高中數(shù)學-2.2.1　用樣本的頻率分布估計總體的分布教學設計學情分析教材分析課后反思

2．2．1用樣本的頻率分布估計總體的分布目的要求通過實例體會分布的意義和作用，在表示數(shù)據(jù)的過程中，學會列出頻率分布表、畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，體會它們各自的特點。教學過程1．實例引課為了解某地區(qū)女中學生的身體發(fā)育情況，不僅要了解其平均身高，還要了解身高在哪個范圍內(nèi)的學生多，哪個范圍內(nèi)的學生少．為了解某次考試成績，不僅應知道平均成績，還應知道90分以上占多少，80分～90分占多少，……，不及格占多少等．要解決上面的兩個問題，需要從總體中得到一個包含大量數(shù)據(jù)的樣本，并且把這些數(shù)據(jù)形成頻率分布，就可以比較清楚地看出樣本數(shù)據(jù)的特征，從而估計總體的分布情況。2．引出課題：用樣本的頻率分布估計總體的分布看下面的例子某鋼鐵加工廠生產(chǎn)內(nèi)徑為25．40mm的鋼管，為了掌握產(chǎn)品的生產(chǎn)狀況，需要定期對產(chǎn)品進行檢測。又由于產(chǎn)品的數(shù)量巨大，不可能一一檢測所有的鋼管，因而通常采用隨機抽樣的辦法。如果把這些鋼管的內(nèi)徑看成總體，我們可以從中隨機抽取的100件鋼管進行檢測，把這100件鋼管的質(zhì)量分布情況作為總體的質(zhì)量分布情況來看待。根據(jù)規(guī)定，鋼管內(nèi)徑的尺寸在區(qū)間25.325～25.475內(nèi)為優(yōu)等品，我們特別希望知道所有生產(chǎn)的鋼管中優(yōu)等品所占的比例，這時就可以用樣本的分布情況估計總體的分布情況。下面的數(shù)據(jù)是一次抽樣中的100件鋼管的內(nèi)徑尺寸：(幻燈示)．25.3925.3625.3425.4225.4525.3825.3925.4225.4725.3525.4125.4325.4425.4825.4525.4325.4625.4025.5125.4525.4025.3925.4125.3625.3825.3125.5625.4325.4025.3825.3725.4425.3325.4625.4025.4925.3425.4225.5025.3725.3525.3225.4525.4025.2725.4325.5425.3925.4525.4325.4025.4325.4425.4125.5325.3725.3825.2425.4425.4025.3625.4225.3925.4625.3825.3525.3125.3425.4025.3625.4125.3225.3825.4225.4025.3325.3725.4125.4925.3525.4725.3425.3025.3925.3625.4625.2925.4025.3725.3325.4025.3525.4125.3725.4725.3925.4225.4725.3825.39上面的100個數(shù)據(jù)有點散亂，從中很難看出產(chǎn)品質(zhì)量的分布情況，必須對樣本數(shù)據(jù)用統(tǒng)計的方法加以概括和整理。下面我們列出這組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表、頻率分布直方圖，步驟如下：（1）計算級差（一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差）25.26－25.24＝0.32（2）決定組距與組數(shù)（樣本容量不超過100時，組數(shù)常分為5～12組）如果組距定為0.03，那么級差/組距＝0.32/0.03＝102/3于是應將樣本數(shù)據(jù)分成11組（組距還可以定為其他的數(shù)值）（3）決定分點將第1組的起點定為25.235，組距為0.03，這樣所分的11個組是：［25.235，25.265］［25.265，25.295］……（4）列頻率分布表分組個數(shù