第9章 平面解析幾何 第3節(jié) 圓的方程

第九章平面解析幾何第3節(jié)圓的方程考試要求掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.知識診斷基礎(chǔ)夯實(shí)內(nèi)容索引考點(diǎn)突破題型剖析分層訓(xùn)練鞏固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識診斷基礎(chǔ)夯實(shí)1知識梳理1.圓的定義和圓的方程定義平面內(nèi)到_______的距離等于_______的點(diǎn)的軌跡叫做圓方程標(biāo)準(zhǔn)(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圓心C(a，b)半徑為r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要條件：__________________圓心坐標(biāo)：______________定點(diǎn)定長D2＋E2－4F＞0平面上的一點(diǎn)M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：(1)|MC|＞r?M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在圓外；(2)|MC|＝r?M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；(3)|MC|＜r?M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在圓內(nèi).2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓外圓上圓內(nèi)常用結(jié)論1.圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓的方程為x2＋y2＝r2.2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.√診斷自測(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.(

)(2)方程x2＋y2＝a2表示半徑為a的圓.(

)(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(

)1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)×√√解析(2)當(dāng)a＝0時(shí)，x2＋y2＝a2表示點(diǎn)(0，0)；當(dāng)a＜0時(shí)，表示半徑為|a|的圓.D2.圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)和半徑分別是(

)A3.(2021·合肥模擬)已知A(1，0)，B(0，3)兩點(diǎn)，則以AB為直徑的圓的方程是(

)A.(－1，1) B.(0，1)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.{－4，4}4.(2022·銀川模擬)若點(diǎn)(1，1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A解析因?yàn)辄c(diǎn)(1，1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，所以表示點(diǎn)(1，1)到圓心(a，－a)的距離小于2，兩邊平方得：(1－a)2＋(a＋1)2<4，化簡得a2<1，解得－1<a<1.A.4 B.5 C.6 D.75.(2020·北京卷)已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)(3，4)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為(

)A解析根據(jù)題意，若方程x2＋y2＋λxy＋2kx＋4y＋5k＋λ＝0表示圓，則λ＝0，方程為x2＋y2＋2kx＋4y＋5k＝0，∴(2k)2＋42－4×5k>0，即k2－5k＋4>0，解得k<1或k>4，故k的取值范圍為(－∞，1)∪(4，＋∞).6.(易錯(cuò)題)若方程x2＋y2＋λxy＋2kx＋4y＋5k＋λ＝0表示圓，則k的取值范圍為_________________________.(－∞，1)∪(4，＋∞)KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析2考點(diǎn)一圓的方程1.已知圓E經(jīng)過三點(diǎn)A(0，1)，B(2，0)，C(0，－1)，則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)C解析法一(待定系數(shù)法)設(shè)圓E的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，法二(幾何法)又圓E的圓心在x軸的正半軸上，A.x2＋(y－1)2＝4 B.x2＋(y－1)2＝2C.x2＋(y－1)2＝8 D.x2＋(y－1)2＝162.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)(0，1)為圓心且與直線x－by＋2b＋1＝0相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)B解析法一

∵所求圓的圓心在直線x＋y＝0上，∴可設(shè)所求圓的圓心為(a，－a).∵所求圓與直線x－y＝0相切，(x－1)2＋(y＋1)2＝2求圓的方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程.一般來說，求圓的方程有兩種方法：(1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的基本量.確定圓的方程時(shí)，常用到的圓的三個(gè)性質(zhì)：①圓心在過切點(diǎn)且垂直切線的直線上；②圓心在任一弦的中垂線上；③兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線；(2)代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解.感悟提升角度1利用幾何意義求最值考點(diǎn)二與圓有關(guān)的最值問題例1

已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.感悟提升解析P是x軸上任意一點(diǎn)，則|PM|的最小值為|PC1|－1，同理|PN|的最小值為|PC2|－3，則|PM|＋|PN|的最小值為|PC1|＋|PC2|－4.作C1關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C′1(2，－3).例2

