第三章流體運(yùn)動(dòng)理論與動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

第三章流體運(yùn)動(dòng)理論與動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)第一頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四1．教學(xué)目的和任務(wù)1）教學(xué)目的使學(xué)生掌握研究流體運(yùn)動(dòng)的方法，了解流體流動(dòng)的基本概念。通過(guò)分析得到理想流體運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律，為后續(xù)流動(dòng)阻力計(jì)算、管路計(jì)算打下牢固的基礎(chǔ)。第二頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四

2）基本內(nèi)容（1）正確使用流體流動(dòng)的連續(xù)性方程式；（2）弄清流體流動(dòng)的基本規(guī)律——伯努利方程，得出比較符合客觀實(shí)際的計(jì)算公式；掌握伯努利方程的物理意義、幾何意義、使用條件及其應(yīng)用（3）動(dòng)量方程的應(yīng)用2．重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：連續(xù)性方程、伯努利方程和動(dòng)量方程。難點(diǎn)：應(yīng)用三大方程聯(lián)立求解工程實(shí)際問(wèn)題。第三頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四一、流體運(yùn)動(dòng)要素

Conception：表征流體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量，一般包括等。研究流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，就是要確定這些運(yùn)動(dòng)要素。1）每一運(yùn)動(dòng)要素都隨空間與時(shí)間在變化；2）各要素之間存在著本質(zhì)聯(lián)系?！?.1流體運(yùn)動(dòng)的描述方法**流場(chǎng)——充滿運(yùn)動(dòng)的連續(xù)流體的空間。在流場(chǎng)中，每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)均有確定的運(yùn)動(dòng)要素。第四頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四拉格朗日，法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。1736年1月25日生于意大利西北部的都靈，1813年4月10日卒于巴黎。19歲就在都靈的皇家炮兵學(xué)校當(dāng)數(shù)學(xué)教授。在探討“等周問(wèn)題”的過(guò)程中，他用純分析的方法發(fā)展了歐拉所開(kāi)創(chuàng)的變分法，為變分法奠定了理論基礎(chǔ)。他的論著使他成為當(dāng)時(shí)歐洲公認(rèn)的第一流數(shù)學(xué)家。

1766年德國(guó)的腓特烈大帝向拉格朗日發(fā)出邀請(qǐng)說(shuō)，在“歐洲最大的王”的宮廷中應(yīng)有“歐洲最大的數(shù)學(xué)家”。于是他應(yīng)邀去柏林，居住達(dá)二十年之久。在此期間他完成了《分析力學(xué)》一書(shū)，建立起完整和諧的力學(xué)體系。

1786年，他接受法王路易十六的邀請(qǐng)，定居巴黎，直至去世。

近百余年來(lái)，數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多新成就都可以直接或間接地溯源于拉格朗日的工作。第五頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四歐拉(Euler)，瑞士數(shù)學(xué)家及自然科學(xué)家。1707年4月15日出生於瑞士的巴塞爾，1783年9月18日於俄國(guó)彼得堡去逝。歐拉出生於牧師家庭，自幼受父親的教育。13歲時(shí)入讀巴塞爾大學(xué)，15歲大學(xué)畢業(yè)，16歲獲碩士學(xué)位。

歐拉是18世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他不但為數(shù)學(xué)界作出貢獻(xiàn)，更把數(shù)學(xué)推至幾乎整個(gè)物理的領(lǐng)域。他是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，平均每年寫(xiě)出八百多頁(yè)的論文，還寫(xiě)了大量的力學(xué)、分析學(xué)、幾何學(xué)、變分法等的課本，《無(wú)窮小分析引論》、《微分學(xué)原理》、《積分學(xué)原理》等都成為數(shù)學(xué)中的經(jīng)典著作。

歐拉對(duì)數(shù)學(xué)的研究如此廣泛，因此在許多數(shù)學(xué)的分支中也可經(jīng)常見(jiàn)到以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定理。

第六頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四1).方法概要1、拉格朗日法2).研究對(duì)象

流體質(zhì)點(diǎn)著眼于流體各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，研究各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)歷程，通過(guò)綜合所有被研究流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況來(lái)獲得整個(gè)流體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。（“跟蹤”的方法）拉格朗日法是將流場(chǎng)中每一流體質(zhì)點(diǎn)作為研究對(duì)象，研究每一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的位置、速度、加速度及密度、重度、壓強(qiáng)等物理量隨時(shí)間的變化規(guī)律。然后將所有質(zhì)點(diǎn)的這些資料綜合起來(lái)，便得到了整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。即將整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)看作許多流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的總和。質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要素是初始點(diǎn)坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。用于研究流體的波動(dòng)和震蕩等

二、研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法第七頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四

拉格朗日方法又稱隨體法，是從分析流場(chǎng)中個(gè)別流體質(zhì)點(diǎn)著手來(lái)研究整個(gè)流體運(yùn)動(dòng)的。這種研究方法，最基本的參數(shù)是流體質(zhì)點(diǎn)的位移，在某一時(shí)刻，任一流體質(zhì)點(diǎn)的位置可表示為：X=x(a，b，c，t)y=y(a，b，c，t)z=z(a，b，c，t)(3-1)式中a、b、c為初始時(shí)刻任意流體質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，即不同的a、b、c代表不同的流體質(zhì)點(diǎn)。對(duì)于某個(gè)確定的流體質(zhì)點(diǎn)，a、b、c為常數(shù)，而t為變量，則得到流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。對(duì)于某個(gè)確定的時(shí)刻，t為常數(shù)，而a、b、c為變量，得到某一時(shí)刻不同流體質(zhì)點(diǎn)的位置分布。通常稱a、b、c為拉格朗日變量，它不是空間坐標(biāo)的函數(shù)，而是流體質(zhì)點(diǎn)標(biāo)號(hào)。第八頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四將式（3-1）對(duì)時(shí)間求一階和二階導(dǎo)數(shù)，可得任意流體質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度為：

(3-2)

(3-3)同樣，流體的密度、壓強(qiáng)和溫度也可寫(xiě)成a、b、c、的函數(shù)，即ρ=ρ（a，b，c，），P=P(a，b，c，)，t=t(a，b，c，)。第九頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四1).方法概要2、歐拉法著眼于流場(chǎng)中各空間點(diǎn)時(shí)的運(yùn)動(dòng)情況，通過(guò)綜合流場(chǎng)中所有被研究空間點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律，來(lái)獲得整個(gè)流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)特性。2).研究對(duì)象

