第三章 復(fù)變函數(shù)的積分

第三章復(fù)變函數(shù)的積分第一頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第一節(jié)解析函數(shù)的概念一、積分的定義

有向曲線：設(shè)C為平面給定的一條光滑（或按段光滑）的曲線，如果選定C的兩個(gè)可能方向的一個(gè)作為正方向（或正向），則我們就把C稱為有向曲線．與曲線C反方向的曲線記為

定義3.1.1：

簡(jiǎn)單閉曲線正向：當(dāng)曲線上的點(diǎn)P順此方向前進(jìn)時(shí)，鄰近P點(diǎn)的曲線內(nèi)部始終位于P點(diǎn)的左方，這時(shí)曲線方向稱為正方向．

C為區(qū)域D內(nèi)起點(diǎn)為A終點(diǎn)為B的一條有向光滑的簡(jiǎn)單曲線．

分2023/6/212第二頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四2023/6/213第三頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四2023/6/214第四頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四三、復(fù)積分的性質(zhì)因?yàn)閺?fù)積分的實(shí)部和虛部都是曲線積分，因此，曲線積分的一些基本性質(zhì)對(duì)復(fù)積分也成立．（估計(jì)不等式）

2023/6/215第五頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四例1證明：

2023/6/216第六頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四二、積分存在條件及其計(jì)算方法定理1：2023/6/217第七頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四法一計(jì)算這種計(jì)算復(fù)積分方法在已知曲線C方程的條件下適合2023/6/218第八頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四例．解：注意：沿不同的路徑積分的結(jié)果是相同的，即積分與路徑無(wú)關(guān)，

2023/6/219第九頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四解：由此題可以看出，盡管起點(diǎn)、終點(diǎn)都一樣，但由于沿不同的曲線積分，所以積分值也是不同的．練習(xí)：2023/6/2110第十頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四解：綜上所述：這個(gè)積分結(jié)果以后常用，它的特點(diǎn)是與積分路線圓周的中心和半徑無(wú)關(guān)．

例5．2023/6/2111第十一頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四例：推廣：2023/6/2112第十二頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第二節(jié)柯西積分定理

2023/6/2113第十三頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四一、柯西積分定理定理3.2.1：（柯西積分定理）

柯西積分定理表明，函數(shù)滿足一定的條件，則積分與路徑無(wú)關(guān)．

2023/6/2114第十四頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四說(shuō)明：2023/6/2115第十五頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四推論3.2.2：證明：依柯西基本定理2023/6/2116第十六頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四例：．解：2023/6/2117第十七頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四例1：．2023/6/2118第十八頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四二、復(fù)合閉路定理定理3.2.2：證明：一個(gè)解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不會(huì)因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)的變形而改變它值這事實(shí)稱閉路變形定理．

2023/6/2119第十九頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四例2：2023/6/2120第二十頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四三、原函數(shù)與不定積分推論3.2.2：1．積分上限函數(shù)

2023/6/2121第二十一頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四定理3.2.4：2023/6/2122第二十二頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四2．原函數(shù)的概念結(jié)論：2023/6/2123第二十三頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四定理3.2.5：證明：類似于微積分學(xué)中的基本定理和牛頓——萊布尼茲公式

有了定理3.2.5，復(fù)變函數(shù)的積分就可用跟實(shí)變量函數(shù)微積分學(xué)中類似的方法計(jì)算，分部積分法，換元積分法均可用在復(fù)變函數(shù)積分中．

2023/6/2124第二十四頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四例6．解：例4：例5：2023/6/2125第二十五頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三節(jié)柯西積分公式一、柯西積分公式2023/6/2126第二十六頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四2023/6/2127第二十七頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四定理3.3.1：(柯西積分公式）2023/6/2128第二十八頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四2023/6/2129第二十九頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四2023/6/2130第三十頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第四節(jié)解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)一、解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式一個(gè)解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù)，而且有各高階導(dǎo)數(shù)，它的值也可以用函數(shù)在邊界上的值通過(guò)積分來(lái)表示．這一點(diǎn)跟實(shí)變函數(shù)完全不同，一個(gè)實(shí)變函數(shù)在某一區(qū)間上可導(dǎo)，它的導(dǎo)數(shù)在這個(gè)區(qū)間上是否連續(xù)也不一定，更不要說(shuō)有高階導(dǎo)數(shù)存在了．下面我們討論解析函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)的解析問(wèn)題．再繼續(xù)又可得：

這是求導(dǎo)與積分兩種運(yùn)算允許交換的條件下推出的，這樣作是否可行呢？我們對(duì)此加以討論．2023/6/2131第三十一頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四定理3.3