第2章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ 第9節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用_第1頁
第2章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ 第9節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用_第2頁
第2章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ 第9節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用_第3頁
第2章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ 第9節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用_第4頁
第2章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ 第9節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用_第5頁
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第9節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用考試要求1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長(zhǎng)特征,結(jié)合具體實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義;2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用.1.指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同2.幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)=ax+b(a,b為常數(shù),a≠0)二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)=bax+c(a,b,c為常數(shù),a>0且a≠1,b≠0)與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)=blogax+c(a,b,c為常數(shù),a>0且a≠1,b≠0)與冪函數(shù)相關(guān)的模型f(x)=axn+b(a,b,n為常數(shù),a≠0)1.“直線上升”是勻速增長(zhǎng),其增長(zhǎng)量固定不變;“指數(shù)增長(zhǎng)”先慢后快,其增長(zhǎng)量成倍增加,常用“指數(shù)爆炸”來形容;“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”先快后慢,其增長(zhǎng)量越來越小.2.充分理解題意,并熟練掌握幾種常見函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3.易忽視實(shí)際問題中自變量的取值范圍,需合理確定函數(shù)的定義域,必須驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)實(shí)際問題的合理性.1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)某種商品進(jìn)價(jià)為每件100元,按進(jìn)價(jià)增加10%出售,后因庫存積壓降價(jià),若按九折出售,則每件還能獲利.()(2)函數(shù)y=2x的函數(shù)值比y=x2的函數(shù)值大.()(3)不存在x0,使ax0<xeq\o\al(n,0)<logax0.()(4)在(0,+∞)上,隨著x的增大,y=ax(a>1)的增長(zhǎng)速度會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xa(a>0)的增長(zhǎng)速度.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)9折出售的售價(jià)為100(1+10%)×eq\f(9,10)=99(元).∴每件賠1元,(1)錯(cuò)誤.(2)中,當(dāng)x=2時(shí),2x=x2=4.不正確.(3)中,如a=x0=eq\f(1,2),n=eq\f(1,4),不等式成立,因此(3)錯(cuò)誤.2.(易錯(cuò)題)已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,當(dāng)x∈(4,+∞)時(shí),對(duì)三個(gè)函數(shù)的增長(zhǎng)速度進(jìn)行比較,下列選項(xiàng)中正確的是()A.f(x)>g(x)>h(x)B.g(x)>f(x)>h(x)C.g(x)>h(x)>f(x)D.f(x)>h(x)>g(x)答案B解析在同一坐標(biāo)系內(nèi),根據(jù)函數(shù)圖象變化趨勢(shì),當(dāng)x∈(4,+∞)時(shí),增長(zhǎng)速度大小排列為g(x)>f(x)>h(x).3.(易錯(cuò)題)當(dāng)生物死亡后,其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半,這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”.當(dāng)死亡生物體內(nèi)的碳14含量不足死亡前的千分之一時(shí),用一般的放射性探測(cè)器就測(cè)不到了.