流場(chǎng)流場(chǎng)：充滿運(yùn)動(dòng)流體的空間。（“站崗”的方法）歐拉法是以流場(chǎng)中每一空間位置作為研究對(duì)第十頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四3).運(yùn)動(dòng)描述流速場(chǎng)：壓強(qiáng)場(chǎng)：密度場(chǎng)：其他物理量（N）場(chǎng)：(3-4)第十一頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四4).加速度及其他物理量的時(shí)間變化率（1）加速度或(3-5)第十二頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四4).加速度及其他物理量的時(shí)間變化率（續(xù)）（1）加速度當(dāng)?shù)丶铀俣取１硎就ㄟ^(guò)固定空間點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)速度隨時(shí)間的變化率；遷移加速度。表示流體質(zhì)點(diǎn)所在空間位置的變化所引起的速度變化率。第十三頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四（2）其他物理量的時(shí)間變化率密度：第十四頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四三、兩種方法的比較在研究工程流體力學(xué)時(shí)主要采用歐拉法。

由上述可知，采用歐拉法描述流體的流動(dòng)，常常比采用拉格朗日法優(yōu)越，其原因有三。一是利用歐拉法得到的是場(chǎng)，便于采用場(chǎng)論這一數(shù)學(xué)工具來(lái)研究。二是采用歐拉法，加速度是一階導(dǎo)數(shù)，而拉格朗日法，加速度是二階導(dǎo)數(shù)，所得的運(yùn)動(dòng)微分方程分別是一階偏微分方程和二階偏微分方程，在數(shù)學(xué)上一階偏微分方程比二階偏微分方程求解容易。三是在工程實(shí)際中，并不關(guān)心每一質(zhì)點(diǎn)的來(lái)龍去脈?；谏鲜鋈c(diǎn)原因，歐拉法在流體力學(xué)研究中廣泛被采用。當(dāng)然拉格朗日法在研究爆炸現(xiàn)象以及計(jì)算流體力學(xué)的某些問(wèn)題中還是方便的。第十五頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四【例3-1】已知用拉格朗日變量表示得速度分布為u=(a+2)et-2，v=(b+2)et-2，且t=0時(shí)，x=a，y=b。求（1）t=3時(shí)質(zhì)點(diǎn)分布；（2）a=2，b=2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律；（3）質(zhì)點(diǎn)加速度?！窘狻扛鶕?jù)（3-2）式得將上式積分，得上式中c1、c2為積分常數(shù)，它仍是拉格朗日變量的函數(shù)。利用t=0時(shí)，x=a，y=b得c1=-2，c2=-2第十六頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四X=(a+2)et-2t-2y=(b+2)et-2t-2（1）將t=3代入上式得X=(a+2)e3-8y=(b+2)e3-8（2）a=2，b=2時(shí)x=4et-2t-2y=4et-2t-2(3)第十七頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四【例3-2】在任意時(shí)刻，流體質(zhì)點(diǎn)的位置是x=5t2，其跡線為雙曲線xy=25。質(zhì)點(diǎn)速度和加速度在x和y方向的分量為多少？【解】根據(jù)式（3-4）得由式（3-5）得第十八頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.2流場(chǎng)的基本概念按照流體性質(zhì)分：理想流體的流動(dòng)和粘性流體的流動(dòng)不可壓縮流體的流動(dòng)和不可壓縮流體的流動(dòng)按照流動(dòng)狀態(tài)分：恒定流動(dòng)和非恒定流動(dòng)有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)層流流動(dòng)和紊流流動(dòng)按照流動(dòng)空間的坐標(biāo)數(shù)目分：一維流動(dòng)、二維流動(dòng)和三維流動(dòng)第十九頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四一、恒定流動(dòng)和非恒定流動(dòng)1.恒定流動(dòng)流動(dòng)參量不隨時(shí)間變化的流動(dòng)。特點(diǎn)：流場(chǎng)內(nèi)的速度、壓強(qiáng)、密度等參量只是坐標(biāo)的函數(shù)，而與時(shí)間無(wú)關(guān)。即：第二十頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四2.非恒定流動(dòng)流動(dòng)參量隨時(shí)間變化的流動(dòng)。特點(diǎn)：流場(chǎng)內(nèi)的速度、壓強(qiáng)、密度等參量不僅是坐標(biāo)的函數(shù)，而且與時(shí)間有關(guān)。即：第二十一頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四二、一維流動(dòng)、二維流動(dòng)和三維流動(dòng)流動(dòng)參量是幾個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)，即為幾維流動(dòng)。一維流動(dòng)二維流動(dòng)三維流動(dòng)1.定義2.實(shí)際流體力學(xué)問(wèn)題均為三元流動(dòng)。工程中一般根據(jù)具體情況加以簡(jiǎn)化。

第二十二頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四一）、跡線流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。是拉格朗日方法研究的內(nèi)容。1.定義跡線：某一液體質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，不同時(shí)刻所流經(jīng)的空間點(diǎn)所連成的線稱為跡線，即液體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)所走過(guò)的軌跡線。三、流線和跡線——跡線微分方程，是自變量。(3-6)第二十三頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四二）、流線在同一瞬間，位于某條線上每一個(gè)流體微團(tuán)的速度矢量都與此線在該點(diǎn)的切線重合，則這條線稱為流線。適于歐拉方法。1.定義u21uu2133u6545u46u流線第二十四頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四2.流線微分方程u21uu2133u6545u46u流線(3-7)第二十五頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四3.流線的性質(zhì)（1）流線彼此不能相交。（2）流線是一條光滑的曲線，不可能出現(xiàn)折點(diǎn)。（3）恒定流動(dòng)時(shí)流線形狀不變，非恒定流動(dòng)時(shí)流線形狀發(fā)生變化。v1v2s1s2交點(diǎn)v1v2折點(diǎn)s第二十六頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四【例3-3】有一流場(chǎng)，其流速分布規(guī)律為：u=-ky，v=kx，w=0，試求其流線方程?！窘狻坑捎趙=0，所以是二維流動(dòng)，二維流動(dòng)的流線方程微分為將兩個(gè)分速度代入流線微分方程得到：xdx+ydy=0即積分上式得到x2+y2=c即流線簇是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的同心圓。第二十七頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四一）、流管流束1.流管流束流管：在流場(chǎng)內(nèi)任意作一封閉曲線（不是流線），通過(guò)封閉曲線上所有各點(diǎn)作流線，所形成的一個(gè)封閉的管狀曲面稱為流管。流束：流管內(nèi)部的流體稱為流束。封閉曲線無(wú)限小時(shí)所形成的流管四、流管流束流量第二十八頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四2.微元流管微元流管：封閉曲線無(wú)限小時(shí)所形成的流管微元流管的極限為流線第二十九頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四

任何一個(gè)實(shí)際水流都具有一定規(guī)模的邊界，這種有一定大小尺寸的實(shí)際水流稱為總流?？偭骺梢钥醋魇怯蔁o(wú)限多個(gè)微小流束所組成。

3、總流第三十頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四4、過(guò)水?dāng)嗝?/p>