已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值為(

)角度2利用對稱性求最值A(chǔ)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均為動(dòng)點(diǎn))且與圓C有關(guān)的折線段的最值問題的基本思路：(1)“動(dòng)化定”，把與圓上動(dòng)點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；(2)“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對稱性解決.感悟提升角度3建立函數(shù)關(guān)系求最值12由于點(diǎn)P(x，y)是圓上的點(diǎn)，故其坐標(biāo)滿足方程x2＋(y－3)2＝1，由圓的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，根據(jù)題中條件列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)知識或基本不等式求最值.感悟提升(1)求|MQ|的最大值和最小值；訓(xùn)練1

已知M(x，y)為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)Q(－2，3).解由圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，考點(diǎn)三與圓有關(guān)的軌跡問題(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；例4

已知圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A(2，0)，B(1，1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn).解設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x－2，2y).因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1(x≠2).解設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y).在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON，則ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程.求與圓有關(guān)的軌跡問題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根據(jù)題目提供的條件列出方程；(2)定義法，根據(jù)圓、直線等定義列方程；(3)幾何法，利用圓的幾何性質(zhì)列方程；(4)代入法，找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等.感悟提升解如圖，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，訓(xùn)練2

設(shè)定點(diǎn)M(－3，4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M，ON為鄰邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡方程.因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶蔷€互相平分，又點(diǎn)N(x0，y0)在圓x2＋y2＝4上，所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4，所以點(diǎn)P的軌跡是以(－3，4)為圓心，2為半徑的圓.FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓(xùn)練鞏固提升3A級基礎(chǔ)鞏固A.(3，4)，5 B.(－3，4)，5C.(－3，－4)，5 D.(3，－4)，51.圓x2＋y2－6x＋8y＝0的圓心坐標(biāo)和半徑分別是(

)D解析圓的方程可化為(x－3)2＋(y＋4)2＝25，所以圓心坐標(biāo)是(3，－4)，半徑r＝5.A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4C.(x－1)2＋(y－1)2＝4 D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝42.過點(diǎn)A(1，－1)，B(－1，1)，且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是(

)C解析設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a，b)，半徑為r.因?yàn)閳A心C在直線x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1，所以r＝2，所以方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.A.(－1，1) B.(1，－1)C.(－1，0) D.(0，－1)3.如果圓的方程為x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么當(dāng)圓面積最大時(shí)，圓心坐標(biāo)為(

)DA.1 B.2 C.3 D.4A解析方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0表示圓的條件為(k－1)2＋(2k)2－4k>0，A.x2＋y2－2x－4y－8＝0B.x2＋y2＋2x－4y－8＝0C.x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0D.x2＋y2＋2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝05.(2022·昆明調(diào)研)已知圓C經(jīng)過P(－2，4)，Q(3，－1)兩點(diǎn)，且在x軸上截得的弦長為6，則圓C的方程為(

)C解析設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F>0，6.已知兩點(diǎn)A(－1，0)，B(0，2)，點(diǎn)P是圓(x－1)2＋y2＝1上任意一點(diǎn)，則△PAB面積的最大值與最小值分別是(

)B解析設(shè)對稱圓的圓心為(m，n)，7.(2021·鄭州模擬)圓(x＋2)2＋(y－12)2＝4關(guān)于直線x－y＋8＝0對稱的圓的方程為________________________.(x－4)2＋(y－6)2＝4所以所求圓的圓心為(4，6)，故所求圓的方程為(x－4)2＋(y－6)2＝4.8.圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的點(diǎn)到直線x－y＝2的距離的最大值是__________.9.(2022·貴陽調(diào)研)已知A(0，2)，點(diǎn)P在直線x＋y＋2＝0上，點(diǎn)Q在圓C：x2＋y2－4x－2y＝0上，則|PA|＋|PQ|的最小值是________.設(shè)點(diǎn)A(0，2)關(guān)于直線x＋y＋2＝0的對稱點(diǎn)為A′(m，n)，(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；10.已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：解法一設(shè)C(x，y)，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，所以y≠0.因?yàn)锳C⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1.因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).由圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以D(1，0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn))，所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0).解設(shè)M(x，y)，C(x0，y0)，因?yàn)锽(3，0)，M是線段BC的中點(diǎn)，(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程.所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，將x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0).11.已知點(diǎn)(x，y)在圓(x－2)2＋(y＋3)2＝1上.解設(shè)t＝x＋y，則y＝－x＋t，t可視為直線y＝－x＋t在y軸上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直線