第3講圓錐曲線綜合問題

第3講 圓錐曲線的綜合問題熱點突破備選例題高考導(dǎo)航高考導(dǎo)航演真題·明備考高考體驗1.(2012·新課標(biāo)全國卷,文20)設(shè)拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,準(zhǔn)線為l,A為C上一點,已知以F為圓心,FA為半徑的圓F交l于B,D兩點.

(1)若∠BFD=90°,△ABD的面積為4,求p的值及圓F的方程;解:(1)由已知可得△BFD為等腰直角三角形,|BD|=2p,圓F的半徑|FA|=2

p,又點

A

到l

的距離

d=|FA|=

2

p,而

S△ABD=4

2

,所以

1

|BD|·d=4

2

.即

1

×2p×

2

p=4

2

,所以

p=-2(舍去)或

p=2,2

2所以圓F的方程為x2+(y-1)2=8.(2)若A,B,F三點在同一直線m上,直線n與m平行,且n與C只有一個公共點,求坐標(biāo)原點到m,n距離的比值.解:(2)因為A,B,F三點在同一直線m上,所以AB為圓F的直徑,∠ADB=90°.又由拋物線定義知|AD|=|FA|=

1

|AB|,所以∠ABD=30°,m的斜率為-33

或3

3

323

,當(dāng)m

的斜率為

3

時,可設(shè)n

方程為y=

3

x+b.代入x2=2py得x2-2333

px-2pb=0,由于n與C只有一個公共點,故Δ=4

p2+8pb=0,所以b=-p61,又因為m的截距b=1bp2

b,

=3,所以坐標(biāo)原點到m,n的距離的3比值為

3.當(dāng)m

的斜率為-

3

時,由圖形對稱性知,坐標(biāo)原點到m,n

的距離之比仍為3.綜上,坐標(biāo)原點到m,n距離的比值為3.222

c

a

=2

,

2

4

2+(1)解:由

a2

b2a

=

b

+

c=1,解得a2=8,b2=4,故橢圓C的方程為x2

y28

4+

=1.x2

y2a2

b2+

=1(a>b>0)的離心率為22,點2.(2015·全國Ⅱ卷,文20)已知橢圓C:(2,

2

)在C上.(1)求C的方程;(2)直線l不過原點O且不平行于坐標(biāo)軸,l與C有兩個交點A,B,線段AB的中點為M.證明:直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.(2)證明:由題設(shè)直線l:y=kx+m(k≠0,m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),2

2x

+

2

y

-

8

=

0,2

2

21

2

y

=

kx

+

m,聯(lián)立

得(1+2k

)x

+4kmx+2m

-8=0,x

+x

=-4km1

+

2k

2,x1x2=,y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m2

-

8

2m1

+

2k

2

1

+

2k

2,得AB中點M(-2km

m1

+

2k

2

1

+

2k

2,

),m2km則直線OM與直線l斜率乘積為1

+2k

2-1

+

2k

2·k=-m2km·k=-1

,即定值.2(1)解:由題意得a=2,b=1.所以橢圓C的方程為x24+y2=1.又c=

a2

-

b2

=

3

,所以離心率e=

c

=

3

.a

2【教師備用】(2016·北京卷,文19)已知橢圓C:x2

y2a2

b2+ =1過點A(2,0),B(0,1)兩點.(1)求橢圓C的方程及離心率;(2)證明:設(shè)P(x0,y0)(x0<0,y0<0),則x2

+4

y2

=4.又A(2,0),B(0,1).0

0所以直線PA的方程為y=y0

x0

-

2(x-2).M令x=0,得y=-2

y0x0

-

2M,從而|BM|=1-y

=1+2

y0x0

-

2.直線PB的方程為y=y0

-1

x+1.x0(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點且在橢圓C上,直線PA與y軸交于點M,直線PB與x軸交于點N,求證:四邊形ABNM的面積為定值.N令y=0,得x=-x0

y0

-1N,從而|AN|=2-x

=2+x0

y0

-1.所以四邊形ABNM的面積S=

1

|AN|·|BM|=

1

(2+2

2x0

y0

-1)(1+2

y0x0

-

2)x2

+

4

y2

+

4x

y

-

4x

-

8

y

+

4

2x

y

-

2x

-

4

y

+

4x0

y0

-

x0

-

2

y0

+

2=

0

0

0

0

0

0

=

0

0

0

0

=2.2(x0

y0

-

x0

-

2

y0

+

2)從而四邊形ABNM的面積為定值.高考感悟1.考查角度以直線與圓錐曲線、圓與圓錐曲線為載體,考查圓錐曲線中的判斷與證明、最值與范圍、定點與定值、存在性等問題.2.題型及難易度題型以解答題為主,難度屬中、高檔.熱點突破剖典例·促遷移圓與圓錐曲線的綜合問題熱點一【例1】(2016·河南開封一模)如圖,已知圓G:(x-2)2+y2=r2

