第6章 數(shù)列 第1節(jié) 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法

第六章數(shù)列第1節(jié)數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法考試要求1.了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)內(nèi)容索引考點(diǎn)突破題型剖析分層訓(xùn)練鞏固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)1知識(shí)梳理按照__________排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).1.數(shù)列的定義一定順序2.數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)______無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)______項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an＋1____an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1____an常數(shù)列an＋1＝an擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列有限無(wú)限＞＜3.數(shù)列的表示法

數(shù)列有三種表示法，它們分別是________、圖象法和________.4.數(shù)列的通項(xiàng)公式

如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與________之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.5.數(shù)列的遞推公式

如果已知數(shù)列的第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開(kāi)始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(n≥2)(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.列表法解析法序號(hào)n常用結(jié)論×診斷自測(cè)(1)相同的一組數(shù)按不同順序排列時(shí)都表示同一個(gè)數(shù)列.(

)(2)1，1，1，1，…，不能構(gòu)成一個(gè)數(shù)列.(

)(3)任何一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列.(

)(4)如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則對(duì)任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(

)1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)××√解析(1)數(shù)列：1，2，3和數(shù)列：3，2，1是不同的數(shù)列.(2)數(shù)列中的數(shù)是可以重復(fù)的，可以構(gòu)成數(shù)列.(3)數(shù)列可以是常數(shù)列或擺動(dòng)數(shù)列.DA.240 B.230 C.220 D.2102.(2022·湘豫名校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足：對(duì)任意m，n∈N*，都有anam＝an＋m，且a2＝2，那么a20＝(

)解析當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝4，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，又a1＝4不適合上式，4.(易錯(cuò)題)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2＋3，則{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______________________.解析要使Sn最大，只需要數(shù)列中正數(shù)的項(xiàng)相加即可，即需an＞0，－n2＋9n＋10＞0，得－1＜n＜10，又n∈N*，所以1≤n＜10.又a10＝0，所以n＝9或10.5.若an＝－n2＋9n＋10，則當(dāng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn最大時(shí)，n的值為_(kāi)_______.9或10解析因?yàn)閧an}是遞增數(shù)列，所以對(duì)任意的n∈N*，都有an＋1＞an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)＞n2＋λn，整理，得2n＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n＋1).(*)因?yàn)閚≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.6.已知an＝n2＋λn，且對(duì)于任意的n∈N*，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是_______________.(－3，＋∞)KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析2考點(diǎn)一由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)an＝n所以2Sn－1＝nan－1(n≥2)，所以2Sn－2Sn－1＝(n＋1)an－nan－1(n≥2)，所以2an＝(n＋1)an－nan－1(n≥2)，即(n－1)an＝nan－1(n≥2)，解

①令n＝1時(shí)，T1＝2S1－1，∵T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.②n≥2時(shí)，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2，則Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2(Sn－Sn－1)－2n＋1＝2an－2n＋1.(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn，滿足Tn＝2Sn－n2，n∈N＋.①求a1的值；②求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.因?yàn)楫?dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1也滿足上式，所以Sn＝2an－2n＋1(n≥1)，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝2an－1－2(n－1)＋1，兩式相減得an＝2an－2an－1－2，所以an＝2an－1＋2(n≥2)，所以an＋2＝2(an－1＋2)，因?yàn)閍1＋2＝3≠0，所以數(shù)列{an＋2}是以3為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列.所以an＋2＝3×2n－1，∴an＝3×2n－1－2，當(dāng)n＝1時(shí)也成立，所以an＝3×2n－1－2.感悟提升解析當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1.當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＝2an＋1，①Sn－1＝2an－1＋1.②①－②，Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥2)，∴{an}是首項(xiàng)a1＝－1，q＝2的等比數(shù)列.∴an＝a1·qn－1＝－2n－1.訓(xùn)練1

