第1章 集合與常用邏輯用語 第2節(jié) 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件

第一章集合與常用邏輯用語第2節(jié)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件考試要求1.理解命題的概念，了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系；2.理解充分條件、必要條件與充要條件的含義.知識診斷基礎(chǔ)夯實內(nèi)容索引考點突破題型剖析分層訓(xùn)練鞏固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識診斷基礎(chǔ)夯實1知識梳理用語言、符號或式子表達的，可以__________的陳述句叫做命題，其中__________的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題.1.命題判斷真假判斷為真(1)四種命題間的相互關(guān)系2.四種命題及其相互關(guān)系(2)四種命題的真假關(guān)系①兩個命題互為逆否命題，它們具有______的真假性.②兩個命題為互逆命題或互否命題時，它們的真假性沒有關(guān)系.若q，則p若綈p,則綈q若綈q,則綈p相同3.充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的______條件，q是p的______條件

p是q的____________條件p?q且q

?/

pp是q的____________條件p

?/

q且q?pp是q的______條件p?qp是q的既不充分也不必要條件p?/

q且q?/

p充分必要充分不必要必要不充分充要常用結(jié)論1.否命題與命題的否定：否命題是既否定條件，又否定結(jié)論，而命題的否定是只否定命題的結(jié)論.2.區(qū)別A是B的充分不必要條件(A?B且B?/

A)，與A的充分不必要條件是B(B?A且A?/

B)兩者的不同.3.充要關(guān)系與集合的子集之間的關(guān)系，設(shè)A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，(1)若A?B，則p是q的充分條件，q是p的必要條件.(2)若AB，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件.(3)若A＝B，則p是q的充要條件.4.p是q的充分不必要條件，等價于綈q是綈p的充分不必要條件.×診斷自測(1)“x2＋2x－3<0”是命題.(

)(2)當q是p的必要條件時，p是q的充分條件.(

)(3)“若p不成立，則q不成立”等價于“若q成立，則p成立”.(

)(4)若原命題為真，則這個命題的否命題、逆命題、逆否命題中至少有一個為真.(

)1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)√√√解析(1)錯誤.該語句不能判斷真假，故該說法是錯誤的.BA.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件2.(2021·浙江卷)已知非零向量a，b，c，則“a·c＝b·c”是“a＝b”的(

)解析由a·c＝b·c可得(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分條件.BA.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件3.(2021·全國甲卷)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn.設(shè)甲：q＞0，乙：{Sn}是遞增數(shù)列，則(

)解析當a1＜0，q＞1時，an＝a1qn－1＜0，此時數(shù)列{Sn}遞減，所以甲不是乙的充分條件.當數(shù)列{Sn}遞增時，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn＞0，若a1＞0，則qn＞0(n∈N*)，即q＞0；若a1＜0，則qn＜0(n∈N*)，不存在，所以甲是乙的必要條件.綜上，甲是乙的必要條件但不是充分條件.4.(易錯題)命題“若a2＋b2＝0，則a＝0且b＝0”的逆否命題是__________________________.若a≠0或b≠0，則a2＋b2≠0解析由x2－x－6>0，解得x<－2或x>3.因為“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分條件，所以{x|x>a}是{x|x<－2或x>3}的真子集，即a≥3，故a的最小值為3.5.(易錯題)若“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分條件，則a的最小值為________.3解析由x≥0，y≥0?xy≥0，∴原命題成立，則逆否命題也成立.由xy≥0?/

x≥0，y≥0，如x＝－1，y＝－2，∴原命題的逆命題不成立，則原命題的否命題也不成立.6.已知命題“若x≥0，y≥0，則xy≥0”，則原命題、逆命題、否命題、逆否命題這四個命題中，真命題的個數(shù)為________.2KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點突破題型剖析2考點一命題及其關(guān)系解析由四種命題關(guān)系易知B正確.1.已知命題“若函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則m≤1”，則下列說法正確的是(

)A.否命題是“若函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則m>1”B.逆命題是“若m≤1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)”C.逆否命題是“若m>1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是減函數(shù)”D.逆否命題是“若m≤1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函數(shù)”B解析①命題“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題為“若x，y互為相反數(shù)，則x＋y＝0”，顯然①為真命題；②的否命題為“不全等三角形的面積不相等”，但不全等的三角形的面積也可能相等，故②為假命題；③若ab是正整數(shù)，則a，b不一定都是正整數(shù)，例如a＝－1，b＝－3，故③為假命題；④構(gòu)造函數(shù)f(x)＝x，g(x)＝－x，則f(x)－g(x)＝2x，顯然f(x)－g(x)單調(diào)遞增，故④為假命題.綜上①為真命題.2.給出以下命題：①“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題；②“全等三角形的面積相等”的否命題；③若ab是正整數(shù)，則a，b都是正整數(shù)；④若f(x)單調(diào)遞增，g(x)單調(diào)遞減，則f(x)－g(x)單調(diào)遞減.其中為真命題的是________(寫出所有真命題的序號).①3.能說明“若f(x)>f(0)對任意的x∈(0，2]都成立，則f(x)在[0，2]上是增函數(shù)”為