是橢圓16x2+y2=1的內(nèi)接△ABC的內(nèi)切圓,其中A為橢圓的左頂點.(1)求圓G的半徑r;解:(1)設(shè)B(2+r,y0),過圓心G作GD⊥AB于D,令BC交長軸于H,AD

AH由

GD

=

HB

得

r36

-

r

26

+

r0=

,即y=r6

-

ry0

6

+

r

,①而B(2+r,y0)在橢圓上,0y2

=1-(2

+

r

)212

-

4r

-

r

2=

=-16

16

16(r

-

2

(r

+

6,②由①②式得15r2+8r-12=0,解得r=2

或r=-6

(舍去),即圓G的半徑3

5r=

2

.3(2)過點M(0,1)作圓G的兩條切線交橢圓于E,F兩點,證明:直線EF與圓G相切.解:(2)設(shè)過M(0,1)與圓(x-2)2+y2=4

相切的直線方程為y-1=kx.③931

+

k

2則

2

=

2k

+1

,即

32k2+36k+5=0,

④1解得k=-9

+216

1641

,k

=

-9

-

41

.將③代入16x2+y2=1得(16k2+1)x2+32kx=0,則異于零的解為x=-32k16k

2

+1,設(shè)F(x1,k1x1+1),E(x2,k2x2+1),則x1=-116k

2

+12,x

=-232k1

32k216k

2

+1,EF則直線FE的斜率為k=k2

x2

-

k1x1x2

-

x1=k1

+

k21

-16k1k2=

3

,4132k

2于是直線

FE

的方程為

y+

1

-1=316k

2

+1

4132k16k

2

+1（x+

1

）,即y=3

74

3x-

,16則圓心(2,0)到直線FE的距離3

-

71

+

9d=

2

3

=

2

=r,3故直線EF與圓G相切.【方法技巧】求解直線、圓、圓錐曲線的綜合問題,一要看特殊點的位置關(guān)系,二要看特殊線段的位置關(guān)系,如圓的直徑與橢圓長軸(短軸)、圓的直徑與雙曲線的實軸(虛軸)、圓的直徑與弦等的位置關(guān)系.三要看圓與特殊線,如過定點的直線、雙曲線的漸近線、拋物線的準(zhǔn)線等位置關(guān)系.由幾何圖形的位置關(guān)系找到、找準(zhǔn)曲線方程中參數(shù)的數(shù)量關(guān)系,從而為解決問題打開突破口.2a

b由右焦點F到直線x

+y

=1的距離為d=21

,7得bc

-

aba2

+

b2=217,

②又a2=b2+c2,

③由①②③解得a=2,b=

3

,所以橢圓的方程為x2

y24

3+

=1.熱點訓(xùn)練1:已知橢圓C:a2x2

y2b2+ =1(a>b>0)的右焦點F到直線x

+y2a

b=1的距離7d=

21

,且a=2c.(1)求橢圓C的方程;解:(1)已知a=2c,

①解:(2)如圖,設(shè)△ABF1

內(nèi)切圓的半徑為r,與直線l的切點為D,DABF12

21

1

2

1

2

1則

S

=

1

(|AB|+|AF

|+|BF

|)r=

1

(|AF

|+|AF

|+|BF

|+|BF

|)r=2ar=4r,1DABF當(dāng)

S

最大時,r

也最大,△ABF1

內(nèi)切圓的面積也最大.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>0,y2<0),由(1)知|F1F2|=2,DABF12

21

2

1

1

2

2

1

2則

S

=

1

·|F

F

|·|y

|+

1

·|F

F

|·|y

|=y

-y

.x

=

my

+1,由

x2

y2

4

+

3

=

1,得(3m2+4)y2+6my-9=0,(2)設(shè)過焦點F2的直線l:x=my+1與橢圓相交于A,B兩點,試問△ABF1的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值?若存在,求出這個最大值及直線l的方程,若不存在,請說明理由.解得y1=-3m

