積公式的推導(dǎo)方法,并能熟記公式內(nèi)容

積公式的推導(dǎo)方法,并能熟記公式內(nèi)容第一頁，共十頁，編輯于2023年，星期一（同學(xué)們立即反駁，此辦法不可能實(shí)現(xiàn)）生甲：（申辯）如果像家里削水果皮那樣（想象水果是個(gè)球體），球的表面就會(huì)被削下來，然后展開，再進(jìn)行計(jì)算．生乙：削下來的球表面是螺旋狀連接的，根本無法展平．另外，條形表面也有一定的彎曲度．生甲：那可以把條形表面盡可能地削得窄一點(diǎn)，彎曲度也會(huì)隨之變小，也就接近平面圖形了．生丙：（好像受到了啟發(fā)）我們要求球的表面積，可以先求半球面的大小．用一組平行于底面圓的平面去截球面，隨著平行平面間距離的逐漸減小，原來彎曲的球面就轉(zhuǎn)化為一族圓柱側(cè)面的總和，圓柱側(cè)面積有計(jì)算公式，那么再找到這一族圓柱側(cè)面積之間的大小關(guān)系，最后求出這所有圓柱側(cè)面積之和，我們要求的球表面積就可以解決了．生丁：我想用一些很小的正方形去貼滿球體表面，那么只要求出這些小正方形的面積和，問題也可以解決．……師：同學(xué)們的想法都很好．要求球的表面積不再能簡(jiǎn)單地利用已學(xué)過的幾何體側(cè)面展開的辦法了，因?yàn)閷?duì)球體而言，無論怎樣剪開，它還是曲面，不可能成為平面圖形．第二頁，共十頁，編輯于2023年，星期一大家可以來仔細(xì)分析一下剛才幾位同學(xué)的解題方案，都有一個(gè)共同的想法，這就是我們將要在高二進(jìn)一步學(xué)習(xí)的極限思想．若把球表面無限分割，將會(huì)得到許多近似于平面圖形的圖形．問題解決已有些眉目，再讓咱們大家集思廣議，完善求解方法．（課堂內(nèi)鴉雀無聲）（需引導(dǎo)一下）二、新課師：回憶一下，在平面幾何的學(xué)習(xí)過程中，求圓的周長公式，我們采取了什么辦法？生：是用圓內(nèi)接正多邊形的周長來近似地表示它的．師：當(dāng)邊數(shù)逐漸增加時(shí)，正多邊形的周長就越來越接近圓的周長．當(dāng)邊數(shù)無限增加時(shí)，圓內(nèi)接正多邊形的周長就是圓的周長，這正是“以直代曲”的嘗試．我們是否可以對(duì)此方法稍加改造，來完成球的表面積計(jì)算公式的推導(dǎo)？生丙：我想用球的內(nèi)接圓柱的側(cè)面積來近似求球表面積，只要用越來越多的平行平面把球分割，那么所得到的許多個(gè)內(nèi)接圓柱的側(cè)面積的全體就越來越接近球的表面積了．第三頁，共十頁，編輯于2023年，星期一師：只能用球的內(nèi)接圓柱去研究嗎？生：圓臺(tái)也可以．師：下面，我們以圓臺(tái)為例，證明一個(gè)預(yù)備定理．目的是求出球內(nèi)接圓臺(tái)的側(cè)面積公式．（板書引理）引理

球面內(nèi)接圓臺(tái)（圓臺(tái)上、下底面是球的兩個(gè)平行截面）的高為h，球心到母線的距離為P，那么圓臺(tái)的側(cè)面積為2πPh．已知：球面O的內(nèi)接圓臺(tái)的高O1O2=h，球心O到母線AD的距離OE=P．求證：S圓臺(tái)側(cè)=2πPh．師：要利用圓臺(tái)側(cè)面積公式需尋找哪些幾何量？生：圓臺(tái)的上、下底面半徑r1，r2和母線l．師：對(duì)照公式S圓臺(tái)側(cè)=π（r1＋r2）l，則只需證明2Ph=（r1＋r2）l即可．第四頁，共十頁，編輯于2023年，星期一此題研究對(duì)象是一個(gè)組合體，我們?nèi)绾螠贤ㄟ@兩個(gè)幾何體元素之間的關(guān)系？生：做圓臺(tái)的軸截面，此截面正好是球的大圓所在平面．證明：過圓臺(tái)的軸的平面截圓臺(tái)和球分別得軸截面ABCD和球的大圓⊙O，這時(shí)ABCD是⊙O的內(nèi)接等腰梯形．作OE⊥AD，垂足E是AD的中點(diǎn)，OE=P．再作DG⊥AB，EF⊥O1O2，垂足分別是G，F(xiàn)，那么DG=h．設(shè)圓臺(tái)上、下底面半徑為r1，r2，母線長為l，則第五頁，共十頁，編輯于2023年，星期一第六頁，共十頁，編輯于2023年，星期一下一步，求半球面的面積．用n-1個(gè)平行于半球大圓面的平面將半球分為n個(gè)部分，使每一部分的母線都相等，則球心到它們的母線的距離都是p，而它們的高分別為h1，h2，h3，…，hn．于是這些圓臺(tái)、圓錐的側(cè)面積的和為S＝2πph1+2πph2+…+2πphn＝2πp（h1＋h2＋…＋hn）=2πpR．如果平行平面無限增加，這些圓臺(tái)、圓錐的側(cè)面和就無限地接近于半球面，同時(shí)p無限地接近于R．當(dāng)p變?yōu)镽時(shí)，側(cè)面積的和S變?yōu)?πR2，我們把這個(gè)和作為半球面的面積．由此，完成我們的研究任務(wù)，可得結(jié)論：定理

球面面積等于它的大圓面積的4倍師：球的表面積由幾個(gè)幾何量來確定？生：球的表面積只由球半徑的大小決定．第七頁，共十頁，編輯于2023年，星期一三、課堂練習(xí)例1

求出球的表面積與球的外切圓柱的側(cè)面積之比．師：球的外切圓柱與球有什么幾何關(guān)系？生：球的外切圓柱的底面圓半徑與球半徑相同，圓柱的高為球的直徑．（請(qǐng)一位同學(xué)板演）解：因?yàn)镾球面=4πR2，S圓柱側(cè)=2πR（2R）所以S球面∶S圓柱側(cè)=1∶1．例2

口答下面問題，并說明理由．（1）球的半徑擴(kuò)大n倍，它的面積擴(kuò)大多少倍？（2）球的面積擴(kuò)大n倍，它的半徑擴(kuò)大多少倍？（3）球大圓的面積擴(kuò)大n倍，球面積擴(kuò)大多少倍？（4）球的面積擴(kuò)大n倍，球的大圓面積擴(kuò)大多少倍？第八頁，共十頁，編輯于2023年，星期一第九頁，共十頁，編輯于2023年，星期一四、小結(jié)在本節(jié)課內(nèi)，我們講了（1）球表面積等于它的大圓面積的4倍．（2）“以直代曲”的研究方法．（3）無限分割和逐次逼近的數(shù)學(xué)方法．五、作業(yè)1．課本p．92．6，2．課本p．92．7，3．課本p．92．8，4．兩底面半徑為r1和r2（r1＜r2）的圓臺(tái)中有一個(gè)內(nèi)切球，求這個(gè)球的表面積．（4πr1r2）5．（思考題）球面上有四個(gè)點(diǎn)P，A，B，C，如果PA，PB，PC兩兩互相垂直，且P