與微小流束或總流的流線成正交的橫斷面稱為過(guò)水?dāng)嗝?。該面積dA或A稱為過(guò)水面積，單位m2。注意：過(guò)水?dāng)嗝婵蔀槠矫嬉部蔀榍?。第三十一?yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四5、流量

單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)某一過(guò)水?dāng)嗝娴囊后w體積稱為流量。流量常用的單位為米３／秒（m3/s），符號(hào)Ｑ表示。

——微小流束流量dQ總流流量6、斷面平均流速

總流過(guò)水?dāng)嗝嫔系钠骄魉佴?，是一個(gè)想象的流速，如果過(guò)水?dāng)嗝嫔细鼽c(diǎn)的流速都相等并等于ν，此時(shí)所通過(guò)的流量與實(shí)際上流速為不均勻分布時(shí)所通過(guò)的流量相等，則流速ν就稱為斷面平均流速。

第三十二頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四

由此可見(jiàn)，通過(guò)總流過(guò)水?dāng)嗝娴牧髁康扔跀嗝嫫骄魉倥c過(guò)水?dāng)嗝婷娣e的乘積，也即過(guò)水?dāng)嗝嫔细鼽c(diǎn)水流均以同一平均流速運(yùn)動(dòng)。引入斷面平均流速的概念，可以使水流運(yùn)動(dòng)的分析得到簡(jiǎn)化。第三十三頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四五、均勻流與非均勻流一）、

均勻流：當(dāng)水流的流線為相互平行的直線時(shí)，該水流稱為均勻流。

均勻流具有以下特性：

1．均勻流的過(guò)水?dāng)嗝鏋槠矫?，且過(guò)水?dāng)嗝娴男螤詈统叽缪爻滩蛔儭?．均勻流中，同一流線上不同點(diǎn)的流速應(yīng)相等，從而各過(guò)水?dāng)嗝嫔系牧魉俜植枷嗤?，斷面平均流速相等?．均勻流過(guò)水?dāng)嗝嫔系膭?dòng)水壓強(qiáng)分布規(guī)律與靜水壓強(qiáng)分布規(guī)律相同，即在同一過(guò)水?dāng)嗝嫔细鼽c(diǎn)測(cè)壓管水頭為一常數(shù)。第三十四頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四二）、非均勻流

若水流的流線不是相互平行的直線該水流稱為非均勻流按照流線不平行和彎曲的程度，分為漸變流、急變流兩種類型：

1．漸變流

當(dāng)水流的流線雖然不是相互平行直線，但幾乎近于平行直線時(shí)稱為漸變流（緩變流）。漸變流的極限情況就是均勻流。

2．急變流

若水流的流線之間夾角很大或者流線的曲率半徑很小，這種水流稱為急變流。注意：漸變流動(dòng)水壓強(qiáng)服從靜水壓強(qiáng)分布；而急變流動(dòng)水壓強(qiáng)分布特性復(fù)雜。第三十五頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四

漸變流和急變流通常邊界近于平行直線時(shí)水流往往是漸變流。管道轉(zhuǎn)彎、斷面突擴(kuò)或收縮水工建筑物引起水面突變水流為急變流。第三十六頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四六、濕周水力半徑1.濕周在有效截面上，流體同固體邊界接觸部分的周長(zhǎng)2.水力半徑R=2R=AB+BC+CDABCD=ABCABC有效截面積與濕周之比稱為水力半徑第三十七頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四

連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中的應(yīng)用。我們認(rèn)為流體是連續(xù)介質(zhì)，它在流動(dòng)時(shí)連續(xù)地充滿整個(gè)流場(chǎng)。在這個(gè)前提下，當(dāng)研究流體經(jīng)過(guò)流場(chǎng)中某一任意指定的空間封閉曲面時(shí)，可以斷定：若在某一定時(shí)間內(nèi)，流出的流體質(zhì)量和流入的流體質(zhì)量不相等時(shí)，則這封閉曲面內(nèi)一定會(huì)有流體密度的變化，以便使流體仍然充滿整個(gè)封閉曲面內(nèi)的空間；如果流體是不可壓縮的，則流出的流體質(zhì)量必然等于流入的流體質(zhì)量。上述結(jié)論可以用數(shù)學(xué)分析表達(dá)成微分方程，稱為連續(xù)性方程?！?.3連續(xù)性方程第三十八頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四一、直角坐標(biāo)系下連續(xù)性微分方程式設(shè)在流場(chǎng)中任取一個(gè)微元平行六面體，其邊長(zhǎng)分別為dx、dy和dz，如圖所示。假設(shè)微元平行六面體形心的坐標(biāo)為x、y、z，在某一瞬時(shí)t經(jīng)過(guò)形心的流體質(zhì)點(diǎn)沿各坐標(biāo)軸的速度分量為u、v、w，流體的密度為ρ?，F(xiàn)討論流體經(jīng)六面體各面的流動(dòng)情況。先分析x軸方向，由式歐拉法可知，u和ρ都是坐標(biāo)和時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，即u=u(x，y，z，t)和ρ=ρ(x，y，z，t)。根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式，略去高于一階的無(wú)窮小量，得在d時(shí)間內(nèi)，沿軸方向從左邊微元面積dydz流入的流體質(zhì)量為第三十九頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四圖流場(chǎng)中的微元平行六面體第四十頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四

同理可得在dt時(shí)間內(nèi)從右邊微元面積dydz流出的流體質(zhì)量為

上述兩者之差為在dt時(shí)間內(nèi)沿x軸方向流體質(zhì)量的變化，即

第四十一頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四同理可得，在dt時(shí)間內(nèi)沿y軸和z軸方向流體質(zhì)量的變化分別為：因此，在dt時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)微元六面體的流體質(zhì)量總變化為由于流體是作為連續(xù)介質(zhì)來(lái)研究的，所以上式所表示的六面體內(nèi)流體質(zhì)量的總變化，唯一的可能是因?yàn)榱骟w內(nèi)流體密度的變化而引起的。因此上式應(yīng)和由于流體密度的變化而產(chǎn)生的六面體內(nèi)的流體質(zhì)量變化相等。設(shè)開(kāi)始瞬時(shí)流體的密度為ρ，經(jīng)過(guò)dt時(shí)間后的密度為第四十二頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四則可求出在dt時(shí)間內(nèi)，六面體內(nèi)因密度的變化而引起的質(zhì)量變化為根據(jù)連續(xù)性條件，經(jīng)簡(jiǎn)化得到式為可壓縮流體非定常三維流動(dòng)的連續(xù)性方程。若流體是定常流動(dòng)，則，上式成為式為可壓縮流體定常三維流動(dòng)的連續(xù)性方程。若流體是不可壓縮的，不論是定?；蚍嵌ǔＡ鲃?dòng)ρ均(3-8)(3-9)第四十三頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四為常數(shù)，故上式成為上式為不可壓縮流體三維流動(dòng)的連續(xù)性的方程。它的物理意義是：在同一時(shí)間內(nèi)通過(guò)流場(chǎng)中任一封閉表面的體積流量等于零，也就是說(shuō)，在同一時(shí)間內(nèi)流入的體積流量與流出的體積流量相等。在流體力學(xué)中時(shí)常討論所謂平面（二維）流動(dòng)，即平行任何一個(gè)坐標(biāo)平面的流動(dòng)。若這種流動(dòng)的流動(dòng)參數(shù)（如速度、壓強(qiáng)）只沿x、y兩個(gè)坐標(biāo)軸方向發(fā)生變化，則上式可以寫(xiě)成由于在推導(dǎo)上述連續(xù)性方程時(shí)，沒(méi)有涉及作用力的問(wèn)題，所以不論是對(duì)理想流體還是實(shí)際流體都是適用的。(3-10)(3-11)第四十四頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四二、微元流束和總流的連續(xù)性方程

