高中數(shù)學(xué)蘇教版必修不等式從函數(shù)觀點看一元二次方程和一元二次不等式 一等獎

3.3.1從函數(shù)觀點看一元二次方程第3章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.會結(jié)合二次函數(shù)的圖象,判斷一元二次方程實數(shù)根的存在性及實數(shù)根的個數(shù),了解函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系.(直觀想象)2.會求二次函數(shù)的零點.(數(shù)學(xué)運算)課前篇自主預(yù)習(xí)情境導(dǎo)入觀察三個具體的一元二次方程的根及其相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象:①方程x2-2x-3=0與函數(shù)y=x2-2x-3;②方程x2-2x+1=0與函數(shù)y=x2-2x+1;③方程x2-2x+3=0與函數(shù)y=x2-2x+3.①

②③一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象有什么關(guān)系?知識點撥一、二次函數(shù)的零點一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)當(dāng)函數(shù)值取零時自變量x的值,即二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo),也稱為二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的零點.要點筆記一元二次方程、二次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象之間的關(guān)系方程ax2+bx+c=0有實數(shù)根?二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有交點?二次函數(shù)y=ax2+bx+c有零點.微思考

二次函數(shù)的零點是函數(shù)與x軸的交點嗎?提示

不是.二次函數(shù)的零點不是個點,而是一個數(shù),該數(shù)是函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo).微練習(xí)

函數(shù)y=2x2-3x+1的零點個數(shù)是(

)A.0

B.1

C.2

D.3答案

C解析

由y=0得2x2-3x+1=0,解得x=或x=1,所以函數(shù)f(x)有2個零點.二、一元二次方程的解集

定義形如ax2+bx+c=0的方程叫一元二次方程,其中a,b,c是常數(shù),且a≠0一元二次方程的解集判別式的符號解集Δ=b2-4ac>0

Δ=b2-4ac=0

Δ=b2-4ac<0?名師點析

1.一元二次方程的解集實質(zhì)上就是借助判別式判斷根的個數(shù)后再利用系數(shù)表示出根.2.若關(guān)于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個實數(shù)根x1,x2,則有微思考

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式x=適用于所有的一元二次方程嗎?提示

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式只適合于方程有根時使用,即當(dāng)根的判別式Δ=b2-4ac≥0時適用.微練習(xí)

答案

C課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一求二次函數(shù)的零點例1已知函數(shù)y=x2-x-2a.(1)若a=1,求函數(shù)f(x)的零點;(2)若y有零點,求實數(shù)a的取值范圍.解

(1)當(dāng)a=1時,y=x2-x-2.令y=x2-x-2=0,得x=-1或x=2.即函數(shù)y的零點為-1和2.反思感悟二次函數(shù)零點的求法(1)代數(shù)法:求方程y=0的實數(shù)根.(2)幾何法:對于不能用求根公式的方程y=0,可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來.圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點.變式訓(xùn)練1已知函數(shù)y1=ax-b(a≠0)的零點為3,求函數(shù)y2=bx2+ax的零點.解

由已知得3a-b=0,即b=3a.故y2=3ax2+ax=ax(3x+1).令y2=0,即ax(3x+1)=0,探究二一元二次方程的根的個數(shù)與判別式的關(guān)系例2關(guān)于x的一元二次方程x2+(m-2)x+m+1=0有兩個相等的實數(shù)根,則m的值是(

)A.0 B.8C.4± D.0或8答案

D解析

由Δ=(m-2)2-4(m+1)=0,得m2-8m=0,解得m=0或m=8.延伸探究本例的結(jié)論改為“有兩個實數(shù)根”,試求m的取值范圍.解

一元二次方程有兩個實數(shù)根可能是兩個相等的實數(shù)根也可能是兩個相異的實數(shù)根,則Δ=(m-2)2-4(m+1)=m2-8m≥0,即m(m-8)≥0,解得m≥8或m≤0.故m的取值范圍為(-∞,0]∪[8,+∞).變式訓(xùn)練2(2020山西運城景勝中學(xué)高一開學(xué)考試)關(guān)于x的一元二次方程ax2-4x-1=0有實數(shù)根,則a滿足(

)A.a≥-4且a≠0 B.a>4C.a≥4 D.a≠0答案

A解析

因為關(guān)于x的一元二次方程ax2-4x-1=0有實數(shù)根,則反思感悟一元二次方程ax2+bx+c=0實數(shù)根的個數(shù)的判斷方法(1)當(dāng)Δ=b2-4ac>0時,方程有兩個相異的實數(shù)根;(2)當(dāng)Δ=b2-4ac=0時,方程有兩個相等的實數(shù)根;(3)當(dāng)Δ=b2-4ac<0時,方程無實數(shù)根.素養(yǎng)形成一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系典例已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2=0有兩個不相等的實數(shù)根.(1)求k的取值范圍;解

(1)∵方程有兩個不相等的實數(shù)根,∴Δ>0,即(2k+1)2-4k2=4k+1>0,(2)當(dāng)k=2時,方程為x2+5x+4=0,∴x1+x2=-5,x1x2=4,點評利用根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)值的步驟(1)算:計算出兩根的和與積;(2)變:將所求的代數(shù)式表示成兩根的和與積的形式;(3)代:代入求值.當(dāng)堂檢測1.若x1,x2是一元二次方程2x2-6x+3=0的兩個實數(shù)根,則|x1-x2|的值為(

)答案

B2.已知α,β是二次函數(shù)y=x2-4x-3的兩個零點,則代數(shù)式(α-3)(β-3)的值是(

)A.7 B.1 C.5 D.-6答案

D解析

∵α,β是一元二次方程x2-4x-3=0的兩個實數(shù)根,∴α+β=4,αβ=-3,∴(α-3)(β-3)=αβ-3(α+β)+9=-3-3×4+9=-6.故選D.3.一元二次方程(4-2x)2-36=0的解集是

.

答案

{-1,5}解析

原方程移項可得(4-2x)2=36,兩邊開平方可得4-2x=6或4-2x=-6,解得x1=-1,x2=5.故一元二次方程(4-2x)2-36=0的解集是{-1,5}.4.若集合A={x|(k+2)x2+2kx+1=0}有且僅有1個真子集,則實數(shù)k的取值集合是

.

答案

{-2,-1,2}解析

由集合A有且僅有1個真子集可得A中含有1個元素,當(dāng)k=-2時,A={x|-4x+1=0}={},符合題意;當(dāng)k≠2時,Δ=4k2-4(k+2)