若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測(cè)器探測(cè)不到,則它經(jīng)過的“半衰期”個(gè)數(shù)至少是()A.8 B.9 C.10 D.11答案C解析設(shè)該死亡生物體內(nèi)原有的碳14的含量為1,則經(jīng)過n個(gè)“半衰期”后的含量為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n),由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)<eq\f(1,1000),得n≥10.所以,若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測(cè)器探測(cè)不到,則它至少需要經(jīng)過10個(gè)“半衰期”.4.(2022·江蘇新高考基地大聯(lián)考)香農(nóng)定理是所有通信制式最基本的原理,它可以用香農(nóng)公式C=Blog2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(S,N)))來表示,其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量,B是信道帶寬(Hz),S是平均信號(hào)功率(W),N是平均噪聲功率(W).已知平均信號(hào)功率為1000W,平均噪聲功率為10W,在不改變平均信號(hào)功率和信道帶寬的前提下,要使信道容量增大到原來的2倍,則平均噪聲功率約降為()A.0.1W B.1.0W C.3.2W D.5.0W答案A解析由題意可得S=1000,N=10,則在信道容量未增大時(shí),信道容量為C1=Blog2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(S,N)))=Blog2101,設(shè)信道容量增大到原來的2倍時(shí),平均噪聲功率為N′W,此時(shí)信道容量C2=Blog2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1000,N′)))=2C1,則log21012=log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1000,N′))),即1+eq\f(1000,N′)=1012,解得N′≈0.1,故選A.5.用長(zhǎng)度為24的材料圍一矩形場(chǎng)地,中間加兩道隔墻,要使矩形的面積最大,則隔墻的長(zhǎng)度為________.答案3解析設(shè)隔墻的長(zhǎng)度為x(0<x<6),矩形面積為y,則y=x×eq\f(24-4x,2)=2x(6-x)=-2(x-3)2+18,∴當(dāng)x=3時(shí),y最大.6.(2020·北京卷)為滿足人民對(duì)美好生活的向往,環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理,排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改.設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間t的關(guān)系為W=f(t),用-eq\f(f(b)-f(a),b-a)的大小評(píng)價(jià)在[a,b]這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱.已知整改期內(nèi),甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如圖所示.給出下列四個(gè)結(jié)論:①在[t1,t2]這段時(shí)間內(nèi),甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng);②在t2時(shí)刻,甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng);③在t3時(shí)刻,甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo);④甲企業(yè)在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]這三段時(shí)間中,在[0,t1]的污水治理能力最強(qiáng).其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________.答案①②③解析-eq\f(f(b)-f(a),b-a)表示在[a,b]上割線斜率的相反數(shù),-eq\f(f(b)-f(a),b-a)越大治理能力越強(qiáng).對(duì)于①,在[t1,t2]這段時(shí)間內(nèi),甲企業(yè)對(duì)應(yīng)圖象的割線斜率的相反數(shù)大,故甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng),正確;對(duì)于②,要比較t2時(shí)刻的污水治理能力,即看在t2時(shí)刻兩曲線的切線斜率,切線斜率的相反數(shù)越大,污水治理能力越強(qiáng),故在t2時(shí)刻,甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng),正確;對(duì)于③,在t3時(shí)刻,甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都在污水達(dá)標(biāo)排放量以下,正確;對(duì)于④,甲在[t1,t2]這段時(shí)間內(nèi)的污水治理能力最強(qiáng),錯(cuò)誤.綜上,正確的序號(hào)為①②③.