+

6

m2

+1,y2=-3m

-

6

m2

+13m2

+

4 3m2

+

41DABF,所以

S

=12

m2

+13m2

+

4,令t=

m2

+1

,則

t≥1,且

m2=t2-1,有

SDABF1=12t3(t

2

-1)+

4=12t3t

2

+1=1213t

+t,1t1t

2令f(t)=3t+ ,則

f′(t)=3- ,當(dāng)

t≥1

時,f′(t)>0,DABF1所以

f(t)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,故

f(t)≥f(1)=4,所以

S

≤

12

=3.4max4

16即當(dāng)t=1時,m=0時,4r有最大值3,得r=3

,于是所求內(nèi)切圓的面積為9

π,所以存在直線l:x=1,使得SDABF1的內(nèi)切圓的面積達(dá)到最大值,且最大值為9

π.16熱點二定點與定值問題考向1

定點問題【例2】(2016·廣東汕尾調(diào)研)拋物線C關(guān)于y軸對稱,它的頂點在坐標(biāo)原點,已知該拋物線與直線y=x-1相切,切點的橫坐標(biāo)為2.(1)求拋物線C的方程;解:(1)因為拋物線C關(guān)于y軸對稱,設(shè)拋物線方程為y=ax2+c,所以y′=2ax,又該拋物線與直線y=x-1相切,切點的橫坐標(biāo)為2,所以4a=1,a=1

.所以切4點為(2,1),所以1=1

×4+c,所以c=0,4故拋物線C的方程為x2=4y.解:(2)C的焦點為(0,1),因為拋物線開口向上,與直線l交拋物線C于M(x1,y1),N(x2,y2)兩點,且x1<x2,y1≠y2,故l的斜率一定存在,且不為0,設(shè)直線l為y=kx+1(k≠0),1

1因為M與P關(guān)于y軸對稱,所以P(-x,y),聯(lián)立方程x2

=

4

y,y

=

kx

+1,

1

221消y得x2-4kx-4=0,所以x1

+x2

=4k,則直線PN:y

-y1x

x

=

-4,

y

-

y=

x

+

x1x2

+

x1,4

4x2

x2由y1=

1

,y2=

2

得直線PN的方程4y=(x2-x1)x-4,過(0,-1),故恒過定點(0,-1).(2)過拋物線C的焦點作直線l交拋物線C于M(x1,y1),N(x2,y2)兩點,且x1<x2,y1≠y2,點M與點P關(guān)于y軸對稱,求證:直線PN恒過定點,并求出該定點的坐標(biāo).考向2