)累計頻數(shù)頻率25.235～25.265110.0125.265～25.295220.0225.295～25.325550.0525.325～25.35512120.1225.355～25.38518180.1825.385～25.41525250.2525.415～25.44516160.1625.445～25.47513130.1325.475～25.505440.0425.505～25.535220.0225.535～25.565220.02合計1001001.00（5）繪制頻率分布直方圖注：（1）小長方形的面積＝組距×頻率／組距＝頻率各長方形的面積總和等于1（2）從頻率分布表或頻率分布直方圖容易看出，優(yōu)等品所占的比例等于0.12+0.18+0.25+0.16+0.13=0.84，于是可以估計出所有生產(chǎn)的鋼管中有84%的優(yōu)等品。（3）用樣本的頻率分布估計總體的分布時，要使樣本能夠很好的反映總體的特性，必須隨機抽樣。由于抽樣的隨機性，可以想到，如果隨機抽取另外一個容量為100的樣本，所形成的樣本頻率分布一般會與前一個樣本頻率分布有所不同。但是，它們都可以近似地看作總體的分布。（4）從頻率分布直方圖可以清楚的看出數(shù)據(jù)分布的總體態(tài)勢，但是直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容。所以，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了。3．頻率分布折線圖把頻率分布直方圖各個長方形上邊的中點用線段連接起來，就得到分布折線圖。4．總體密度曲線頻率分布直方圖表明了所抽取的100件產(chǎn)品中，尺寸落在各個小組內(nèi)的頻率大小．樣本容量越大，所分組數(shù)越多，各組的頻率就越接近于總體在相應各組取值的概率．設想樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，則頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線——總體密度曲線．它反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的概率．總體密度曲線能夠更好的反映總體在各個范圍內(nèi)的百分比，能夠提供更準確的信息。根據(jù)這條曲線，可求出總體在區(qū)間(a，b)內(nèi)取值的概率等于總體密度曲線，直線x=a,x=b及x軸所圍圖形的面積．5．莖葉圖常用的統(tǒng)計圖表還有莖葉圖，下面的例子就是用莖葉圖表示數(shù)據(jù)。例：某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽的得分情況如下：甲的得分：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50。乙的得分：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，51。0012345834636838915254976611940甲乙注：中間的數(shù)字表示得分的十位數(shù)字。旁邊的數(shù)字分別表示兩個人得分的個位數(shù)字從上面這個莖葉圖上可以看出，甲運動員的得分情況是大致對稱的，中位數(shù)是36；乙運動員的得分情況除一個特殊得分外，也大致對稱，中位數(shù)是26。因此甲運動員的發(fā)揮比較穩(wěn)定，總體得分情況比乙運動員好。用莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個突出的優(yōu)點，一是從統(tǒng)計圖上沒有原始信息的損失，所有的數(shù)據(jù)信息都可以從莖葉圖中得到；二是莖葉圖可以在比賽是隨時記錄，方便記錄與表示。但莖葉圖只便于表示兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)，雖然可以表示兩個人以上的比賽結果（或兩個以上的記錄），但沒有表示兩個記錄那么直觀、清晰。