在工程上和自然界中，流體流動(dòng)多數(shù)都是在某些周界所限定的空間內(nèi)沿某一方向流動(dòng)，即一維流動(dòng)的問(wèn)題，所謂一維流動(dòng)是指流動(dòng)參數(shù)僅在一個(gè)方向上有顯著的變化，而在其它兩個(gè)方向上的變化非常微小，可忽略不計(jì)。例如在管道中流動(dòng)的流體就符合這個(gè)條件。在流場(chǎng)中取一微元流束。假定流體的運(yùn)動(dòng)是連續(xù)的、定常的，則微元流管的形狀不隨時(shí)間而改變。又根據(jù)流管的特性，流體質(zhì)點(diǎn)不能穿過(guò)流管表面，因此在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)微元流管的任一有效截面的流體質(zhì)量都應(yīng)相等，即ρ1V1dA1=ρ2V2dA2=ρVdA=常數(shù)式中dA1、dA2—分別為1、2兩個(gè)有效截面的面積，m2；第四十五頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四圖流場(chǎng)中的微元流束第四十六頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四V1、V2—分別為dA1和dA2上的流速，也稱為真實(shí)流速，m/s；ρ1、ρ2—分別為和處的流體密度，kg/m3。對(duì)于由無(wú)限多微元流束所組成的總流（例如流體在管道中的流動(dòng)），可對(duì)式進(jìn)行積分得

式中A1和A2—分別為總流1和2兩個(gè)有效截面的面積，m2。為一維流動(dòng)積分形式總流的連續(xù)性方程。設(shè)和是總流兩個(gè)有效截面l和2上的平均流速，則上式可寫(xiě)成

(3-12)(3-13)第四十七頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四式中ρ1和ρ2—分別代表截面和上的平均密度，kg/m3。(3-13)式表示當(dāng)流動(dòng)為可壓縮流體定常流體動(dòng)時(shí)，沿流動(dòng)方向的質(zhì)量流量為一個(gè)常數(shù)。對(duì)不可壓縮均質(zhì)流體常數(shù)，則上式成為(3-14)式為不可壓縮流體一維定常流動(dòng)的總流連續(xù)性方程。該式說(shuō)明一維總流在定常流動(dòng)條件下，沿流動(dòng)方向的體積流量為一個(gè)常數(shù)，平均流速與有效截面面積成反比，即有效截面面積大的地方平均流速小，有效截面面積小的地方平均流速就大。(3-14)第四十八頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四【例3-4】假設(shè)有一不可壓縮流體三維流動(dòng)，其速度分布規(guī)律為）U=3（x+y3)，v=4y+z2，w=x+y+2z。試分析該流動(dòng)是否連續(xù)?！窘狻扛鶕?jù)(3-10)式

所以故此流動(dòng)不連續(xù)。不滿足連續(xù)性方程的流動(dòng)是不存在的

第四十九頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四【例3-5】有一不可壓縮流體平面流動(dòng)，其速度分布規(guī)律為u=x2siny，v=2xcosy，試分析該流動(dòng)是否連續(xù)?！窘狻扛鶕?jù)(3-10)式所以

故此流動(dòng)是連續(xù)的。第五十頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四【例3-6】有一輸水管道，如圖所示。水自截面1-1流向截面2-2。測(cè)得截面1-1的水流平均流速m/s，已知d1=0.5m，d2=1m，試求截面2-2處的平均流速為多少？【解】由(3-14)式得

(m/s)第五十一頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四圖輸水管道第五十二頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四一、連續(xù)方程（積分形式）本質(zhì)：質(zhì)量守恒定律單位質(zhì)量系統(tǒng)的質(zhì)量總結(jié)第五十三頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四二、連續(xù)方程的其它形式定常流動(dòng)：定常流動(dòng)條件下，通過(guò)控制面的流體質(zhì)量等于零一維定常流：不可壓縮一維定常流：在定常流動(dòng)條件下，通過(guò)流管的任意有效截面的質(zhì)量流量是常量。在定常流動(dòng)條件下，通過(guò)流管的任意有效截面的體積流量是常量。第五十四頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四在流動(dòng)的理想流體中，取出一個(gè)微元平行六面體的微團(tuán)，它的各邊長(zhǎng)度分別為dx、dy和dz，如圖所示。由于是理想流體，沒(méi)有黏性，運(yùn)動(dòng)時(shí)不產(chǎn)生內(nèi)摩擦力，所以作用在流體微團(tuán)上的外力只有質(zhì)量力和壓強(qiáng)。該壓強(qiáng)與靜壓強(qiáng)一樣，垂直向內(nèi)，作用在流體微團(tuán)的表面上。假設(shè)六面體形心的坐標(biāo)為x、y、z，壓強(qiáng)為p。先分析x方向的運(yùn)動(dòng)，在垂直于x軸的左右兩個(gè)平面中心點(diǎn)上的壓強(qiáng)各等于由于是微元面積，所以這些壓強(qiáng)可以作為各表面上的§3.4恒定總流的伯努利方程第五十五頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四圖推導(dǎo)歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程用圖第五十六頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四平均壓強(qiáng)。設(shè)在六面體形心上的單位質(zhì)量的質(zhì)量力分量為fx、fy和fz，則作用在微元平行六面體的流體微團(tuán)上的質(zhì)量力在軸方向的分量為fxρdxdydz又流體微團(tuán)的加速度在x軸上的投影為，則根據(jù)牛頓第二定律得x軸方向的運(yùn)動(dòng)微分方程將上式各項(xiàng)除以流體微團(tuán)的流體質(zhì)量ρdxdydz，化簡(jiǎn)后得：同理

