第一節(jié)點估計問題概述

第一節(jié)點估計問題概述第一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四在實際問題中,當所研究的總體分布類型已知,但分布中含有一個或多個未知參數(shù)時,如何根據(jù)樣本來估計未知參數(shù)，這就是參數(shù)估計問題.參數(shù)估計問題分為點估計問題與區(qū)間估計問題兩類.所謂點估計就是用某一個函數(shù)值作為總體未知參數(shù)的估計值；區(qū)間估計就是對于未知參數(shù)給出一個范圍，并且在一定的可靠度下使這個范圍包含未知參數(shù).第二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四例如,燈泡的壽命X是一個總體,根據(jù)實際經(jīng)驗知道,X服從,但對每一批燈泡而言,參數(shù)是未知的,要寫出具體的分布函數(shù),就必須確定出參數(shù).此類問題就屬于參數(shù)估計問題.第三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四參數(shù)估計問題的一般提法:設有一個統(tǒng)計總體,總體的分布函為,其中為未知參數(shù)(可以是向量).現(xiàn)從該總體中隨機地抽樣,得一樣本再依據(jù)該樣本對參數(shù)作出估計,或估計參數(shù)的某已知函數(shù)第四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四第一節(jié)點估計問題概述內(nèi)容分布圖示

★引言★點估計的概念★例1★評價估計量的標準★無偏性★例2★例3★有效性★例4★例5★例6★相合性★例7★例8★內(nèi)容小結★課堂練習★習題6-1第五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四內(nèi)容要點：一、點估計的概念設是取自總體X的一個樣本,是相應的一個樣本值.是總體分布中的未知參數(shù),為估計未知參數(shù),需構造一個適當?shù)慕y(tǒng)計量然后用其觀察值來估計的值.稱為的估計量.稱為的估計值.在不致混淆的情況下,估計量與估計值統(tǒng)稱為點估計,簡稱為估計,并簡記為.第六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四注:估計量是一個隨機變量,是樣本的函數(shù)，即是一個統(tǒng)計量,對不同的樣本值,的估計值一般是不同的.第七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四二、評價估計量的標準從例1可見,參數(shù)點估計的概念相當寬松,對同一參數(shù),可用不同的方法來估計,因而得到不同的估計量,故有必要建立一些評價估計量好壞的標準.估計量的評價一般有三條標準:1.無偏性;2.有效性;3.相合性（一致性）.在本節(jié)的后面將逐一介紹之.第八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四在具體介紹估計量的評價標準之前,需指出:評價一個估計量的好壞,不能僅僅依據(jù)一次試驗的結果,而必須由多次試驗結果來衡量.因為估計量是樣本的函數(shù),是隨機變量.故由不同的觀測結果,就會求得不同的參數(shù)估計值.因此一個好的估計,應在多次重復試驗中體現(xiàn)出其優(yōu)良性.第九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四1．無偏性估計量是隨機變量,對于不同的樣本值會得到不同的估計值.一個自然的要求是希望估計值在未知參數(shù)真值的附近,不要偏高也不要偏低.由此引入無偏性標準.第十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四定義1

設是未知參數(shù)的估計量,若則稱為的無偏估計量.注:無偏性是對估計量的一個常見而重要的要求,其實際意義是指估計量沒有系統(tǒng)偏差，只有隨機偏差.在科學技術中,稱為用估計而產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差.例如,用樣本均值作為總體均值的估計時,雖無法說明一次估計所產(chǎn)生的偏差,但這種偏差隨機地在0的周圍波動,對同一統(tǒng)計問題大量重要使用不會產(chǎn)生系統(tǒng)偏差.第十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四對一般總體而言，我們有定理1設為取自總體X的樣本,總體X的均值為,方差為.則(1)樣本均值是的無偏估計量;(2)樣本方差是的無偏估計量;(3)樣本二階中心矩是的有偏估計量.第十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四2．有效性一個參數(shù)常有多個無偏估計量,在這些估計量中,自然應選用對的偏離程度較小的為好,即一個較好的估計量的方差應該較小.由此引入評選估計量的另一標準—有效性.第十三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四定義2

設和都是參數(shù)的無偏估計量,若則稱較有效.注:

在數(shù)理統(tǒng)計中常用到最小方差無偏估計,其定義如下:設是取自總體X的一個樣本,是未知參數(shù)的一個估計量,若滿足:(1)即為的無偏估計;(2)是的任一無偏估計.則稱為的最小方差無偏估計(也稱最佳無偏估計).第十四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四3．相合性(一致性)我們不僅希望一個估計量是無偏的,并且具有較小的方差,還希望當樣本容量無限增大時,估計量能在某種意義下任意接近未知參數(shù)的真值,由此引入相合性(一致性)的評價標準.第十五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四定義3

設為未知參數(shù)的估計量,若依概率收斂于,即對任意,有或則稱為的(弱)相合估計量.第十六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四例題選講：

點估計的概念（講義例1）設X表示某種型號的電子元件的壽命(以小時計)，它服從指數(shù)分布：為未知參數(shù),.現(xiàn)得樣本值為168,130,169,143,174,198,108,212,252,試估計未知參數(shù).第十七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四解 由題意知,總體的均值為即因此,如用樣本均值作為的估計量看起來是最自然的.對給定的樣本值計算得故與分別為的估計量與估計值.第十八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四 評價估計量的標準例2（講義例2）設總體,是來自這一總體的樣本.(1)證明是的無偏估計;(2)求第十九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四解 (1)故是的無偏估計.(2)因而且它們相互獨立,故依分布定義

由此知第二十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四例3（講義例3）設是總體的一個簡單隨機樣本.求使為的無偏估計.第二十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四解 由于且相互獨立,于是當時因為當時,所以故當時,有為的無偏估計.第二十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四例4（講義例4）設為來自總體X的樣本,,均為總體均值的無偏估計量,問哪一個估計量有效?第二十三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四解 由于所以為和無偏估計量,但故較更有效.第二十四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四例5設總體X在區(qū)間上服從均勻分布,是取自總體X的簡單隨機樣本,求常數(shù)使均為的無偏估計,并比較其有效性.第二十五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四解 已知其分布函數(shù)為因故當時,為無偏估計,且又所以第二十六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四故當時,即為的無偏估計,且所以比更有效.第二十七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四

例6（講義例5）設分別自總體和中抽取容量為的兩獨立樣本.其樣本方差分別為.試證,對于任意常數(shù)都是的無偏估計,并確定常數(shù)使達到最小.第二十八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四解 由第5章第三節(jié)的定理2,知且相互獨立,所以故當時,即是的無偏估計.由相互獨立,及第二十九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四令得駐點又知該點為極小值點,所以,當時,統(tǒng)計量具有最小方差.(注:此例結果表明,第5章第三節(jié)定理4中的統(tǒng)計量是方差的最佳無偏估計).第三十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四

例7（講義例6）設是取自總體樣本,且存在為正整數(shù),則為的相合估計量.第三十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四

證 事實上,對指定的,令由大數(shù)定理知從而是的相合估計量.作為特例,樣本均值是總體均值的相合估計量.第三十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四例8（講義例7）設總體,為其樣本.試證樣本方差是的相合估計量.第三十三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四

證 由本節(jié)定理1,又由第5章第三節(jié)定理2,知從而