(1)已知數(shù)列{an}中，Sn是其前n項(xiàng)和，且Sn＝2an＋1，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝________.－2n－1解析因?yàn)閍1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故當(dāng)n≥2時(shí)，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，兩式相減得(2n－1)an＝2，(2)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，則an＝________.角度1累加法——形如an＋1－an＝f(n)，求an考點(diǎn)二由數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式A.2＋lnn B.2＋(n－1)lnn C.2＋nlnn D.1＋n＋lnnA所以a2－a1＝ln2－ln1，a3－a2＝ln3－ln2，a4－a3＝ln4－ln3，……an－an－1＝lnn－ln(n－1)(n≥2).把以上各式分別相加得an－a1＝lnn－ln1，則an＝2＋lnn(n≥2)，且a1＝2也適合，因此an＝2＋lnn(n∈N*).解析設(shè)遞推公式an＋1＝2an＋3可以轉(zhuǎn)化為an＋1＋t＝2(an＋t)，即an＋1＝2an＋t，解得t＝3.故an＋1＋3＝2(an＋3).例4

(1)若a1＝1，an＋1＝2an＋3，則通項(xiàng)公式an＝________.角度3構(gòu)造法——形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0)，求an2n＋1－3所以{bn}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.∴bn＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.解析因?yàn)镾n＋1－2Sn＝1，所以Sn＋1＝2Sn＋1.因此Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)，因?yàn)閍1＝S1＝1，S1＋1＝2，所以{Sn＋1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.所以Sn＋1＝2n，Sn＝2n－1.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，a1＝1也滿足此式，所以an＝2n－1，n∈N*.(2)(2022·衡水檢測(cè))設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N*，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____________________.an＝2n－1，n∈N*感悟提升解析由題意可知，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)，以上式子累加，得an－a1＝2＋3＋…＋n.因?yàn)閍1＝2，訓(xùn)練2

(1)已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an－an－1＝n(n≥2，n∈N*)，則an＝________.解析因?yàn)辄c(diǎn)Pn(an，an＋1)(n∈N＋)在直線4x－y＋1＝0上，所以4an－an＋1＋1＝0.(3)已知數(shù)列{an}中，a1＝3，且點(diǎn)Pn(an，an＋1)(n∈N＋)在直線4x－y＋1＝0上，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝______________.角度1數(shù)列的周期性考點(diǎn)三數(shù)列的性質(zhì)A.－1 B.0 C.1009 D.1011例5

(2022·衡水聯(lián)考)若P(n)表示正整數(shù)n的個(gè)位數(shù)字，an＝P(n2)－P(2n)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2022＝(

)C解析由題意得a1＝－1，a2＝0，a3＝3，a4＝－2，a5＝5，a6＝4，a7＝5，a8＝－2，a9＝－7，a10＝0，a11＝－1，a12＝0，…，所以數(shù)列{an}為周期數(shù)列，且周期為10.因?yàn)镾10＝5，所以S2022＝5×202＋(－1)＋0＝1009.A.(3，＋∞) B.(2，＋∞) C.(1，＋∞) D.(0，＋∞)角度2數(shù)列的單調(diào)性D角度3數(shù)列的最值當(dāng)n＜8時(shí)，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；當(dāng)n＝8時(shí)，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；當(dāng)n＞8時(shí)，an＋1－an＜0，即an＋1＜an.則a1＜a2＜a3＜…＜a8，a8＝a9，a9＞a10＞a11＞…，感悟提升A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列C.擺動(dòng)數(shù)列 D.常數(shù)列A解析∵數(shù)列{an}滿足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N*).∴a3＝2，a4＝3，a5＝5，a6＝8，a7＝13，a8＝21，a9＝34，a10＝55，a11＝89，數(shù)列{an}的每一項(xiàng)除以4所得的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列{bn}為1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，…，可得數(shù)列{bn}構(gòu)成一個(gè)周期為6的數(shù)列.∴b21＝b3＝2.(2)(2021·崇左二模)數(shù)列{an}滿足：a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N*).將數(shù)列{an}的每一項(xiàng)除以4所得的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列{bn}，則b21＝(

