第一節(jié) 二重積分概念與性質(zhì)

第一節(jié)二重積分概念與性質(zhì)第一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四三、二重積分的性質(zhì)第一節(jié)一、引例二、二重積分的定義與可積性四、曲頂柱體體積的計算機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二重積分的概念與性質(zhì)第八章第二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四解法:類似定積分解決問題的思想:一、引例1.曲頂柱體的體積

給定曲頂柱體:底：

xoy面上的閉區(qū)域D頂:連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢的邊界為準線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“大化小,常代變,近似和,求極限”機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n個2)“常代變”在每個3)“近似和”則中任取一點小曲頂柱體機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四4)“取極限”令機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四2.平面薄片的質(zhì)量

有一個平面薄片,在xoy平面上占有區(qū)域D,計算該薄片的質(zhì)量M.度為設D的面積為

,則若非常數(shù),仍可用其面密“大化小,常代變,近似和,求極限”解決.1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個小區(qū)域相應把薄片也分為小區(qū)域.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四2)“常代變”中任取一點3)“近似和”4)“取極限”則第k小塊的質(zhì)量機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四兩個問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結(jié)構式相同“大化小,常代變,近似和,取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域D

任意分成n個小區(qū)域任取一點若存在一個常數(shù)I,使可積,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達式面積元素記作是定義在有界區(qū)域D上的有界函數(shù),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質(zhì)量:如果在D上可積,也常二重積分記作這時分區(qū)域D,因此面積元素可用平行坐標軸的直線來劃記作機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四二重積分存在定理:若函數(shù)定理2.(證明略)定理1.在D上可積.限個點或有限個光滑曲線外都連續(xù),積.在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域D上除去有例如,在D:上二重積分存在.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四三、二重積分的性質(zhì)(k為常數(shù))

為D的面積,則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四特別,由于則5.若在D上6.設D的面積為

,則有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四7.(二重積分的中值定理)證:由性質(zhì)6可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點在閉區(qū)域D上

為D的面積,則至少存在一點使使連續(xù),因此機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四例1.

比較下列積分的大小:其中解:積分域D的邊界為圓周它與x軸交于點(1,0),而域D位從而于直線的上方,故在D上機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四例2.判斷積分的正負號.解:分積分域為則原式=猜想結(jié)果為負

但不好估計.舍去此項機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四例3.估計下列積分之值解:D的面積為由于積分性質(zhì)5即:1.96I2D機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四8.設函數(shù)D位于x軸上方的部分為D1,當區(qū)域關于y軸對稱,函數(shù)關于變量x有奇偶性時,仍在D上在閉區(qū)域上連續(xù),域D關于x軸對稱,則則有類似結(jié)果.在第一象限部分,則有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四四、曲頂柱體體積的計算設曲頂柱的底為任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四同樣,曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計算機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四例4.求兩個底圓半徑為R的直角圓柱面所圍的體積.解:設兩個直圓柱方程為利用對稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四內(nèi)容小結(jié)1.二重積分的定義2.二重積分的性質(zhì)(與定積分性質(zhì)相似)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.曲頂柱體體積的計算二次積分法第二十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四被積函數(shù)相同,且非負,思考與練習解:

由它們的積分域范圍可知1.比較下列積分值的大小關系:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四2.設D

是第二象限的一個有界閉域,且0<y<1,則的大小順序為()提示:因0<y<1,故故在D上有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四

P551,2第二節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束作業(yè)第二十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四備用題1.估計的值,其中D