(3-16)(3-15)第五十七頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四這就是理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程，早在1755年就為。對(duì)于靜止的流體u=v=w=0，則由式可以直接得出流體平衡微分方程，即歐拉平衡微分方程式（2-3）。因此歐拉平衡微分方程只是歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程的一個(gè)特例。如果把加速度寫(xiě)成展開(kāi)式，可將歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程寫(xiě)成如下形式

(3-17)第五十八頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四在一般情況下，作用在流體上的質(zhì)量力fx、fy和fz是已知的，對(duì)理想不可壓縮流體其密度ρ為一常數(shù)。在這種情況下，上式中有四個(gè)未知數(shù)u、v、w和p，而上式中有三個(gè)方程，再加上不可壓縮流體的連續(xù)性方程，就從理論上提供了求解這四個(gè)未知數(shù)的可能性。第五十九頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四

一、理想流體微元流束的伯努利方程理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程上式只有在少數(shù)特殊情況下才能求解。在下列幾個(gè)假定條件下：(1)不可壓縮理想流體的定常流動(dòng)；(2)沿同一微元流束（也就是沿流線）積分；(3)質(zhì)量力只有重力。即可求得理想流體微元流束的伯努利方程。假定流體是定常流動(dòng)，則有，第六十頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四因此式可寫(xiě)成(3-18)

假如流體微團(tuán)沿流線的微小位移ds在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為dx、dy和dz?，F(xiàn)用dx、dy和dz分別乘以式（3-18）的第一式、第二式和第三式，則可得到第六十一頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四(3-19)由流線微分方程有udy=vdxydz=wdywdx=udz將式（3-19）代入式（3-18）中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)，則得(3-20)第六十二頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四(3-21)將式（3-21）的三個(gè)方程相加，得到

由于式（3-22）中的dx、dy和dz是流體微團(tuán)沿流線微小位移ds的三個(gè)分量，所以要沿流線（或微元流束）進(jìn)行積分。(3-22)第六十三頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四式（3-22)中的假設(shè)質(zhì)量力只有重力，fx=0，fy=0，fz=-g，即z軸垂直向上，oxy為水平面。則式(3-22)可寫(xiě)成

又假設(shè)為不可壓縮均質(zhì)流體，即ρ=常數(shù)，積分后得

或式（3-23）稱為理想流體微元流束的伯努利方程。方程右邊的常數(shù)對(duì)不同的流線有不同的值。該方程的適用范圍(3-23)第六十四頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四是：理想不可壓縮均質(zhì)流體在重力作用下作定常流動(dòng)，并沿同一流線（或微元流束）。若1、2為同一條流線（或微元流束）上的任意兩點(diǎn)，則式（3-23）也可寫(xiě)成在特殊情況下，絕對(duì)靜止流體V=0，由式(3-24)可以得到靜力學(xué)基本方程

二、方程的物理意義和幾何意義為了進(jìn)一步理解理想流體微元流束的伯努利方程，現(xiàn)來(lái)敘述該方程的物理意義和幾何意義。1、物理意義理想流體微元流束的伯努利方程式（3-24）中，左端(3-24)第六十五頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四前兩項(xiàng)的物理意義，在靜力學(xué)中已有闡述，即第一項(xiàng)z表示單位重量流體所具有的位勢(shì)能；第二項(xiàng)p/(ρg)表示單位重量流體的壓強(qiáng)勢(shì)能；第三項(xiàng)V2/(2g)理解如下：由物理學(xué)可知，質(zhì)量為m的物體以速度V運(yùn)動(dòng)時(shí)，所具有的動(dòng)能為Mv2/2，則單位重量流體所具有的動(dòng)能為V2/(2g)即(mV2/2)/(mg)=V2/(2g)。所以該項(xiàng)的物理意義為單位重量流體具有的動(dòng)能。位勢(shì)能、壓強(qiáng)勢(shì)能和動(dòng)能之和稱為機(jī)械能。因此，伯努利方程可敘述為：理想不可壓縮流體在重力作用下作定常流動(dòng)時(shí)，沿同一流線（或微元流束）上各點(diǎn)的單位重量流體所具有的位勢(shì)能、壓強(qiáng)勢(shì)能和動(dòng)能之和保持不變，即機(jī)械能是一常數(shù)，但位勢(shì)能、壓強(qiáng)勢(shì)能和動(dòng)能三種能量之間可以相互轉(zhuǎn)換，所以伯努利方程是能量守恒定律在流體力學(xué)中的一種特殊表現(xiàn)形式。第六十六頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四2、幾何意義圖理想流體微元流束的伯努利方程式（3-24）中，左端前兩項(xiàng)的幾何意義，同樣在靜力學(xué)中已有闡述，即第一項(xiàng)z表示單位重量流體的位置水頭，第二項(xiàng)p/(ρg)表示單位重量流體的壓強(qiáng)水頭，第三項(xiàng)V2/(2g)與前兩項(xiàng)一樣也具有長(zhǎng)度的量綱。它表示所研究流體由于具有速度V，在無(wú)阻力的情況下，單位重量流體所能垂直上升的最大高度，稱之為速度水頭。位置水頭、壓強(qiáng)水頭和速度水頭之和稱為總水頭。由于它們都表示某一高度，所以可用幾何圖形表示它們之間的關(guān)系，如圖所示。因此伯努利方程也可敘述為：理想不可壓縮流體在重力作用下作定常流動(dòng)時(shí)，沿同一流線(或微元流束)上各點(diǎn)的單位重量流體所具有的位置水頭、壓強(qiáng)水頭和速度水頭之和保持不變，即總水頭是一常數(shù)。第六十七頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四圖總水頭線和靜水頭線第六十八頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四皮托管測(cè)速儀在工程實(shí)際中，常常需要來(lái)測(cè)量某管道中流體流速的大小，然后求出管道的平均流速，從而得到管道中的流量，要測(cè)量管道中流體的速度，可采用皮托管來(lái)進(jìn)行，其測(cè)量原理如圖所示。在液體管道的某一截面處裝有一個(gè)測(cè)壓管和一根兩端理想流體恒定元流能量方程的應(yīng)用第六十九頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四VBAZZ皮托管測(cè)速原理圖第七十頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四開(kāi)口彎成直角的玻璃管（稱為測(cè)速管）。將測(cè)速管（又稱皮托管）的一端正對(duì)著來(lái)流方向，另一端垂直向上，這時(shí)測(cè)速管中上升的液柱比測(cè)壓管內(nèi)的液柱高h(yuǎn)。這是由于當(dāng)液流流到測(cè)速管入口前的A點(diǎn)處，液流受到阻擋，流速變?yōu)榱?，則在測(cè)速管入口形成一個(gè)駐點(diǎn)A。駐點(diǎn)A的壓強(qiáng)PA稱為全壓，在入口前同一水平流線未受擾動(dòng)處（例如B點(diǎn)）的液體壓強(qiáng)為PB，速度為V。應(yīng)用伯努利方程于同一流線上的Ｂ、Ａ兩點(diǎn)，則有則