假命題的一個函數(shù)是________________________________________________.解析根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的概念，只要找到一個定義域為[0，2]的不單調(diào)函數(shù)，滿足在定義域內(nèi)有唯一的最小值點，且f(x)min＝f(0).1.寫一個命題的其他三種命題時，需注意：(1)對于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫；(2)若命題有大前提，寫其他三種命題時需保留大前提.2.判斷一個命題為真命題，要給出推理證明；判斷一個命題是假命題，只需舉出反例.3.根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當一個命題直接判斷不易時，可間接判斷.感悟提升考點二充分條件與必要條件的判定解析由m，n，l在同一平面內(nèi)，可能有m，n，l兩兩平行，所以m，n，l可能沒有公共點，所以不能推出m，n，l兩兩相交.由m，n，l兩兩相交且m，n，l不經(jīng)過同一點，可設(shè)l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A?n，所以點A和直線n確定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m?α，所以m，n，l在同一平面內(nèi).故選B.例1

(1)(2020·浙江卷)已知空間中不過同一點的三條直線l，m，n.“l(fā)，m，n共面”是“l(fā)，m，n兩兩相交”的(

) A.充分不必要條件

B.必要不充分條件 C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件B解析若存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ，則當k＝2n(n∈Z)，α＝2nπ＋β，有sinα＝sin(2nπ＋β)＝sinβ；當k＝2n＋1(n∈Z)，α＝(2n＋1)π－β，有sinα＝sin[(2n＋1)π－β]＝sinβ.若sinα＝sinβ，則α＝2kπ＋β或α＝2kπ＋π－β(k∈Z)，即α＝kπ＋(－1)kβ(k∈Z).故選C.(2)(2020·北京卷)已知α，β∈R，則“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sinα＝sinβ”的(

)A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件C充要條件的三種判斷方法(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進行判斷.(2)集合法：根據(jù)使p，q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進行判斷.(3)等價轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性，把要判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進行判斷.這個方法特別適合以否定形式給出的問題.感悟提升解析若m與n不相交，則由“直線l⊥m且l⊥n”不能推出“l(fā)⊥α”，若l⊥α，則l垂直于面內(nèi)任何一條直線，故選B.訓(xùn)練1

(1)(2022·長春質(zhì)檢)已知m，n是平面α內(nèi)兩條不同的直線，則“直線l⊥m且l⊥n”是“l(fā)⊥α”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件B解析若a>2，b>2，則a＋b>4，ab>4成立.當a＝1，b＝5時，滿足a＋b>4，ab>4，但不滿足a>2，b>2，∴a＋b>4，ab>4?/

a>2，b>2，故答案為A.(2)“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”成立的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A考點三充分、必要條件的應(yīng)用解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的必要條件，則S?P.例2

(經(jīng)典母題)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要條件，求實數(shù)m的取值范圍.又∵S為非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0.綜上，m的取值范圍是[0，3].解由例題知P＝{x|－2≤x≤10}.∵綈p是綈q的必要不充分條件，p是q的充分不必要條件.∴p?q且q?/

p，即PS.遷移

設(shè)p：P＝{x|x2－8x－20≤0}，q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，且綈p是綈q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍.∴m≥9，又因為S為非空集合，所以1－m≤1＋m，解得m≥0，綜上，實數(shù)m的取值范圍是[9，＋∞).1.根據(jù)充分、必要條件求解參數(shù)取值范圍需抓住“兩”關(guān)鍵(1)把充分、必要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系.(2)根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解.2.解題時要注意區(qū)間端點值的檢驗.尤其是利用兩個集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時，不等式是否能夠取等號決定端點值的取舍，處理不當容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象.感悟提升A.1<x<3 B.0<x<2C.x<2 D.0<x≤2B依題意由選項組成的集合是(0，2]的真子集，故選B.解析|x－1|<a?1－a<x<1＋a，因為不等式|x－1|<a成立的充分不必要條件是0<x<4，所以(0，4)(1

－a，1＋a)，(2)若關(guān)于x的不等式|x－1|<a成立的充分不必要條件是0<x<4，則實數(shù)a的取值范圍是___________.[3，＋∞)FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓(xùn)練鞏固提升3A級基礎(chǔ)鞏固A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件1.設(shè)a∈R，則“a＞1”是“a2＞a”的(