考點(diǎn)一利用函數(shù)圖象刻畫變化過程1.已知高為H,滿缸水量為V的魚缸的軸截面如圖所示,其底部破了一個(gè)小洞,滿缸水從洞中流出,若魚缸水深為h時(shí)水的體積為v,則函數(shù)v=f(h)的大致圖象是()答案B解析當(dāng)h=0時(shí),v=0,故可排除A,C;當(dāng)h∈[0,H]時(shí),不妨將水“流出”設(shè)想為“流入”.當(dāng)h每增加一個(gè)單位增量Δh時(shí),根據(jù)魚缸形狀可知,函數(shù)v的變化,開始其增量越來越大,經(jīng)過中截面后增量越來越小,故v=f(h)的圖象是先凹后凸的,故選B.2.小菲在學(xué)校選修課中了解到艾賓浩斯遺忘曲線,為了解自己記憶一組單詞的情況,她記錄了隨后一個(gè)月的有關(guān)數(shù)據(jù),繪制圖象,擬合了記憶保持量f(x)與時(shí)間x(天)之間的函數(shù)關(guān)系f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-\f(7,20)x+1,0<x≤1,,\f(1,5)+\f(9,20)x-\f(1,2),1<x≤30.))則下列說法錯(cuò)誤的是()A.隨著時(shí)間的增加,小菲的單詞記憶保持量降低B.第一天小菲的單詞記憶保持量下降最多C.9天后,小菲的單詞記憶保持量低于40%D.26天后,小菲的單詞記憶保持量不足20%答案D解析由函數(shù)解析式可知f(x)隨著x的增加而減少,故A正確;由圖象可得B正確;當(dāng)1<x≤30時(shí),f(x)=eq\f(1,5)+eq\f(9,20)x-eq\f(1,2),則f(9)=eq\f(1,5)+eq\f(9,20)×9-eq\f(1,2)=0.35,即9天后,小菲的單詞記憶保持量低于40%,故C正確;f(26)=eq\f(1,5)+eq\f(9,20)×26-eq\f(1,2)>eq\f(1,5),故D錯(cuò)誤.3.(2022·鄭州質(zhì)檢)水池有兩個(gè)相同的進(jìn)水口和一個(gè)出水口,每個(gè)口進(jìn)出水的速度如圖甲、乙所示,某天0時(shí)到6時(shí)該水池的蓄水量如圖丙所示,給出以下3個(gè)論斷:①0時(shí)到3時(shí)只進(jìn)水不出水;②3時(shí)到4時(shí)不進(jìn)水只出水;③4時(shí)到5時(shí)不進(jìn)水也不出水.則一定正確的論斷是________(填序號(hào)).答案①解析由甲、乙、丙圖可得進(jìn)水速度為1,出水速度為2,結(jié)合丙圖中直線的斜率可知,只進(jìn)水不出水時(shí),蓄水量增加的速度是2,故①正確;不進(jìn)只出水時(shí),蓄水量減少的速度為2,故②不正確;兩個(gè)進(jìn)水,一個(gè)出水時(shí),蓄水量減少的速度也是0,故③不正確.4.(2021·西安調(diào)研)為研究西南高寒山區(qū)一種常見樹的生長(zhǎng)周期中前10年的生長(zhǎng)規(guī)律,統(tǒng)計(jì)顯示,生長(zhǎng)4年的樹高為eq\f(7,3)米,如圖所示的散點(diǎn)圖,記錄了樣本樹的生長(zhǎng)時(shí)間t(年)與樹高y(米)之間的關(guān)系.請(qǐng)你據(jù)此判斷,在下列函數(shù)模型:①y=2t-a;②y=a+log2t;③y=eq\f(1,2)t+a;④y=eq\r(t)+a中(其中a為正的常實(shí)數(shù)),擬合生長(zhǎng)年數(shù)與樹高的關(guān)系最好的是________(填寫序號(hào)),估計(jì)該樹生長(zhǎng)8年后的樹高為________米.答案②eq\f(10,3)解析由散點(diǎn)圖的走勢(shì),知模型①不合適.曲線過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4,\f(7,3))),則后三個(gè)模型的解析式分別為②y=eq\f(1,3)+log2t;③y=eq\f(1,2)t+eq\f(1,3);④y=eq\r(t)+eq\f(1,3),當(dāng)t=1時(shí),代入④中,得y=eq\f(4,3),與圖不符,易知擬合最好的是②.將t=8代入②式,得y=eq\f(1,3)+log28=eq\f(10,3)(米).感悟提升1.當(dāng)根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時(shí),則根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn),結(jié)合圖象的變化趨勢(shì),驗(yàn)證是否吻合,從中排除不符合實(shí)際的情況,選出符合實(shí)際情況的答案.2.圖形、表格能直觀刻畫兩變量間的依存關(guān)系,考查了數(shù)學(xué)直觀想象核心素養(yǎng).考點(diǎn)二二次函數(shù)模型例1(1)某汽車銷售公司在A,B兩地銷售同一種品牌的汽車,在A地的銷售利潤(單位:萬元)為y1=4.1x-0.1x2,在B地的銷售利潤(單位:萬元)為y2=2x,其中x為銷售量(單位:輛),若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車,則能獲得的最大利潤是()A.10.5萬元 B.11萬元C.43萬元 D.43.025萬元(2)某地西紅柿上市后,通過市場(chǎng)調(diào)查,得到西紅柿種植成本Q(單位:元/100kg)與上市時(shí)間t(單位:天)的數(shù)據(jù)如下表:時(shí)間t60100180種植成本Q11684116根據(jù)上表數(shù)據(jù),從下列函數(shù)中選取一個(gè)函數(shù)描述西紅柿種植成本Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系:Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=a·logbt.