高中數(shù)學(xué)北師大版(2022)必修預(yù)備知識(shí)3不等式不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)（26張）

§3不等式3.1不等式的性質(zhì)我們知道，等式有一些基本性質(zhì)，如不等式是否有類似性質(zhì)呢？帶著這個(gè)問(wèn)題，我們進(jìn)入本節(jié)課的學(xué)習(xí)！梳理等式的性質(zhì)，理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì)。理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì)（數(shù)學(xué)抽象）會(huì)用不等式的性質(zhì)證明不等式或解決范圍問(wèn)題（邏輯推理）在初中的數(shù)學(xué)中，可以利用數(shù)軸比較任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b的大小。關(guān)于實(shí)數(shù)a,b大小的比較，有以下基本事實(shí)：如果a-b是正數(shù)，那么a>b；如果a-b等于0，那么a=b；如果a-b是負(fù)數(shù)，那么a<b。

探究一不等式的性質(zhì)(傳遞性)性質(zhì)1

a>b且b>c，那么a>c分析：要證a>c只需證a-c>0證明：因?yàn)閍>b且b>c

所以a-b>0，b-c>0

從而a-c=(a-b)+(b-c)>0，即a>c性質(zhì)2

a>b，那么a+c>b+c分析：要證a+c>b+c只需證(a+c)-(b+c)>0證明：因?yàn)閍>b且a-b>0

所以(a+c)-(b+c)=a-b>0，即a+c>b+c(可加性)性質(zhì)3性質(zhì)4性質(zhì)5特殊地，性質(zhì)6對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,c,給出下列命題:①若a>b,則ac2>bc2;②若a<b<0,則a2>ab>b2;③若a>b,則a2>b2;其中,正確命題的序號(hào)是

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【即時(shí)練習(xí)】②【解析】直接利用不等式的基本性質(zhì)逐一判斷.對(duì)于①,∵c2≥0,∴只有c≠0時(shí)才成立,故①不正確;對(duì)于②,a<b<0?a2>ab;a<b<0?ab>b2,故②正確;對(duì)于③,若0>a>b,則a2<b2,如a=-1,b=-2,但(-1)2<(-2)2,故③不正確;

不等式的性質(zhì)是證明不等式和解不等式的理論基礎(chǔ)，必須熟練掌握，注意不等式性質(zhì)中的條件.【規(guī)律總結(jié)】你還有其他證明方法嗎？探究二

不等式的性質(zhì)的應(yīng)用證明：還可以利用作差法.1.比較下列兩個(gè)代數(shù)式的大小:x2+3與3x;2.已知a,b均為正數(shù),且a≠b,比較a3+b3與a2b+ab2的大小.提示：我們知道,a-b>0?a>b,a-b<0?a<b,因此,若要比較兩個(gè)代數(shù)式的大小,只需作差,并與0作比較即可.【變式訓(xùn)練】【解析】1.(x2+3)-3x=x2-3x+3

∴x2+3>3x

2.(a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b).∵a>0,b>0,且a≠b,∴(a-b)2>0,a+b>0.∴(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,即a3+b3>a2b+ab2.例2

【規(guī)律總結(jié)】【變式訓(xùn)練】D不等式的性質(zhì)核心知識(shí)方法總結(jié)易錯(cuò)提醒核心素養(yǎng)利用不等式性質(zhì)判斷正誤的方法：(1)直接法:正確的說(shuō)法利用不等式的相關(guān)性質(zhì)或函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)證明;說(shuō)法錯(cuò)誤的只需舉出一個(gè)反例即可。(2)特殊值法:取值的原則:一是滿足題設(shè)條件;二是取值要簡(jiǎn)單，便于驗(yàn)證計(jì)算;三是所取的值要有代表性.（1）不等式兩邊同乘或除以負(fù)數(shù)時(shí)，要變號(hào);（2）同乘或除以代數(shù)式時(shí)，要注意代數(shù)式的正負(fù)分類討論邏輯推理：通過(guò)等式性質(zhì)，類比推理不等式性質(zhì)，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)建模：不等式的實(shí)際應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)對(duì)稱性，傳遞性同加保序性乘正保序性移項(xiàng)法則正數(shù)同向可乘性乘負(fù)反序性正數(shù)乘方保序性1.設(shè)x＜a＜0，則下列不等式一定成立的是(

)A．x2＜ax＜a2

B．x2＞ax＞a2C．x2＜a2＜ax D．x2＞a2＞axB【解析】選B.∵x＜a＜0，∴x2＞a2.∵x2－ax＝x(x－a)＞0，∴x2＞ax.又ax－a2＝a(x－a)＞0，∴ax＞a2.∴x2＞ax＞a2.

2．已知a>b，c>d，且cd≠0，則(

)A．a(chǎn)d>bc B．a(chǎn)c>bcC．a(chǎn)＋c>b＋d D．a(chǎn)－c>b－dC【解析】選C.∵a>b，c>d，∴a＋c>b＋d.D【解析】選D.4.判斷正誤已知a>b且c>d

a-b>d-c.()a+d>b+c.()×√【解析】∵a>b且c>d

∴a-b>0,d-c<0即a-b>d-c.舉反例a=5，b=1，c=10，