6．課堂練習1)、對于樣本頻率分布直方圖與總體密度曲線的關系，下列說法中正確的是（）（A）頻率分布直方圖與總體密度曲線無關（B）頻率分布直方圖就是總體密度曲線（C）樣本容量很大的頻率分布直方圖就是總體密度曲線（D）如果樣本容量無限增大，分組的組距無限減小，那么頻率分布直方圖就會無限接近于總體密度曲線2)、在用樣本頻率估計總體分布的過程中，下列說法中正確的是（）（A）總體容量越大，估計越精確（B）總體容量越小，估計越精確（C）樣本容量越大，估計越精確（D）樣本容量越小，估計越精確3)、10個小球分別編有號碼1，2，3，4，其中1號球4個，2號球2個，3號球3個，4號球1個，數(shù)0.4是指1號球占總體分布的（）（A）頻數(shù)（B）概率（C）頻率（D）累計頻率4)、已知樣本：12711121112101098131210961189810那么頻率為0.25的樣本的范圍是（）（A）（B）（C）（D）5)、頻率分布直方圖中，小長方體的面積等于（）（A）相應各組的頻數(shù)（B）相應各組的頻率（C）組數(shù)（D）組距6)、在總體密度曲線中，總體在區(qū)間（a，b）內(nèi)取值的概率就是直線______、_______、_______和總體密度曲線圍成的圖形的面積.7)、對100位大學畢業(yè)生在該年七月份求職錄取情況調(diào)查結果如下：20人錄取在行政機關，31人錄取在公司，3人錄取在銀行，18人錄取在學校，其余的還在求職中.那么七月份這100位大學生還未被錄取的概率為_______________.8)、一個容量為n的樣本分成若干組，已知某組的頻數(shù)和頻率分別為30和0.25，則n=_______________.9)分組頻數(shù)頻率[10．75，10．85）3[10．85，10．95）9[10．95，11．05）13[11．05，11．15）16[11．15，11．25）26[11．25，11．35）20[11．35，11．45）7[11．45，11．55）4[11．55，11．65）2合計100(1)完成上面的頻率分布表．(2)根據(jù)上表，畫出頻率分布直方圖．(3)根據(jù)上表，估計數(shù)據(jù)落在[10．95，11．35)范圍內(nèi)的概率約為多少?解：(1)(2)略．(3)數(shù)據(jù)落在[10．95，11．35]范圍的頻率為0．13+0．16十0．26+0．20落在[10．95，11．35]內(nèi)的概率約為0．75．10）教科書第67頁練習B第2、3題．7．歸納小結①獲得樣本的頻率分布的步驟：(1)求最大值與最小值的差；(2)確定組距與組數(shù)；（3）決定分點；（4）列頻率分布表；（5）繪制頻率分布直方圖.②圖形優(yōu)點缺點頻率分布直方圖1）易表示大量數(shù)據(jù)2）直觀的反映分布的情況都是一些信息莖葉圖1）無信息損失2）隨時記錄，方便記錄和表示只能處理樣本容量較小數(shù)據(jù)8．布置做業(yè)教科書第69頁練習A第3、4題1．學生已有知識基礎學生在初中已經(jīng)學習分布的初步概念，會繪制頻數(shù)分布直方圖，對樣本估計總體有一定的認識。進入高二后，前面也剛學習過抽樣的相關知識，對用圖、表來反映樣本的規(guī)律有較強的意識，較好掌握了列表、繪圖等的基本方法，同時也具有一定的分析問題解決問題的能力。2．學生已有生活經(jīng)驗和學習該內(nèi)容的經(jīng)驗高二的學生已經(jīng)具備了相當?shù)纳罱?jīng)驗，對本節(jié)課所提供的生活實例也有所體會，為新知識的學習與新方法的掌握打下了基礎。再加上學生初中對學習該內(nèi)容已有的經(jīng)驗，可以說在生活、知識、技能、方法等方面都為學生學習本節(jié)課內(nèi)容打下了基礎。3．學生學習該內(nèi)容可能的困難(1)學生生活經(jīng)驗的不足會影響對實際問題的理解與思考。如：對頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)分析，再用來決策于實際問題，對學生會有一定難度。