利用你選取的函數(shù),求:①西紅柿種植成本最低時(shí)的上市天數(shù)是________;②最低種植成本是________元/100kg.答案(1)C(2)①120②80解析(1)設(shè)在A地銷售該品牌的汽車x輛,則在B地銷售該品牌的汽車(16-x)輛,所以可得利潤y=4.1x-0.1x2+2(16-x)=-0.1x2+2.1x+32=-0.1(x-10.5)2+0.1×10.52+32.因?yàn)閤∈[0,16]且x∈N,所以當(dāng)x=10或11時(shí),總利潤取得最大值43萬元.(2)因?yàn)殡S著時(shí)間的增加,種植成本先減少后增加,而且當(dāng)t=60和t=180時(shí)種植成本相等,再結(jié)合題中給出的四種函數(shù)關(guān)系可知,種植成本與上市時(shí)間的變化關(guān)系應(yīng)該用二次函數(shù)Q=at2+bt+c,即Q=a(t-120)2+m描述,將表中數(shù)據(jù)代入可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a(60-120)2+m=116,,a(100-120)2+m=84,))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=0.01,,m=80,))所以Q=0.01(t-120)2+80,故當(dāng)上市天數(shù)為120時(shí),種植成本取到最低值80元/100kg.感悟提升1.二次函數(shù)的最值問題一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決,但一定要注意函數(shù)的定義域,否則極易出錯(cuò).2.解決函數(shù)的應(yīng)用問題時(shí),最后要還原到實(shí)際問題.訓(xùn)練1(1)(2021·廣州模擬)某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2000萬元,并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品,成本增加10萬元.又知總收入K是單位產(chǎn)品數(shù)Q的函數(shù),K(Q)=40Q-eq\f(1,20)Q2,則總利潤L(Q)的最大值是________萬元.(2)某城市對(duì)一種售價(jià)為每件160元的商品征收附加稅,稅率為R%(即每銷售100元征稅R元),若每年銷售量為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(30-\f(5,2)R))萬件,要使附加稅不少于128萬元,則R的取值范圍是()A.[4,8] B.[6,10]C.[4%,8%] D.[6%,10%]答案(1)2500(2)A解析(1)總利潤L(Q)=40Q-eq\f(1,20)Q2-10Q-2000=-eq\f(1,20)Q2+30Q-2000=-eq\f(1,20)(Q-300)2+2500,則當(dāng)Q=300時(shí),L(Q)的最大值為2500萬元.(2)根據(jù)題意,要使附加稅不少于128萬元,需eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(30-\f(5,2)R))×160×R%≥128,整理得R2-12R+32≤0,解得4≤R≤8,即R∈[4,8].考點(diǎn)三指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型例2(1)一個(gè)放射性物質(zhì)不斷衰變?yōu)槠渌镔|(zhì),每經(jīng)過一年就有eq\f(3,4)的質(zhì)量發(fā)生衰變.若該物質(zhì)余下質(zhì)量不超過原有的1%,則至少需要的年數(shù)是()A.6 B.5 C.4 D.3答案C解析設(shè)這種放射性物質(zhì)最初的質(zhì)量為1,經(jīng)過x(x∈N)年后,剩余量是y,則有y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x).依題意得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x)≤eq\f(1,100).則22x≥100,解得x≥4.所以至少需要的年數(shù)是4.(2)(2021·唐山聯(lián)考)盡管目前人類還無法準(zhǔn)確地預(yù)報(bào)地震,但科學(xué)家通過研究,已經(jīng)對(duì)地震有所了解,例如,地震釋放出的能量E(單位:焦耳)與地震里氏震級(jí)M之間的關(guān)系為lgE=4.8+1.5M.①已知地震等級(jí)劃分為里氏12級(jí),根據(jù)等級(jí)范圍又分為三種類型,其中小于2.5級(jí)的為“小地震”,介于2.5級(jí)到4.7級(jí)之間的為“有感地震”,大于4.7級(jí)的為“破壞性地震”,若某次地震釋放能量約1012焦耳,試確定該次地震的類型;②2008年汶川地震為里氏8級(jí),2011年日本地震為里氏9級(jí),問:2011年日本地震所釋放的能量是2008年汶川地震所釋放的能量的多少倍?(取eq\r(10)=3.2)解①該次地震釋放能量約1012焦耳,即E=1012代入lgE=4.8+1.5M,化簡(jiǎn)得M=eq\f(lg1012-4.8,1.5)=eq\f(12-4.8,1.5)=4.8.因?yàn)?.8>4.7,所以該次地震為“破壞性地震”.②設(shè)汶川地震、日本地震所釋放的能量分別為E1,E2.由題意知,lgE1=4.8+1.5×8=16.8,lgE2=4.8+1.5×9=18.3,即E1=1016.8,E2=1018.3,所以eq\f(E2,E1)=101.5=10eq\r(10),取eq\r(10)=3.2,得eq\f(E2,E1)=32.