)一步討論指尖的速度與各關(guān)節(jié)的速度（轉(zhuǎn)動(dòng)或平移）之間的關(guān)系?？紤]機(jī)械手的手爪位置和關(guān)節(jié)變量的關(guān)系用正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程表示如下：40第四十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四假定這里考慮的是

的一般情況，并設(shè)手爪位置包含表示姿態(tài)的變量，以及關(guān)節(jié)變量由回轉(zhuǎn)角和平移組合而成的情況。（3－55）41第四十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四若用每個(gè)分量表示，則變?yōu)樵诘那闆r下，將變?yōu)槭肿ξ恢玫年P(guān)節(jié)變量有無限個(gè)解的冗余機(jī)器人。而工業(yè)上常用的多關(guān)節(jié)機(jī)器人手臂，通常用于作業(yè)的所需手爪應(yīng)有3個(gè)位置變量和3個(gè)姿態(tài)變量，總計(jì)6個(gè)變量。而且由于不采用冗余機(jī)器人結(jié)構(gòu)，所以。42第四十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四將式（3－55）的兩邊對(duì)時(shí)間微分，可得到下式（3－57）其中

（3－58）43第四十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四稱為雅可比矩陣（Jacobianmatrix）。若在式（3－57）的兩邊乘以微小時(shí)間，則可得到

（3－59）該式是用雅可比矩陣表示微小位移間關(guān)系的關(guān)系式。

44第四十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四二、與平移速度相關(guān)的雅可比矩陣

現(xiàn)在設(shè)基準(zhǔn)坐標(biāo)系為，固定于指尖的坐標(biāo)系為，在上表示的坐標(biāo)為，則可以表示如下：（3－60）

45第四十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四這時(shí)，指尖的平移速度可以寫成：（3－61）

式中，，其中是關(guān)節(jié)的數(shù)目。這里的稱為與平移速度相關(guān)的雅可比矩陣。

46第四十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四下面以2自由度機(jī)械手為例，如前面圖3－2所示的2自由度機(jī)械手的雅可比矩陣。前面已推導(dǎo)過，該機(jī)器人的指尖位置可以表示為47第四十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四則與這個(gè)機(jī)器人的平移速度相關(guān)的雅可比矩陣，可以下列形式給出：

（3－63）

48第四十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四現(xiàn)在，我們來討論一下的各列向量的幾何學(xué)意義，即在時(shí)，考慮，的幾何學(xué)意義。根據(jù)式（3－63），是在時(shí)，也就是第2關(guān)節(jié)固定時(shí)，僅在第1關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)的情況下，指尖平移速度在基準(zhǔn)坐標(biāo)系上表示出的向量。同樣，是第1關(guān)節(jié)固定時(shí)，僅在第2關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)的情況下，指尖平移速度在基準(zhǔn)坐標(biāo)系上表示出的向量。

49第四十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四因此，當(dāng)用圖表示和時(shí)，就變成了如圖所示的情況。

圖3－9和的幾何學(xué)說明50第五十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四齊次坐標(biāo)變換假設(shè)機(jī)器人手部拿一個(gè)鉆頭在工件上實(shí)施鉆孔作業(yè)，已知鉆頭中心P點(diǎn)相對(duì)于手腕中心的位置，求P點(diǎn)相對(duì)于基座的位置。分別在基座和手部設(shè)置為固定坐標(biāo)系和動(dòng)坐標(biāo)系，如圖所示。坐標(biāo)為（xb，yb，zb）坐標(biāo)為（x，y，z）P點(diǎn)相對(duì)于固定坐標(biāo)系相對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)系第五十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四三矢量之間的關(guān)系為其中第五十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四代入、寫成矩陣形式：再根據(jù)與的關(guān)系可得：第五十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四進(jìn)一步整理寫成矢量形式為該式稱為坐標(biāo)變換方程。其中，被稱作位置矩陣，表示動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)到固定坐標(biāo)系原點(diǎn)之間的距離。第五十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四可以進(jìn)一步表示為叫做齊次坐標(biāo)變換矩陣（HomogeneousCoordinateTransformationMatrix），包含了兩級(jí)坐標(biāo)變換之間的位置平移和角度旋轉(zhuǎn)的兩方面信息。上式稱為齊次坐標(biāo)變換方程式中第五十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四3.3.2舉例則動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)定坐標(biāo)系平移1.平移坐標(biāo)變換（Translation）所以第五十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四繞x軸旋轉(zhuǎn)按右手規(guī)則確定旋轉(zhuǎn)方向，即2.旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換（Rotation）第五十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四3.綜合坐標(biāo)變換設(shè)活動(dòng)坐標(biāo)系與固定坐標(biāo)系初始位置重合，經(jīng)下列坐標(biāo)變換：①繞z軸旋轉(zhuǎn)900；②然后繞y軸旋轉(zhuǎn)900；③相對(duì)于固定坐標(biāo)系平移位置矢量。試求合成齊次坐標(biāo)變換矩陣T。解活動(dòng)坐標(biāo)系繞固定坐標(biāo)系z(mì)軸旋轉(zhuǎn)900，其齊次變換為第五十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四活動(dòng)坐標(biāo)系再繞固定坐標(biāo)系y軸旋轉(zhuǎn)900，其齊次變換為活動(dòng)坐標(biāo)系再平移，有第五十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四合成齊次變換矩陣為T中第一列的三個(gè)元素（0，1，0）T表示活動(dòng)坐標(biāo)系的u軸與固定坐標(biāo)系三個(gè)坐標(biāo)軸之間的投影，故u軸平行于y軸；T中第二列的三個(gè)元素（0，0，1）T表示活動(dòng)坐標(biāo)系的v軸與固定坐標(biāo)系三個(gè)坐標(biāo)軸之間的投影，故v軸平行于z軸；T中第三列的三個(gè)元素（1，0，0）T表示活動(dòng)坐標(biāo)系的w軸與固定坐標(biāo)系三個(gè)坐標(biāo)軸之間的投影，故軸w平行于x軸；T中第四列的三個(gè)元素（4，-3，7）T表示活動(dòng)坐標(biāo)系的原點(diǎn)與固定坐標(biāo)系原點(diǎn)之間的距離。物理意義：第六十