(2)學生雖然在初中對這部分內(nèi)容有所學習，但因遺忘等原因，對頻數(shù)分布直方圖的繪制會有一定困難，再加上頻率分布直方圖學生并沒有接觸過，對數(shù)據(jù)分析缺乏目的性，會引起學生認識上的困惑。如：已經(jīng)學習了頻數(shù)分布直方圖，為什么還要繪制頻率分布直方圖？為什么縱坐標要選用頻數(shù)/組距？等(3)因缺乏統(tǒng)計思維的訓練，學生對統(tǒng)計思想、方法的理解會有一定的困難等。如：為什么能用樣本的頻率分布估計總體？為什么通過樣本得出的規(guī)律具有隨機性？等4．學生學習的興趣、學習方式和學法分析學生對數(shù)學學習具有較高的興趣，對新知有較強的探索欲望。能進行自主學習，學生與老師、學生與學生之間能夠進行很好的合作、交流溝通。有較好的思維能力。具有一定的生活經(jīng)驗與學習經(jīng)驗，對實際問題的解決充滿好奇，喜歡從具體的生活實際出發(fā)，通過觀察、操作、思考等獲得知識與經(jīng)驗，能積極投入到教學中。當然，學生有時學習上不是很主動，需要教師進行啟發(fā)，誘導，激發(fā)學生的積極性。5．我的思考：課前，我了解到了學生已經(jīng)具備了本節(jié)課學習所具備的基礎知識。為了解決遺忘的問題，讓學生先期進行了復習。正是在這個基礎上，我制定了學習目標：讓學生繪制頻率分布直方圖，并能對其進行分析，解決實際問題，體會統(tǒng)計的思想方法。而學生對統(tǒng)計學并不能完全理解，對一些統(tǒng)計方法、策略的目的并不能完全認識，對統(tǒng)計結果的隨機性等的認識還比較模糊，并不能很好的利用頻率分布直方圖等?；诖耍野淹ㄟ^樣本的頻率分布估計總體的分布定為本節(jié)課的難點。本節(jié)課與實際結合比較緊密，同時學生在初中已經(jīng)具備了基本知識，因此在設計上，以學生的主動參與為主，讓學生積極討論，注重問題的提出、解決的過程。從實際情景出發(fā)，引出課題，展開研究，體會統(tǒng)計的思維過程，最終回到對實際問題的決策上，激發(fā)學生探索欲望，以利于教學難點的解決。同時，教師設計問題串，引導學生對知識進行理解，提出與現(xiàn)實生活緊密相聯(lián)的問題，促進學生進行思考，幫助學生突破難點，讓學生認識統(tǒng)計的作用，體會統(tǒng)計思維與確定思維性的差異。1．這節(jié)課我將知識目標確定在讓學生學會列頻率分布表，畫頻率分布直方圖、讓學生通過實例體會分布的意義和作用上，但是學生往往缺乏動手畫圖的好習慣，如何提高學生的動手操作能力應該值得反思。2．學生往往也缺乏利用圖表提取信息能力，如何運用直方圖解決問題，提高學生的運用知識解決問題的能力，也應該是值得反思的問題。1．教學主要內(nèi)容：本節(jié)課選自人教B版必修三，第二章第二小節(jié)，《用樣本的頻率分布估計總體的分布》，需要2課時完成，本節(jié)課是第一課時。主要是畫出樣本的頻率分布直方圖，并能通過頻率分布直方圖對總體進行簡單的估計。2．教材編寫特點本節(jié)是本章教材的第二小節(jié)，前面研究了隨機抽樣的方法及數(shù)據(jù)收集。本節(jié)課主要研究對收集樣本如何進行處理，突出對數(shù)據(jù)描述、處理的方法，特別是頻率分布直方圖畫法，后面接著研究總體密度曲線、用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征以及正態(tài)曲線等，可以說本節(jié)課內(nèi)容承上啟下，地位非常重要。從教材編寫的角度來看，也正是要體現(xiàn)這一特點。教材編寫，通過對樣本分析和總體估計的過程，突出了統(tǒng)計的實用性，從實際出發(fā)，收集數(shù)據(jù)，進行分析整理，再回到實際問題，感受數(shù)學對實際生活的需要，體現(xiàn)了統(tǒng)計的思想及其在實際問題中的應用價值，真正體會數(shù)學知識與現(xiàn)實生活的聯(lián)系。3．教材內(nèi)容的數(shù)學核心思想教材內(nèi)容的數(shù)學核心思想是用樣本的頻率分布直方圖估計總體的統(tǒng)計思想方法。