故2011年日本地震所釋放的能量是2008年汶川地震所釋放的能量的32倍.感悟提升指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型解題,關(guān)鍵是對(duì)模型的判斷,先設(shè)定模型,將有關(guān)數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證,確定參數(shù),求解時(shí)要準(zhǔn)確進(jìn)行指、對(duì)數(shù)運(yùn)算,靈活進(jìn)行指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化.訓(xùn)練2(2021·貴陽調(diào)研)一片森林原來面積為a,計(jì)劃每年砍伐一些樹,且每年砍伐面積的百分比相等,當(dāng)砍伐到面積的一半時(shí),所用時(shí)間是10年,為保護(hù)生態(tài)環(huán)境,森林面積至少要保留原面積的eq\f(1,4),已知到今年為止,森林剩余面積為原來的eq\f(\r(2),2).(1)求每年砍伐面積的百分比;(2)到今年為止,該森林已砍伐了多少年?解(1)設(shè)每年砍伐面積的百分比為x(0<x<1),則a(1-x)10=eq\f(1,2)a,即(1-x)10=eq\f(1,2),解得x=1-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,10)).故每年砍伐面積的百分比為1-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,10)).(2)設(shè)經(jīng)過m年剩余面積為原來的eq\f(\r(2),2),則a(1-x)m=eq\f(\r(2),2)a,把x=1-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,10))代入,即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(m,10))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(1,2)),即eq\f(m,10)=eq\f(1,2),解得m=5.故到今年為止,該森林已砍伐了5年.考點(diǎn)四分段函數(shù)模型例3小王大學(xué)畢業(yè)后,決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè).經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查,生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本3萬元,每生產(chǎn)x萬件,需另投入流動(dòng)成本W(wǎng)(x)萬元,在年產(chǎn)量不足8萬件時(shí),W(x)=eq\f(1,3)x2+x(萬元).在年產(chǎn)量不小于8萬件時(shí),W(x)=6x+eq\f(100,x)-38(萬元).每件產(chǎn)品售價(jià)5元.通過市場(chǎng)分析,小王生產(chǎn)的商品當(dāng)年能全部售完.(1)寫出年利潤L(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)解析式;(注:年利潤=年銷售收入-固定成本-流動(dòng)成本)(2)年產(chǎn)量為多少萬件時(shí),小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大?最大利潤是多少?解(1)每件產(chǎn)品售價(jià)為5元,則x萬件產(chǎn)品的銷售收入為5x萬元.當(dāng)0<x<8時(shí),L(x)=5x-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2+x))-3=-eq\f(1,3)x2+4x-3,當(dāng)x≥8時(shí),L(x)=5x-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6x+\f(100,x)-38))-3=35-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(100,x))).故L(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-\f(1,3)x2+4x-3,0<x<8,,35-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(100,x))),x≥8.))(2)當(dāng)0<x<8時(shí),L(x)=-eq\f(1,3)x2+4x-3=-eq\f(1,3)(x-6)2+9;當(dāng)x=6時(shí),L(x)取最大值為L(zhǎng)(6)=9(萬元);當(dāng)x≥8時(shí),L(x)=35-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(100,x)))≤35-2eq\r(x·\f(100,x))=15(萬元)(當(dāng)且僅當(dāng)x=eq\f(100,x),即x=10時(shí),取等號(hào)).綜上,當(dāng)年產(chǎn)量為10萬件時(shí),小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大,最大利潤為15萬元.感悟提升1.分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同,可以先將其看作幾個(gè)問題,將各段的變化規(guī)律分別找出來,再合到一起.要注意各段變量的范圍,特別是端點(diǎn)值.2.分段函數(shù)求最值時(shí),要分段求,然后比較大小得到最值.