第七十一頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四上式表明，只要測(cè)量出流體的運(yùn)動(dòng)全壓和靜壓水頭的差值h，就可以確定流體的流動(dòng)速度。由于流體的特性，以及皮托管本身對(duì)流動(dòng)的干擾，實(shí)際流速比用該式計(jì)算出的要小，因此，實(shí)際流速為

式中ψ—流速修正系數(shù)，一般由實(shí)驗(yàn)確定，ψ=0.97。如果測(cè)定氣體的流速，則無(wú)法直接用皮托管和靜壓管測(cè)量出氣柱差來(lái)，必須把兩根管子連接到一個(gè)Ｕ形差壓計(jì)上，從差壓計(jì)上的液面差來(lái)求得流速，如圖所示，則則得

第七十二頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四圖用皮托管和靜壓管測(cè)量氣體流速第七十三頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四考慮到實(shí)際情況，

在工程應(yīng)用中多將靜壓管和皮托管組合成一件，稱為皮托—靜壓管，又稱動(dòng)壓管，習(xí)慣上常簡(jiǎn)稱它為皮托管，其示意圖如圖所示。圖中1點(diǎn)為總壓測(cè)點(diǎn)，2點(diǎn)為靜壓測(cè)點(diǎn)，將總靜壓孔的通路分別連接于差壓計(jì)的兩端，則差壓計(jì)的指示為總壓和靜壓的差值，從而可由上式求得測(cè)點(diǎn)的流速。皮托-靜壓管的構(gòu)造及使用方法。第七十四頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四圖皮托-靜壓管第七十五頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四實(shí)際液體恒定元流的能量方程式——單位重量液體從斷面1-1流至斷面2-2所損失的能量，稱為水頭損失。0012第七十六頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四將構(gòu)成總流的所有微小流束的能量方程式疊加起來(lái)，即為總流的能量方程式。均勻流或漸變流過(guò)水?dāng)嗝嫔蟿?dòng)能修正系數(shù),1.05~1.1取平均的hwV→u，§3.5實(shí)際液體恒定總流的能量方程第七十七頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四200112實(shí)際液體恒定總流的能量方程式表明：水流總是從水頭大處流向水頭小處；或水流總是從單位機(jī)械能大處流向單位機(jī)械能小處。

總水頭線測(cè)壓管水頭線實(shí)際液體總流的總水頭線必定是一條逐漸下降的線，而測(cè)壓管水頭線則可能是下降的線也可能是上升的線甚至可能是一條水平線。水力坡度J——單位長(zhǎng)度流程上的水頭損失，測(cè)管坡度方程式的物理意義：第七十八頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四應(yīng)用能量方程式的條件：（1）恒定流；（2）質(zhì)量力只有重力；(3)不可壓縮流體；（4）在所選取的兩個(gè)過(guò)水?dāng)嗝嫔希鲬?yīng)符合漸變流的條件，但所取的兩個(gè)斷面之間，水流可以不是漸變流；（5）在所取的兩個(gè)過(guò)水?dāng)嗝嬷g，流量保持不變，其間沒(méi)有流量加入或分出。若有分支，則應(yīng)對(duì)第一支水流建立能量方程式，例如圖示有支流的情況下,能量方程為：（6）流程中途沒(méi)有能量H輸入或輸出。若有，則能量方程式應(yīng)為：Q1Q2Q3112233第七十九頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四應(yīng)用能量方程式的注意點(diǎn)：（1）選取高程基準(zhǔn)面；（2）選取兩過(guò)流斷面；所選斷面上水流應(yīng)符合漸變流的條件，但兩個(gè)斷面之間，水流可以不是漸變流。（3）選取計(jì)算代表點(diǎn)；（4）選取壓強(qiáng)的計(jì)算基準(zhǔn)；（5）方程中各項(xiàng)單位的統(tǒng)一。能量方程式的應(yīng)用第八十頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四

例1.如圖所示，一等直徑的輸水管，管徑為d=100mm，水箱水位恒定，水箱水面至管道出口形心點(diǎn)的高度為H=2m，若不水流運(yùn)動(dòng)的水頭損失，求管道中的輸水流量。H分析：Q=VA；A=πd2/4所以需要用能量方程式求出V；221100解：對(duì)1-1、2-2斷面列能量方程式：其中：所以有：可解得：則：答：該輸水管中的輸水流量為0.049m3/s。第八十一頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四文丘里流量計(jì)（文丘里量水槽）1122收縮段喉管擴(kuò)散段hh1h2h1h2B1B2111222h以管軸線為高程基準(zhǔn)面，暫不計(jì)水頭損失，對(duì)1-1、2-2斷面列能量方程式：整理得：由連續(xù)性方程式可得：或代入能量方程式，整理得：則當(dāng)水管直徑及喉管直徑確定后，K為一定值，可以預(yù)先算出來(lái)。若考慮水頭損失，實(shí)際流量會(huì)減小，則μ稱為文丘里管的流量系數(shù)，一般約為0.95~0.98第八十二頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四

伯努利方程應(yīng)用時(shí)特別注意的幾個(gè)問(wèn)題伯努利方程是流體力學(xué)的基本方程之一，與連續(xù)性方程和流體靜力學(xué)方程聯(lián)立，可以全面地解決一維流動(dòng)的流速(或流量)和壓強(qiáng)的計(jì)算問(wèn)題，用這些方程求解一維流動(dòng)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意下面幾點(diǎn)：文丘里流量計(jì)實(shí)驗(yàn)第八十三頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四

