第一章 數(shù)值分析與科學計算引論

第一章數(shù)值分析與科學計算引論第一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析研究的對象與特點

誤差的來源與誤差分析的重要性誤差的基本概念

數(shù)值運算中誤差分析的方法與原則小結(jié)

第一章緒論第二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四算法的研究和應用正是本課程的主題！現(xiàn)代科學研究的三大支柱理論研究科學實驗科學計算計算數(shù)學第三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四21世紀信息社會的兩個主要特征：“計算機無處不在”“數(shù)學無處不在”21世紀信息社會對科技人才的要求：--會“用數(shù)學”解決實際問題--會用計算機進行科學計算第四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四第一節(jié)數(shù)值分析研究的對象與特點

數(shù)值分析也常稱為計算方法，或者叫數(shù)值計算方法。是研究用計算機解決數(shù)學問題的數(shù)值方法及其理論，是把理論與計算機緊密結(jié)合起來，著重研究數(shù)學問題的數(shù)值方法及其理論。它的內(nèi)容包括：第五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四建立數(shù)學模型選取數(shù)值計算方法程序設計上機計算求得結(jié)果科學計算解題過程實際問題第六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析具有的特點：第一：面向計算機；第二：有可靠的理論分析；第三：有較好的計算復雜性；第四：有數(shù)值試驗；第七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四第二節(jié)誤差來源與誤差分析的重要性

模型誤差在建立數(shù)學模型過程中,要將復雜的現(xiàn)象抽象歸結(jié)為數(shù)學模型,往往要忽略一些次要因素的影響,而對問題作一些簡化,因此和實際問題有一定的區(qū)別；觀測誤差在建模和具體運算過程中所用的數(shù)據(jù)往往是通過觀察和測量得到的,由于精度的限制,這些數(shù)據(jù)一般是近似的,即有誤差；由于計算機只能完成有限次算術(shù)運算和邏輯運算,因此要將有些需用極限或無窮截斷誤差過程進行的運算有限化,對無窮過程進行截斷,這就帶來誤差；舍入誤差在數(shù)值計算過程中還會遇到無窮小數(shù),因計算機受到機器字長的限制,它所能表示的數(shù)據(jù)只能有一定的有限位數(shù),如按四舍五入規(guī)則取有限位數(shù),由此引起的誤差。第八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四如:若將前若干項的部分和作為函數(shù)值的近似公式,由于以后各項都舍棄了,自然產(chǎn)生了誤差Taylor展開第九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四過失誤差由于模型錯誤或方法錯誤引起的誤差.這類誤差一般可以避免第十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值計算中除了過失誤差可以避免外,其余誤差都是難以避免的.數(shù)學模型一旦建立,進入具體計算時所考慮和分析的就是截斷誤差和舍入誤差經(jīng)過大量的運算之后,積累的總誤差有時會大得驚人,因此如何控制誤差的傳播也是數(shù)值方法的研究對象.第十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四第三節(jié)誤差的基本概念1．絕對誤差與絕對誤差限例2:若用以厘米為最小刻度的尺去量桌子的長，大約為1.45米，求1.45米的絕對誤差。1.45米的絕對誤差=？不知道！是近似值的絕對誤差,簡稱為誤差。

定義1：設x是準確值，x*為x的一個近似值，稱

（1.5）第十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四但實際問題往往可以估計出不超過某個正數(shù)，即，，則稱

為絕對誤差限，有了絕對誤差限就可以知道x范圍為即x落在內(nèi)。在應用上，常常采用下列寫法來刻劃x*的精度。第十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四2．相對誤差和相對誤差限（1.6）定義2：設x是準確值，x*是近似值，稱滿足

則稱為的相對誤差限。

為近似值的相對誤差，相應地，若正數(shù)，relativeerror第十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四絕對誤差限相對誤差限往往未知代替相對誤差代替相對誤差限因此第十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四例1.解:第十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四例2.解:可見,經(jīng)四舍五入取近似值,其絕對誤差限將不超過其末位數(shù)字的半個單位第十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四定義有6位有效數(shù)字有4位有效數(shù)字有8位有效數(shù)字只有4位有效數(shù)字3有效數(shù)字第十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四且因此,可根據(jù)上述分析對有效數(shù)字有如下結(jié)果:或?qū)懗蓸藴市问剑旱谑彭摚菜氖豁?，編輯?023年，星期四例3.求下列四舍五入近似值的有效數(shù)字個數(shù).3個3個4個4個3個5個第二十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四定理2.證明:第二十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四即則有則由定理1.可知第二十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四例6:解:第二十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四定理3．該結(jié)論可以參照定理2的證明，請同學們自證第二十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四例7.解:則有定理3,相對誤差滿足即應取4位有效數(shù)字,近似值的誤差不超過0.1%.第二十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四即第四節(jié)數(shù)值運算中的誤差分析方法與原則第二十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四第二十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四第二十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四第二十九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四絕對誤差增長因子相對誤差增長因子思考:試分析四則運算、乘方和開方的誤差傳播規(guī)律第三十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四關(guān)于算法的數(shù)值穩(wěn)定性的實際例子

例8.計算定積分解:第三十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四誤差放大5千倍!但如果利用遞推公式第三十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四因此在計算公式選用及算法設計時,應注意以下原則1.四則運算中的穩(wěn)定性問題(1)防止大數(shù)吃小數(shù)這一類問題主要由計算機的位數(shù)引起假如作一個有效數(shù)字為4位的連加運算誤差會放大誤差不會放大第三十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四誤差的傳播與積累例：蝴蝶效應——紐約的一只蝴蝶翅膀一拍，風和日麗的北京就刮起臺風來了？！NYBJ以上是一個病態(tài)問題第三十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四而如果將小數(shù)放在前面計算在作連加時,為防止大數(shù)吃小數(shù),應從小到大進行相加,如此,精度將得到適當改善.當然也可采取別的方法.第三十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四(2)作減法時應避免相近數(shù)相減兩個相近的數(shù)相減,會使有效數(shù)字的位數(shù)嚴重損失由于在算法設計中,若可能出現(xiàn)兩個相近數(shù)相減,則改變計算公式,如使用三角變換、有理化等等第三十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四例9.解方程解:由中學知識韋達定理可知,方程的精確解為而如果在字長為8,基底為10的計算機上利用求根公式機器吃了因此在計算機上第三十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四上式是解二次方程的數(shù)值公式第三十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四(3)避免小數(shù)作除數(shù)和大數(shù)作乘數(shù)由誤差傳播的估計式在算法設計時,要避免這類算法