4．我的思考：本節(jié)課重在教會學生繪制頻率分布直方圖，引導學生通過頻率分布直方圖分析總體的分布，體會統(tǒng)計的思想、方法。在通讀了教材的基礎上，與人教A版的相應內(nèi)容作了比較，再結合學生的情況，最終選擇A版內(nèi)容，更利于完成教學目標。(1)人教A版教材中的例子與學生關系緊密，提出的問題更切合學生實際。背景的熟悉使學生易于課堂參與。(2)教材中問題的設計利于學生統(tǒng)計思想的建立等。統(tǒng)計思想方法是數(shù)學的一個重要的思想方法，中學學習統(tǒng)計，除了掌握必要的統(tǒng)計知識之處，關鍵是讓學生建立統(tǒng)計在現(xiàn)實生活中具有重要的作用，具有統(tǒng)計意識，同時體會到統(tǒng)計結果隨機性、科學性，能作為總體的分布的合理性，是生活中某些問題決策必不可少的依據(jù)。統(tǒng)計教學的核心目標正是讓學生體會統(tǒng)計思維的特點和作用。因此在設計中，從實際問題出發(fā)，再回到實際問題的決策，前后呼應，使學生真正體會數(shù)據(jù)處理的全過程、統(tǒng)計應用于現(xiàn)實生活的全過程，突出統(tǒng)計的思想、方法。這也是本節(jié)課要重點突出的核心思想，當然也是重點要落實的方法。為了突出統(tǒng)計的思想方法，在處理學生已有知識與新知識的關系上，教師做了大膽的取設。在做出頻率分布直方圖之前的復習中，只是按照初中所學的繪制頻數(shù)分布直方圖的步驟進行操作，對一些“細節(jié)”問題：如何計數(shù)、如何分組、如何尋找分點等，只做原則說明，因為有些統(tǒng)計方法緣于經(jīng)驗，有些是根據(jù)現(xiàn)實情況進行分析，選出最為適合的方法，可以說沒有“一定之規(guī)”。還有象頻率分布直方圖的縱坐標的選取，如果在此時向?qū)W生解釋，勢必要用到后面即將研究的知識，那樣就會影響學生對整節(jié)課的學習，沖淡本節(jié)課的核心思想。因此在處理上并沒有一步到位，而是強調(diào)繪制頻率分布直方圖是一個操作方法，重點在于對頻率分布直方圖的認識、分析，突出統(tǒng)計在現(xiàn)實生活中應用，使學生體會統(tǒng)計的思想方法，培養(yǎng)學生的應用意識。2.2.1用樣本的頻率分布估計總體分布同步練習題一、選擇題：1.在某一所中學舉行一次數(shù)學競賽中，將參賽的學生成績進行整理分組，分成5組，從左到右的第一組，第三組，第四組，第五組的頻率分別是.第二組的頻數(shù)是40那么這次參加數(shù)學競賽的學生的人數(shù)和這次數(shù)學成績的中位數(shù)落在的組數(shù)分別為A.200人，第二組B.100人，第二組C.100人，第三組D.200人，第三組一個容量為的樣本，已知某組的的頻率為，則該組的頻數(shù)為（）A.B.C.D.3.對于樣本頻率分布直方圖與總體密度曲線的關系，下列說法中正確的是（）A.頻率分布直方圖與總體密度曲線無關B.頻率分布直方圖就是總體密度曲線C.樣本容量很大時的頻率分布直方圖才是總體密度曲線D.如果樣本容量無限增大，而且分組的組距無限減小，那么頻率分布直方圖才會無限接近總體密度曲線.4.在個人中，有個大學生，個教師，個家長，個中學生，則數(shù)是大學生的（）A.頻數(shù)B.概率C.累計頻率D.頻率5.某人從湖中打了一網(wǎng)魚，共條，做上記號再放入湖中；數(shù)日后又打了一網(wǎng)魚共有條，其中條有記號；估計湖中有魚（）A.條B.條C.條D.無法估計二、填空題：6.一個容量為的樣本數(shù)據(jù)，分組后，各組與頻數(shù)如下：；；；；；；則樣本在區(qū)間上的頻率為________7.如圖是200輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方圖.那么時速在km的汽車有輛.8.