訓(xùn)練3某校高三(1)班學(xué)生為了籌措經(jīng)費(fèi)給班上購買課外讀物,班委會(huì)成立了一個(gè)社會(huì)實(shí)踐小組,決定利用暑假八月份(按30天計(jì)算)輪流換班去銷售一種時(shí)令水果.在這30天內(nèi)每斤水果的收入p(元)與時(shí)間t(天)滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系,已知日銷售量Q(斤)與時(shí)間t(天)滿足一次函數(shù)關(guān)系(具體數(shù)據(jù)如下表所示).t(天)281624Q(斤)38322416(1)根據(jù)提供的圖象和表格,寫出每斤水果的收入p(元)與時(shí)間t(天)所滿足的函數(shù)關(guān)系式及日銷售量Q(斤)與時(shí)間t(天)的一次函數(shù)關(guān)系式;(2)寫出銷售水果的日收入y(元)與t的函數(shù)關(guān)系式,并求這30天中第幾天的日收入最大?最大為多少元?解(1)依題意可設(shè)p=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1t+b1,0<t≤20,,k2t+b2,20<t≤30,))當(dāng)0<t≤20時(shí),函數(shù)p1=k1t+b1的圖象過點(diǎn)(0,2),(20,4)得k1=eq\f(1,10),b1=2;當(dāng)20<t≤30時(shí),函數(shù)p2=k2t+b2的圖象過點(diǎn)(20,4),(30,3)得k2=-eq\f(1,10),b2=6.所以p=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)t+2,0<t≤20,,-\f(1,10)t+6,20<t≤30.))令Q=mt+n,由表中數(shù)據(jù)得m=-1,n=40,所以Q=-t+40(0<t≤30).(2)由y=pQ得y=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-\f(1,10)t2+2t+80,0<t≤20,,\f(1,10)t2-10t+240,20<t≤30,))當(dāng)0<t≤20時(shí),y1=-eq\f(1,10)t2+2t+80在(0,10)上單調(diào)遞增,在(10,20)上單調(diào)遞減,所以當(dāng)t=10時(shí),y1有最大值為90元;當(dāng)20<t≤30時(shí),y2=eq\f(1,10)t2-10t+240在(20,30)上單調(diào)遞減,所以y2∈[30,80).綜合上述,在第十天時(shí)日收入最大,最大值為90元.1.某工廠6年來生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是:前3年年產(chǎn)量的增長(zhǎng)速度越來越快,后3年年產(chǎn)量保持不變,則該廠6年來這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系圖象正確的是()答案A解析前3年年產(chǎn)量的增長(zhǎng)速度越來越快,說明呈高速增長(zhǎng),只有A,C圖象符合要求,而后3年年產(chǎn)量保持不變,故選A.2.(2022·綿陽診斷)某數(shù)學(xué)小組進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐調(diào)查,了解到某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤目標(biāo),準(zhǔn)備制訂激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案:在銷售利潤超過10萬元時(shí),按銷售利潤進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),且獎(jiǎng)金y(單位:萬元)隨銷售利潤x(單位:萬元)的增加而增加,但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元,同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤的25%.同學(xué)們利用函數(shù)知識(shí),設(shè)計(jì)了如下函數(shù)模型,其中符合公司要求的是(參考數(shù)據(jù):1.0021000≈7.37,lg7≈0.845)()A.y=0.25x B.y=1.002xC.y=log7x+1 D.y=taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,10)-1))答案C解析選項(xiàng)A,B,C均滿足條件①,但當(dāng)x>20時(shí),A選項(xiàng)不滿足條件②,所以A不符合題意;當(dāng)x=1000時(shí),有y=1.0021000≈7.37>5,不符合條件②,所以B不符合題意;而對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)10<x≤1000時(shí),有ymax=log71000+1=3log710+1=eq\f(3,lg7)+1≈4.550<5,且log7x+1≤25%x恒成立,所以滿足條件②③,故選項(xiàng)C符合題意,故選C.3.(2021·全國大聯(lián)考)如圖,矩形花園ABCD的邊AB靠在墻PQ上,另外三邊是由籬笆圍成的.若該矩形花園的面積為4平方米,墻PQ足夠長(zhǎng),則圍成該花園所需要籬笆的()A.最大長(zhǎng)度為8米B.最大長(zhǎng)度為4eq\r(2)米C.最小長(zhǎng)度為8米D.