)A解析由a2＞a，得a2－a＞0，解得a＞1或a＜0，∴“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要條件.A.(2，1) B.(1，1)C.(1，2) D.(2，2)2.(2021·全國百校聯(lián)考)已知命題p：“任意a>0，且a≠1，函數(shù)y＝1＋loga(x－1)的圖象過點P”的逆否命題為真，則P點坐標為(

)A解析由逆否命題與原命題同真同假，可知命題p為真命題，由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，函數(shù)y＝1＋loga(x－1)的圖象過定點(2，1)，所以點P的坐標為(2，1).A.命題p是真命題B.命題p的逆命題是真命題C.命題p的否命題是“若a<1，則a2≥1”D.命題p的逆否命題是“若a2≥1，則a<1”3.已知命題p：若a<1，則a2<1，下列說法正確的是(

)B解析p：若a<1，則a2<1；如a＝－2，則(－2)2>1，∴p為假命題，A不正確；命題p的逆命題：若a2<1，則a<1為真命題，B正確；命題p的否命題：若a≥1，則a2≥1，C顯然不正確；命題p的逆否命題：若a2≥1，則a≥1，D顯然不正確.A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件4.王昌齡的《從軍行》中的兩句詩為“黃沙百戰(zhàn)穿金甲，

不破樓蘭終不還”，從中可知“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的(

)B解析“攻破樓蘭”不一定“返回家鄉(xiāng)”，但“返回家鄉(xiāng)”一定“攻破樓蘭”，故選B.A.若x2＋y2＝0，則x，y中至少有一個不為0B.若x2＋y2≠0，則x，y中至少有一個不為0C.若x2＋y2≠0，則x，y都不為0D.若x2＋y2＝0，則x，y都不為05.命題若“x2＋y2＝0，則x＝y(tǒng)＝0”的否命題為(

)B解析否命題既否定條件又否定結(jié)論.①“a＝b”是“ac＝bc”的充要條件；②“a＋5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件；③“a>b”是“a2>b2”的充分條件；④“a<5”是“a<3”的必要條件.其中真命題的個數(shù)是(

)A.1 B.2 C.3 D.46.(2022·鄭州質(zhì)檢)對任意實數(shù)a，b，c，給出下列命題：B解析①ac＝bc?a＝b或c＝0，∴①為假命題；②a＋5是無理數(shù)?a是無理數(shù)，∴②為真命題；③0>－2推不出02>(－2)2，∴③為假命題；④a<5?/

a<3，但a<3?a<5，∴④為真命題.A.0<x<1 B.0<x<4 C.0<x<3 D.3<x<47.(2021·貴陽模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex2－3x，則使f(x)<1成立的一個充分不必要條件是(

)A解析f(x)<1?ex2－3x<1?x2－3x<0，解得0<x<3.又“0<x<1”可以推出“0<x<3”，但“0<x<3”不能推出“0<x<1”.故“0<x<1”是“f(x)<1”的充分不必要條件.解析由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一個充分不必要條件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要條件，等價于q是p的充分不必要條件.故a≥1.8.已知命題p：x2＋2x－3＞0；命題q：x＞a，且綈q的一個充分不必要條件是綈p，則a的取值范圍是(

) A.[1，＋∞) B.(－∞，1] C.[－1，＋∞) D.(－∞，－3]A解析a＝b?|a|＝|b|，|a|＝|b|?/

a＝b.9.設(shè)a，b是兩個平面向量，則“a＝b”是“|a|＝|b|”的______________條件.充分不必要解析由x2－5x＋4≥0得x≤1或x≥4，可知{x|x>4}是{x|x≤1或x≥4}的真子集，∴p是q的充分不必要條件.10.(2021·河南名校聯(lián)考)設(shè)命題p：x>4；命題q：x2－5x＋4≥0，那么p是q的________________條件(填“充分不必要”“必要不充分”

“充要”“既不充分也不必要”).充分不必要解析∵p(1)是假命題，∴1＋2－m≤0.又∵p(2)是真命題，∴4＋4－m>0，12.(2022·西安調(diào)研)已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命題，p(2)是真命題，則實數(shù)m的取值范圍為__________.[3，8)∴實數(shù)m的取值范圍為[3，8).B級能力提升解析令x＝1.8，y＝0.9，滿足|x－y|<1，但〈1.8〉＝2，〈0.9〉＝1，〈x〉≠〈y〉，可知充分性不成立.當〈x〉＝〈y〉時，設(shè)〈x〉＝x＋m，〈y〉＝y(tǒng)＋n，m，n∈[0，1)，則|x－y|＝|n－m|<1，可知必要性成