為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機抽查了20位工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量，產(chǎn)品數(shù)量的分組區(qū)間為[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95），由此得到頻率分布直方圖如圖3，則這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量在[55，75）的人數(shù)是．三、解答題：9.某人連續(xù)三十天每天開車所走的路程記錄如下：，請設計適當?shù)那o葉圖表示這些數(shù)據(jù)。10.為了估計某人的射擊技術情況，在他的訓練記錄中抽取次檢驗，他的命中環(huán)數(shù)如下：（1）列出頻率分布表（2）畫出頻率分布的直方圖為了了解中學生的電腦文字輸入的速度，抽取某中學同年級的部分學生進行測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，發(fā)現(xiàn)按每分鐘輸入個字進行劃分，共分成四個小組中；前三個小組的頻率分別為,第二小組的頻數(shù)為，求：（1）第四個小組的頻率；（2）問這次參加電腦文字輸入的學生人數(shù)；2.2.1參考答案一選擇題：1.B2.A3．D4.D5.B答案提示：1.由知，第二組的頻率是，而第二組的頻數(shù)是40，因此，參加數(shù)學競賽的學生的人數(shù)為；又由于第一組的頻率是，即有人，那么中位數(shù)必在第二組；2.由頻數(shù)=容量頻率3.由樣本頻率分布直方圖產(chǎn)生總體密度曲線的過程可知答案為（D）；4.根據(jù)頻率的概念，可知是大學生的頻率，得答案為（D）；5.設湖中有條魚，由；二、填空題：6.；7.輛8.13人答案提示：6.由；；；知，在區(qū)間上的頻數(shù)為；所以，頻率為7./小時.由圖可知～的頻數(shù)=（組距），此時有輛汽車；同理～有輛汽車；故共有輛.8.注意的頻率為，由.三、解答題：莖葉103，6，8112，2，3，3，3，4，5，6，8，8121，3，3，4，4，5，6，6，6，8，8132，5，5，5，8，99.解：莖葉圖如下：10.解：（1）頻率分布表如下：（2）頻率分布直方圖如下環(huán)數(shù)頻數(shù)頻率5661071081397104合計5011.解：（1）由，即第四個小組的頻率為；（2）由，知這次參加電腦文字輸入的學生人數(shù)為人；統(tǒng)計學是研究如何收集、整理、分析數(shù)據(jù)的科學，它可以為人們制定決策提供依據(jù)。新課標中指出，統(tǒng)計與概率的基礎知識已經(jīng)成為一個公民的必備學識。而中學進行統(tǒng)計學習，重點是理解統(tǒng)計思想，而統(tǒng)計思想主要體現(xiàn)在把握數(shù)據(jù)的能力，收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)中提取信息，并利用這些信息來說明問題。同時，體會樣本頻率分布的隨機性，體會統(tǒng)計思維與確定性的差異，提高學生的應用意識。1．創(chuàng)設良好情境，為教學服務新課標中強調(diào)發(fā)展學生的數(shù)學應用意識和創(chuàng)新意識。教學中盡可能揭示數(shù)學內(nèi)容的實際背景，通過實際問題的解決，體驗數(shù)學與社會實際的緊密聯(lián)系，突出數(shù)學的應用價值?；诖嗽诮虒W中，應該創(chuàng)設好教學情景，為教學目標服務。本節(jié)課伊始，首先創(chuàng)設了問題情境，用學生熟知的生活場景，提出開放性的問題，引起學生的興趣，學生進行了熱烈的討論甚至爭論，在教師的引導下，而順利的引出本課的要研究內(nèi)容—收集數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)等，可見一個好的問題情境對學生的學習，教學的深入具有積極的推動作用。在本節(jié)課結束之前的三個問題思考，是開始情景的延續(xù)，