最小長(zhǎng)度為4eq\r(2)米答案D解析設(shè)BC=a米,CD=b米,則ab=4,所以圍成矩形花園所需要的籬笆長(zhǎng)度為2a+b=2a+eq\f(4,a)≥2eq\r(2a·\f(4,a))=4eq\r(2),當(dāng)且僅當(dāng)2a=eq\f(4,a),即a=eq\r(2)時(shí)取等號(hào).故籬笆最小長(zhǎng)度為4eq\r(2)米.4.(2022·蘭州質(zhì)檢)設(shè)光線通過一塊玻璃,光線強(qiáng)度損失10%,如果光線原來的強(qiáng)度為k(k>0),通過x塊這樣的玻璃以后光線的強(qiáng)度為y,則y=k·0.9x(x∈N*),那么光線強(qiáng)度減弱到原來的eq\f(1,3)以下時(shí),至少通過這樣的玻璃的塊數(shù)為(參考數(shù)據(jù):lg3≈0.477)()A.9 B.10 C.11 D.12答案C解析由題意得k·0.9x<eq\f(k,3)(k>0),化得0.9x<eq\f(1,3),兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù),可得xlg0.9<lgeq\f(1,3),因?yàn)閘g0.9<0,所以x>eq\f(lg\f(1,3),lg0.9)=eq\f(-lg3,2lg3-1)≈eq\f(-0.477,-0.046)≈10.37,則至少通過11塊玻璃.5.(2021·濟(jì)南檢測(cè))人們用分貝(dB)來劃分聲音的等級(jí),聲音的等級(jí)d(x)(單位:dB)與聲音強(qiáng)度x(單位:W/m2)滿足d(x)=9lgeq\f(x,1×10-13).一般兩人小聲交談時(shí),聲音的等級(jí)約為54dB,在有50人的課堂上講課時(shí),老師聲音的等級(jí)約為63dB,那么老師上課時(shí)聲音強(qiáng)度約為一般兩人小聲交談時(shí)聲音強(qiáng)度的()A.1倍 B.10倍C.100倍 D.1000倍答案B解析設(shè)老師上課時(shí)聲音強(qiáng)度,一般兩人小聲交談時(shí)聲音強(qiáng)度分別為x1W/m2,x2W/m2,根據(jù)題意得d(x1)=9lgeq\f(x1,1×10-13)=63,解得x1=10-6,d(x2)=9lgeq\f(x2,1×10-13)=54,解得x2=10-7,所以eq\f(x1,x2)=10,因此,老師上課時(shí)聲音強(qiáng)度約為一般兩人小聲交談時(shí)聲音強(qiáng)度的10倍.6.某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計(jì)圖如圖所示,則下列說法中錯(cuò)誤的是()A.收入最高值與收入最低值的比是3∶1B.結(jié)余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的變化量與4至5月份的收入的變化量相同D.前6個(gè)月的平均收入為40萬元答案D解析由題圖可知,收入最高值為90萬元,收入最低值為30萬元,其比是3∶1,故A正確;由題圖可知,7月份的結(jié)余最高,為80-20=60(萬元),故B正確;由題圖可知,1至2月份的收入的變化量與4至5月份的收入的變化量相同,故C正確;由題圖可知,前6個(gè)月的平均收入為eq\f(1,6)×(40+60+30+30+50+60)=45(萬元),故D錯(cuò)誤.7.我國的煙花名目繁多,其中“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一.制造時(shí)一般是期望在它達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂.如果煙花距地面的高度h(單位:米)與時(shí)間t(單位:s)之間的關(guān)系為h(t)=-4.9t2+14.7t+17,那么煙花沖出后在爆裂的最佳時(shí)刻距地面高度約為________米.答案28解析因?yàn)閔(t)=-4.9t2+14.7t+17,所以煙花沖擊后在爆裂的最佳時(shí)刻為t=-eq\f(14.7,2×(-4.9))=1.5,此時(shí)h(1.5)=-4.9×1.52+14.7×1.5+17≈28.8.李明自主創(chuàng)業(yè),在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店,銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量,李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷:一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120元,顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后,李明會(huì)得到支付款的80%.(1)當(dāng)x=10時(shí),顧客一次購買草莓和西瓜各1盒,需要支付________元;(2)在促銷活動(dòng)中,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折,則x的最大值為________.答案(1)130(2)15解析(1)顧客一次購買草莓和西瓜各1盒,原價(jià)應(yīng)為60+80=140(元),超過了120元可以優(yōu)惠,所以當(dāng)x=10時(shí),顧客需要支付140-10=130(元).(2)由題意知,當(dāng)x確定后,顧客可以得到的優(yōu)惠金額是固定的,所以顧客支付的金額越少,優(yōu)惠的比例越大.而顧客要想得到優(yōu)惠,最少要一次購買2盒草莓,此時(shí)顧客支付的金額為(120-x)元,所以(120-x)×80%≥120×0.7,所以x≤15.即x的最大值為15.9.(2021·武漢模擬)復(fù)利是一種計(jì)算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再計(jì)算下一期的利息.