(1)弄清題意，看清已知什么，求解什么，是簡(jiǎn)單的流動(dòng)問(wèn)題，還是既有流動(dòng)問(wèn)題又有流體靜力學(xué)問(wèn)題。(2)選好有效截面，選擇合適的有效截面，應(yīng)包括問(wèn)題中所求的參數(shù)，同時(shí)使已知參數(shù)盡可能多。通常對(duì)于從大容器流出，流入大氣或者從一個(gè)大容器流入另一個(gè)大容器，有效截面通常選在大容器的自由液面或者大氣出口截面，因?yàn)樵撚行Ы孛娴膲簭?qiáng)為大氣壓強(qiáng)，對(duì)于大容器自由液面，速度可以視為零來(lái)處理。(3)選好基準(zhǔn)面，基準(zhǔn)面原則上可以選在任何位置，但選擇得當(dāng)，可使解題大大簡(jiǎn)化，通常選在管軸線的水平面或自由液面，要注意的是，基準(zhǔn)面必須選為水平面。(4)求解流量時(shí)，一般要結(jié)合一維流動(dòng)的連續(xù)性方程求解。伯努利方程的p1和p2應(yīng)為同一度量單位，同為絕對(duì)壓強(qiáng)或者同為相對(duì)壓強(qiáng)，p1和p2的問(wèn)題與靜力學(xué)中的處理完全相同。(5)有效截面上的參數(shù)，如速度、位置高度和壓強(qiáng)應(yīng)為同一點(diǎn)的，絕對(duì)不許在式中取有效截面上Ａ點(diǎn)的壓強(qiáng)，又取同一有效截面上另一點(diǎn)Ｂ的速度。第八十四頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四【例題】有一貯水裝置如圖所示，貯水池足夠大，當(dāng)閥門(mén)關(guān)閉時(shí)，壓強(qiáng)計(jì)讀數(shù)為2.8個(gè)大氣壓強(qiáng)。而當(dāng)將閥門(mén)全開(kāi)，水從管中流出時(shí)，壓強(qiáng)計(jì)讀數(shù)是0.6個(gè)大氣壓強(qiáng)，試求當(dāng)水管直徑d=12cm時(shí)，通過(guò)出口的體積流量(不計(jì)流動(dòng)損失)。

第八十五頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四【解】當(dāng)閥門(mén)全開(kāi)時(shí)列1-l、2-2截面的伯努利方程

當(dāng)閥門(mén)關(guān)閉時(shí)，根據(jù)壓強(qiáng)計(jì)的讀數(shù)，應(yīng)用流體靜力學(xué)基本方程求出Ｈ值第八十六頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四

則代入到上式（m/s）所以管內(nèi)流量

（m3/s）第八十七頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四【例題】水流通過(guò)如圖所示管路流入大氣，已知：Ｕ形測(cè)壓管中水銀柱高差Δh=0.2m，h1=0.72mH2O，管徑d1=0.1m，管嘴出口直徑d2=0.05m，不計(jì)管中水頭損失，試求管中流量qv。第八十八頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四【解】首先計(jì)算1-1斷面管路中心的壓強(qiáng)。因?yàn)锳-B為等壓面，列等壓面方程得：

則

(mH2O)

列1-1和2-2斷面的伯努利方程第八十九頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四由連續(xù)性方程：

將已知數(shù)據(jù)代入上式，得

（m/s）管中流量（m3/s）第九十頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四[例題]一救火水龍帶，噴嘴和泵的相對(duì)位置如圖所示。泵出口壓力（A點(diǎn)壓力）為2個(gè)大氣壓（表壓），泵排出管斷面直徑為50mm；噴嘴出口C的直徑20mm；水龍帶的水頭損失設(shè)為0.5m；噴嘴水頭損失為0.1m。試求噴嘴出口流速、泵的排量及B點(diǎn)壓力。泵例題示意圖第九十一頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四[解]取A、C兩斷面寫(xiě)能量方程：通過(guò)A點(diǎn)的水平面為基準(zhǔn)面，則；（在大氣中）；水的重度重力加速度；水柱，即將各量代入能量方程后，得第九十二頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四解得噴嘴出口流速為。而泵的排量為為計(jì)算B點(diǎn)壓力，取B、C兩斷面計(jì)算，即通過(guò)B點(diǎn)作水平面基準(zhǔn)面，則代入方程得解得壓力第九十三頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四【例題】風(fēng)管直徑D=100mm,空氣重度，在直徑d＝50mm的喉部裝一細(xì)管與水池相連，高差H=150mm,當(dāng)汞測(cè)壓計(jì)中讀數(shù)時(shí)，開(kāi)始從水池中將水吸入管中，問(wèn)此時(shí)空氣流量為多大？第九十四頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四第九十五頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四例題a：注液瓶為了使下部管口的出流量不隨時(shí)間而變，在上部瓶塞中插人通氣管，試分析出流量恒定的原理和調(diào)節(jié)。 調(diào)節(jié):水面不低于通氣管下端處，即水面高度不小于a，流量恒定。

原理：出流時(shí)，水面下降，但通氣管下端處的壓強(qiáng)維持為大氣壓，即通過(guò)該處的水平面維持為零壓面，由，因?yàn)椴蛔?，所以流量恒定?第九十六頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四例題b：煙囪直徑d=1.2m,通過(guò)煙氣流量,煙氣密度，空氣密度，煙囪的壓強(qiáng)損失

了，為了保證進(jìn)口斷面的負(fù)壓不小于10mm水柱，試計(jì)算煙囪的最小高度H。（設(shè)進(jìn)口斷面處的煙氣速度）解：以進(jìn)口為1－1斷面，出口為2－2斷面，過(guò)1－1形心的水平面為基準(zhǔn)面，列氣體能量方程：(1)由題意又

代人(1)式,有

其中

代人得

（煙囪的最小高度） 第九十七頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四例題c:水由水箱經(jīng)一噴口無(wú)損失地水平射出，沖擊在一塊鉛直平板上，平板封蓋著另一油箱的短管出口。兩個(gè)出口的中心線重合，其液位高分別為h1和h2，且h1=1.6m，兩出口直徑分別為d1=25mm,d2=50mm，當(dāng)油液的相對(duì)密度為0.85時(shí)，不使油液泄漏的高度h2應(yīng)是多大（平板重量不計(jì)）？解：建立水箱液面與噴口的能量方程，按照題意有，則水射流的速度為

取圖示射流邊界為控制體，根據(jù)動(dòng)量原理，平板對(duì)射流的作用力為此力即為射流對(duì)平板的作用力P1，此外，平板另一側(cè)所受到的靜止油液的總壓力為P2，為保持平板對(duì)油箱短管的密封作用，須使平板在水平方向保持靜止?fàn)顟B(tài)，根據(jù)水平方向力的作用情況，則有即第九十八頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四例題d：設(shè)管路中有一段水平（xoy平面內(nèi)）放置的變管徑彎管，如圖所示。已知流量，過(guò)流斷面1－1上的流速分布為，形心處相對(duì)壓強(qiáng)，管徑；過(guò)流斷面2－2上的流速分布為，管徑，若不計(jì)能量損失，試求過(guò)流斷面形心處相對(duì)壓強(qiáng)。[注：動(dòng)能修正系數(shù)不等于1.0]。第九十九頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四解：列1－1、2－2斷面總流伯努利方程

（1）

代人（1）式

得 第一百頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四第一百零一頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.5恒定總流的動(dòng)量方程