)A.1 B.2 C.3 D.0B得n≤6，即當(dāng)n≤6時(shí)，an＋1≥an，當(dāng)n＞6時(shí)，an＋1＜an，∴a6或a7最大.6或7用不動(dòng)點(diǎn)法求數(shù)列的通項(xiàng)拓展視野若數(shù)列{an}的遞推公式為an＋1＝f(an)，把此式中的an＋1、an均換成x得方程x＝f(x).我們把方程x＝f(x)的實(shí)數(shù)根x稱為數(shù)列{an}的不動(dòng)點(diǎn).利用數(shù)列的非零不動(dòng)點(diǎn)，即可簡(jiǎn)便快捷地求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(1)若f(x)＝ax＋b(a≠0，1)，p是f(x)的不動(dòng)點(diǎn).數(shù)列{an}滿足an＋1＝f(an)，則an＋1－p＝a(an－p)，即{an－p}是公比為a的等比數(shù)列.FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓(xùn)練鞏固提升3A級(jí)基礎(chǔ)鞏固A2.下列四個(gè)命題中不正確的是(

)C對(duì)于B，令n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)，B正確；對(duì)于C，將3，5，9，17，33，…的各項(xiàng)減去1，得2，4，8，16，32，…，設(shè)該數(shù)列為{bn}，則其通項(xiàng)公式為bn＝2n(n∈N*)，因此數(shù)列3，5，9，17，33，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝bn＋1＝2n＋1(n∈N*)，C錯(cuò)誤；A.31 B.－31 C.63 D.－633.記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，若Sn＝2an＋1，則S6＝(

)D解析當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)?an＝2an－1，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝－1，∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為－1，公比為2的等比數(shù)列，∴an＝－1×2n－1＝－2n－1，A.an＝3n B.an＝3nC.an＝n＋4 D.an＝n2＋2ACA.674 B.673 C.1348 D.20206.(2021·濰坊質(zhì)檢)意大利數(shù)學(xué)家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(xiàn)(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此數(shù)列在現(xiàn)代物理“準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)”、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.若此數(shù)列被2整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列{an}，則數(shù)列{an}的前2022項(xiàng)的和為(

)C解析由數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各項(xiàng)除以2的余數(shù)，可得{an}為1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，所以{an}是周期為3的數(shù)列，一個(gè)周期中三項(xiàng)和為1＋1＋0＝2，又2022＝674×3，所以數(shù)列{an}的前2022項(xiàng)的和S2022＝674×2＝1348.解析因?yàn)?an＋1＋Sn＝2，①，當(dāng)n≥2時(shí)，2an＋Sn－1＝2，②，7.(2021·大連一模)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，前n項(xiàng)和為Sn，且滿足2an＋1＋Sn＝2(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.由題意知，a1·a2·…·ak是{an}的前n項(xiàng)乘積的最大值，所以k＝5.5解析?n∈N*，an＋1＞an，則數(shù)列{an}是遞增的，?n∈N*，Sn≥S6，即S6最小，只要前6項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，或前5項(xiàng)為負(fù)數(shù)，第6項(xiàng)為0，即可，所以，滿足條件的數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝n－6(n∈N*)(答案不唯一).9.(2022·北京昌平區(qū)模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且?n∈N*，an＋1＞an，Sn≥S6.請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝______________________________.n－6(n∈N*)(答案不唯一)(1)Sn＝2n－1，n∈N*；10.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解

∵Sn＝2n－1(n∈N*)，∴當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2－1＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)n＝1時(shí)，符合上式，∴an＝2n－1(n∈N*).解

∵Sn＝2n2＋n＋3(n∈N*)，∴當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2×12＋1＋3＝6；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n＋3－[2(n－1)2＋(n－1)＋3]＝4n－1.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)n＝1時(shí)，不符合上式，(2)Sn＝2n2＋n＋3，n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；11.已知數(shù)列{a