定值問題【例3】(2016·陜西漢中質(zhì)檢)已知直線l:y=x+6

,圓O:x2+y2=5,橢圓E:y2

x2a2

b2+

=1(a>b>0)的離心率e=33

,直線l被圓O截得的弦長與橢圓的短軸長相等.(1)求橢圓E的方程;(1)解:設(shè)橢圓半焦距為c,圓心O到l的距離d=61

+1=

3

,223

,3

c則l

被圓O

截得的弦長為

2

2

,所以b=

2

.由題意得

a

=

2a

=

b

+

c

,又b=

2

,所以a2=3,b2=2.所以橢圓

E

的方程為3

2y2

x2+

=1.(2)過圓

O

上任意一點

P(x0,y0)(x0≠±

2

,y0≠±

3

)作兩條直線與橢圓

E

分別只有唯一一個公共點,求證:這兩直線斜率之積為定值.(2)證明:設(shè)過P(x0,y0)的橢圓E的切線l0

的方程為y-y0=k(x-x0),整理得x2

y

=

kx

+

y0

-

kx0

,y=kx+y0-kx0,聯(lián)立直線l0

與橢圓E的方程得

y2

3

+

2

=1,消去y得2

220

0

0

0

0

02

22[kx+(y-kx)]+3x-6=0,整理得(3+2k

)x+4k(y-kx)x+2(kx-y)-6=0,0

0

0

02

2

2所以Δ=[4k(y-kx)]-4(3+2k)[2(kx-y)-6]=0,2整理得(2-x20

020

0)k

+2x

y

k-(

y

-3)=0,設(shè)滿足題意的與橢圓E分別只有唯一的公共點的直線的斜率分別為k1,k2,則1

2k

k

=-

0

02

-

x202

201

2.因為點P

在圓O

上,所以

x

+

y

=5,所以k

k

=-

0

0y2

-

3 5

-

x2

-

32

-

x2=-1.所以兩條切線斜率之積為-1.【方法技巧】(1)由直線方程確定定點,若得到了直線方程的點斜式:y-y0=k(x-x0),則直線必過定點(x0,y0);若得到了直線方程的斜截式y(tǒng)=kx+m,則直線必過定點(0,m).(2)定值問題就是在運動變化中尋找不變量的問題,基本思想是使用參數(shù)表示要解決的問題,證明要解決的問題與參數(shù)無關(guān).在這類試題中選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的.熱點訓(xùn)練

2:(2016·湖北荊門調(diào)考)已知拋物線C:x2=2py

的焦點與橢圓

+4

3y2

x2=1的上解:(1)由于橢圓4

3焦點重合,點A是直線x-2y-8=0上任意一點,過A作拋物線C的兩條切線,切點分別為

M,N.(1)求拋物線C的方程;y

2

x2+

=1的上焦點為F(0,1),所以p

=1,得p=2,所以拋物線C的方程為x2=4y.2(2)證明直線MN過定點,并求出定點坐標(biāo).解:(2)設(shè)A(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),由y=14x2?1y′=

x.2121

1

1所以直線

AM

的方程為

y-y

= x

(x-x

),即

y=121x

x-12211x

+y

.21121

1

1又M

在拋物線

C

上,所以

x

=4y

,所以直線

AM

的方程為

y= x

x-y

,22

2同理可得直線AN的方程為y=1

x

x-y.由于直線AM和直線AN交于A點,所以0

1

0

1

02

2

22

0

2

0

0y=1

x

x-y,y=1

x

x-y,即M,N均在直線y=1

xx-y上,所以直線MN的方程20

00

0為y=1

xx-y.又A在直線x-2y-8=0上,所以x-2y-8=0,代入直線MN的方程并整理得直線MN的方程為x0(x-1)-2(y-4)=0,從而直線MN過定點(1,4).探索性問題熱點三解:(1)因為圓

x2+y2=a2

被直線

x-y-

2

=0

截得的弦長為

2,所以22

-

2

+1=a2,所以

a=

2

,由橢圓

C

的離心率為

c

=

2

,得a

2c2=

2

,即c=1,所以b2=a2-c2=1,2所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22+y2=1.【例4】(2016·陜西漢中質(zhì)檢)已知橢圓C:x2

y2a2

b2+

=1(a>b>0)的離心率為22,左、1

22

2

2右焦點分別為F

,F;若圓x

+y

=a被直線x-y-2

=0截得的弦長為2.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)過右焦點F2

的直線l與橢圓C交于A,B兩點,是否存在過右焦點F2

的直線l,使得以AB為直徑的圓過左焦點F1,如果存在,求直線l的方程;如果不存在,說明理由.解:(2)假設(shè)存在滿足題意的直線l.當(dāng)直線l與y軸垂直時,不合題意;可設(shè)l的方程為x=my+1,由2

x2

+

y

2x

=

my

+1,=1,消x得(m2+2)y2+2my-1=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=-2mm2

+

21

2,y

y

=-1m2

+

2,因為以AB為直徑的

圓過左焦點F1,F1(-1,0),所以F1

A

·

F1B

=0,即(x1+1,y1)·(x2+1,y2)=0,得x1x2+(x1+x2)+y1y2+1=0,而x1x2=(my1+1)(my2+1)=2

-

2m2m2

+

2,x1+x2=my1+1+my2+1=4

2

-

2m2.所以

+

+4

-1m2

+

2

m2

+

2

m2

+

2

m2

+

2+1=0,解得m=±

7

,所以存在直線

l,l

的方程為

x+

7

y-1=0

或

x-

7

y-1=0.【方法技巧】有關(guān)圓錐曲線中探索性或存在性問題,一般是先假設(shè)存在滿足題意的幾何量,經(jīng)過推理論證,如果得到可以成立的結(jié)果,就可以作出存在的結(jié)論;若得到與已知條件、定義、公理、定理、性質(zhì)相矛盾的情況,則說明假設(shè)不存在.22