3.5.1動(dòng)量方程推倒

動(dòng)量方程是動(dòng)量守恒定律在流體力學(xué)中的具體表達(dá)。本節(jié)討論流體作定常流動(dòng)時(shí)的動(dòng)量變化和作用在流體上的外力之間的關(guān)系。一般力學(xué)中動(dòng)量定理表述為：物體動(dòng)量的時(shí)間變化率等于作用在該物體上的所有外力的矢量和。在此先建立控制體的概念：所謂控制體是空間的一個(gè)固定不變的區(qū)域，它的邊界面稱為控制面。第一百零二頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四

如圖，現(xiàn)以總流的一段管段為例。取斷面1和2以及其間管壁表面所組成的封閉曲面為控制面，內(nèi)部的空間為控制體。流體從控制面1流入控制體，從控制面2流出，管壁可看成流管，無(wú)流體進(jìn)出。在t時(shí)刻流段所具有的動(dòng)量為經(jīng)過(guò)dt時(shí)段后，流段移動(dòng)到，這時(shí)流段所具有的動(dòng)量為對(duì)定常流有

第一百零三頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四

所以在此流段的總流中任取一元流，設(shè)進(jìn)、出口斷面1-1和2-2上的過(guò)水面積為dA1、dA2，則

令動(dòng)量修正系數(shù)，則上式可進(jìn)一步寫(xiě)成其中。將這些關(guān)系代入動(dòng)量定理的表達(dá)式中，可得第一百零四頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四

上式為恒定流總流動(dòng)量方程。它是矢量方程，實(shí)際上常用三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影式表示，即

應(yīng)用動(dòng)量方程解題時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：動(dòng)量方程是一個(gè)矢量方程，經(jīng)常使用投影式。注意外力、速度和方向問(wèn)題，它們與坐標(biāo)方向一致時(shí)為正，反之為負(fù)。在考慮外力時(shí)注意控制體外的流體通過(guò)進(jìn)口斷面和出口斷第一百零五頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四

面對(duì)控制體內(nèi)流體的作用力。外力中包含了壁面對(duì)流體作用力，而求解問(wèn)題中往往需要確定流體作用在壁面上的力，這兩個(gè)力按牛頓第三定理。動(dòng)量修正系數(shù)在計(jì)算要求精度不高時(shí)，常取1。第一百零六頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四適用條件：不可壓縮液體、恒定流、過(guò)水?dāng)嗝鏋榫鶆蛄骰驖u變流過(guò)水?dāng)嗝?、無(wú)支流的匯入與分出。如圖所示的一分叉管路，動(dòng)量方程式應(yīng)為：v3112233ρQ3ρQ1ρQ2v1v2第一百零七頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四應(yīng)用動(dòng)量方程式解決問(wèn)題的步驟：１．取控制體；２．正確分析受力，未知力設(shè)定方向；３．建立坐標(biāo)系４．右側(cè)為(下游斷面的動(dòng)量)-(上游斷面的動(dòng)量)1122FP1FP2FRFGxzy第一百零八頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四動(dòng)量方程式在工程中的應(yīng)用彎管內(nèi)水流對(duì)管壁的作用力水流對(duì)建筑物的作用力射流對(duì)平面壁的沖擊力第一百零九頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四彎管內(nèi)水流對(duì)管壁的作用力管軸水平放置管軸豎直放置1122P1=p1A1P2=p2A·2RGxzyV1V2RzRx沿x方向列動(dòng)量方程為：沿z方向列動(dòng)量方程為：沿x方向列動(dòng)量方程為：沿y方向列動(dòng)量方程為：P1=p1A1P2=p2A·2RV1V2RyRxxy第一百一十頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四例題一變徑彎管，軸線位于同一水平面，轉(zhuǎn)角，直徑由dA＝200mm變?yōu)閐B＝150mm，在流量時(shí)，壓強(qiáng)，求流對(duì)AB段彎管的作用力。不計(jì)彎管段的水頭損失。解：求解流體與邊界的作用力問(wèn)題，一般需要聯(lián)合使用連續(xù)性方程，能量方程和動(dòng)量方程。例題附圖第一百一十一頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四第一百一十二頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四第一百一十三頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四水流對(duì)建筑物的作用力FP1122xFP1=ρgbh12/2FP2=ρgbh22/2FR沿x方向列動(dòng)量方程為：第一百一十四頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四射流對(duì)平面壁的沖擊力FPV000VV1122FRV0VVx沿x方向列動(dòng)量方程為：整理得：第一百一十五頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四例：設(shè)有一股自噴嘴以速度v0噴射出來(lái)的水流，沖擊在一個(gè)與水流方向成α角的固定平面壁上，當(dāng)水流沖擊到平面壁后，分成兩面股水流流出沖擊區(qū)，若不計(jì)重量（流動(dòng)在一個(gè)水平面上），并忽略水流沿平面壁流動(dòng)時(shí)的摩擦阻力，試推求射流施加于平面壁上的壓力FP，并求出Q1和Q2各為多少？FP001122V0V2Q2V1Q1Qα001122V0V2Q2V1Q1QFRxy沿y方向列動(dòng)量方程為：第一百一十六頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四對(duì)0-0、1-1斷面列能量方程為：可得：同理有：依據(jù)連續(xù)性方程有：FP001122V0V2Q2V1Q1Qα001122V0V2Q2V1Q1QFRxy沿x方向列動(dòng)量方程為：整理得：所以：第一百一十七頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四FP1=p1A1FP2=p2A·2FRV1V2FryFRx第一百一十八頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四§恒定總流的動(dòng)量矩方程

動(dòng)量方程確定流體與邊界之間作用力大??；動(dòng)量矩方程確定流體與邊界之間作用力位置；設(shè)為某參考點(diǎn)至流體速度矢量的作用點(diǎn)的矢徑，則用此矢量對(duì)動(dòng)量方程兩端進(jìn)行矢性積運(yùn)算，可得定常流動(dòng)的動(dòng)量矩方程為等式左斷是控制體上合外力對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的合力矩。等式右端項(xiàng)是通過(guò)控制面流出與流入的流體動(dòng)量矩之差，或通過(guò)控制面的凈動(dòng)量矩。第一百一十九頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四現(xiàn)以定轉(zhuǎn)速的離心式水泵或風(fēng)機(jī)為例來(lái)推導(dǎo)葉輪機(jī)中的定常流動(dòng)的動(dòng)量矩方程。圖:葉輪的速度三角形1—入口；2—出口；—牽連速度；—流體在葉輪內(nèi)的相對(duì)速度；—流體的絕對(duì)速度。如圖所示，取葉輪出、入口的圓柱面與葉輪側(cè)壁之間的整個(gè)葉輪流動(dòng)區(qū)域?yàn)榭刂企w。第一百二十頁(yè)，共一百三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四假定葉輪葉片數(shù)目無(wú)限多，每個(gè)葉片的厚度均為無(wú)限薄，則流體在葉片間的相對(duì)速度必沿葉片型線的切線方向。于是將動(dòng)量矩