某同學(xué)有壓歲錢1000元,存入銀行,年利率為2.25%,若放入微信零錢通或者支付寶的余額寶,年利率可達(dá)4.01%.如果將這1000元選擇合適方式存滿5年,可以多獲利息________元.(參考數(shù)據(jù):1.02255≈1.118,1.04015≈1.217)答案99解析將1000元錢存入微信零錢通或者支付寶的余額寶,選擇復(fù)利的計(jì)算方法,則存滿5年后的本息和為1000×(1+4.01%)5≈1217(元),故共得利息1217-1000=217(元).將1000元存入銀行,則存滿5年后的本息和為1000×(1+2.25%)5≈1118(元),即獲利息1118-1000=118(元).故可以多獲利息217-118=99(元).10.候鳥每年都要隨季節(jié)的變化而進(jìn)行大規(guī)模的遷徙,研究某種鳥類的專家發(fā)現(xiàn),該種鳥類的飛行速度v(單位:m/s)與其耗氧量Q之間的關(guān)系為v=a+blog3eq\f(Q,10)(其中a,b是實(shí)數(shù)).據(jù)統(tǒng)計(jì),該種鳥類在靜止時(shí)其耗氧量為30個(gè)單位,而其耗氧量為90個(gè)單位時(shí),其飛行速度為1m/s.(1)求出a,b的值;(2)若這種鳥類為趕路程,飛行的速度不能低于2m/s,則其耗氧量至少要多少個(gè)單位?解(1)由題意可知,當(dāng)這種鳥類靜止時(shí),它的速度為0m/s,此時(shí)耗氧量為30個(gè)單位,故有a+blog3eq\f(30,10)=0,即a+b=0.當(dāng)耗氧量為90個(gè)單位時(shí),速度為1m/s,故有a+blog3eq\f(90,10)=1,即a+2b=1.解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a+b=0,,a+2b=1,))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=-1,,b=1.))即a,b的值分別為-1和1.(2)由(1)知,v=-1+log3eq\f(Q,10).所以要使飛行速度不低于2m/s,則有v≥2,故-1+log3eq\f(Q,10)≥2,解得Q≥270.所以若這種鳥類為趕路程,飛行的速度不能低于2m/s時(shí),其耗氧量至少要270個(gè)單位.11.近年來,“共享單車”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大的方便,某共享單車公司計(jì)劃在甲、乙兩座城市共投資240萬元.根據(jù)行業(yè)規(guī)定,每個(gè)城市至少要投資80萬元,由前期市場(chǎng)調(diào)研可知:甲城市收益P與投入a(單位:萬元)滿足P=4eq\r(2a)-6,乙城市收益Q與投入a(單位:萬元)滿足Q=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)a+2,80≤a≤120,,32,120<a≤160,))設(shè)甲城市的投入為x(單位:萬元),兩個(gè)城市的總收益為f(x)(單位:萬元).(1)當(dāng)投資甲城市128萬元時(shí),求此時(shí)公司的總收益;(2)試問:如何安排甲、乙兩個(gè)城市的投資,才能使公司總收益最大?解(1)當(dāng)x=128,即甲城市投資128萬元時(shí),乙城市投資112萬元,所以f(128)=4×eq\r(2×128)-6+eq\f(1,4)×112+2=88(萬元).因此,此時(shí)公司的總收益為88萬元.(2)由題意知,甲城市投資x萬元,則乙城市投資(240-x)萬元,依題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥80,,240-x≥80,))解之得80≤x≤160,當(dāng)80≤x<120,即120<240-x≤160時(shí),f(x)=4eq\r(2x)-6+32=4eq\r(2x)+26<26+16eq\r(15).當(dāng)120≤x≤160,即80≤240-x≤120時(shí),f(x)=4eq\r(2x)-6+eq\f(1,4)(240-x)+2=-eq\f(1,4)x+4eq\r(2x)+56.令t=eq\r(x),則t∈[2eq\r(30),4eq\r(10)],所以y=-eq\f(1,4)t2+4eq\r(2)t+56=-eq\f(1,4)(t-8eq\r(2))2+88.當(dāng)t=8eq\r(2),即x=128時(shí),y取最大值88.因?yàn)?8-(26+16eq\r(15))=2×(31-8eq\r(15))>0,故f(x)的最大值為88.因此,當(dāng)甲城市投資128萬元,乙城市投資112萬元時(shí),總收益最大,且最大收益為88萬元.12.(2022·保定質(zhì)檢)分子間作用力是只存在于分子與分子之間或惰性氣體原子間的作用力,在一定條件下,兩個(gè)原子接近,則彼此因靜電作用產(chǎn)生極化,從而導(dǎo)致有相互作用力,稱范德瓦爾斯相互作用.今有兩個(gè)惰性氣體原子,原子核正電荷的電荷量為q,這兩個(gè)相距R的惰性氣體原子組成體系的能量中有靜電相互作用能U,其計(jì)算式子為U=kcq2·(eq\f(1,R)+eq\f(1,R+x1-x2)-eq\f(1,R+x1)-eq\f(1,R-x2)),其中,kc為靜電常量,x1,x2分別表示兩個(gè)原子的負(fù)電中心相對(duì)各自原子核的位移.已知R+x1-x2=Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(x1-x2,R))),R+x1=Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(x1,R))),R-x2=Req\b\lc\(\

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