2解:(1)由題意知

c=1,由橢圓定義得

2a=

(-1

-1)

+

2

+22,即a=

2

,所以

b2=2-1=1,所以橢圓

C

方程為x22+y2=1.熱點訓(xùn)練3:(2016·湖北優(yōu)質(zhì)高中聯(lián)考)已知橢圓C:x2

y2a2

b2+

=1(a>b>0)的右焦點為2F(1,0),且（-1,

2

）在橢圓C

上.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

7解:(2)假設(shè)在

x

軸上存在點

Q(m,0),使得QA

·

QB

=- 恒成立.16當(dāng)直線

l

的斜率不存在時,A（1,

2

）,B（1,-

2

）,由于2

2（1-m,

2

）·（1-m,-

2

）=-

7

,2

2

16所以m=5

或m=3

.4

4(2)已知動直線l過點F,且與橢圓C交于A,B兩點,試問x軸上是否存在定點Q,使

得QA

·

QB

=-716恒成立?若存在,求出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.5

下面證明當(dāng)

m=

時,

QA

·

QB

=-4716恒成立.當(dāng)直線

l

的斜率為

0

時,A(

2

,0),B(-

2

,0),則（

2

-

5

,0）·（-42

-

5

,0）=-

7

,4

16符合題意.當(dāng)直線l的斜率不為0時,設(shè)直線l的方程為x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由x=ty+1及2

2

21

2 1

22t

1x22

t

2

+

2

t

2

+

2+y

=1

得(t

+2)y

+2ty-1=0

有Δ>0,所以

y

+y

=-

,y

y

=-

.1

1

2

2

14

4

4

4因為x

=ty

+1,x

=ty

+1,所以（x-5

,y

）·（x-5

,y

）=（ty-1

）（ty-1

）+y

y1

2

2

1

2 1

22141

2

1

2=(t

+1)y

y

- t(y

+y

)+116=-(t2+1)1

1t

2

+

2

4+

t·t

2

+

216

2(t

2

+

2)+

=

+2t

1

-2t

2

-

2

+

t

2

1

716

16=-

,5

綜上所述,在

x

軸上存在點

Q（

,0）使得QA

·

QB

=-4716恒成立.最值與范圍問題熱點四解:(1)因為2a=25

+

24

+9

91

+

24

=4,9

9所以

b=

a2

-

c2

=

3

,所以橢圓的方程為x2

y24

3+

=1.【例5】(2016·湖南益陽調(diào)研)設(shè)橢圓C:x2

y2a2

b22

2

6+

=1(a>b>0)經(jīng)過點（

,3

3）,且其左焦點坐標(biāo)為(-1,0).(1)求橢圓的方程;(2)過橢圓的右焦點作兩條相互垂直的直線l1,l2,其中l(wèi)1交橢圓于M,N,l2交橢圓于P,Q,求|MN|+|PQ|的最小值.解:(2)①當(dāng)直線l1,l2

中有一條直線的斜率不存在時,|MN|+|PQ|=7,②當(dāng)直線l1

的斜率存在且不為0時,設(shè)直線l1

的方程為y=k(x-1),設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),由

y

=

k

(x

-1),

x2

y2

4

+

3

=1,2

2

2

21

2得(3+4k)x-8k

x+4k-12=0,所以x+x=2

8k

2

4k

2

-123

+

4k

3

+

4k,x1x2=

,2(

)(

)2212|MN|=

1

+

k x

-

x(

)212 1

2=

1

+

k

2

·

x

+

x

-

4x

x

=12(1

+

k

23

+

4k

22,設(shè)直線l的方程為1y=-

(x-1),同理得|PQ|=k12(1

+

k

24

+

3k

2,所以|MN|+|PQ|=284(k

2

+1)(4

+

3k

2

)(3

+

4k

2

),設(shè)t=k2+1,則t>1,所以|MN|+|PQ|=841

1- +

+12t

2

t1,因為

t>1,所以

=

1

時,|MN|+|PQ|有最小值

48

<7.t

2

7綜上,|MN|+|PQ|的最小值是48

.7【方法技巧】解決圓錐曲線中范圍問題的方法一般題目中沒有給出明確的不等關(guān)系,首先需要根據(jù)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化,利用圓錐曲