第二章2011年實(shí)際講內(nèi)容

第二章完全彈性體介質(zhì)中彈性波傳播規(guī)律振動(dòng)與聲基礎(chǔ)流體（液體、氣體）的力學(xué)特征：流體中任取一個(gè)面元，面元所受周圍流體的作用力總是垂直于面元（無(wú)切向力）。理想流體；流體中體元作機(jī)械運(yùn)動(dòng)時(shí)無(wú)機(jī)械能損耗。理想流體中的機(jī)械波是縱波。彈性體（固體）的力學(xué)特征：彈性體中任取一個(gè)面元，面元所受周圍彈性體的作用力大小與方向與面元有關(guān)，但并不見(jiàn)得與面元垂直（存在切向力）。完全彈性體：彈性體中體元作機(jī)械運(yùn)動(dòng)時(shí)無(wú)機(jī)械能損耗。完全彈性體中的機(jī)械波有縱波和橫波。個(gè)標(biāo)量聯(lián)系，該標(biāo)量就稱為壓強(qiáng)。ds反方向一致，因而，之d間s

由一彈性體在外力作用下會(huì)發(fā)生形變，本課所分析的形變都在彈性范圍內(nèi)，是彈性形變。1、彈性體中的應(yīng)力張量（矩陣）、應(yīng)力分量流體內(nèi)面積微元所受周圍流體的作用力與面元的關(guān)系：df

與與dfdf

=

-Pds其中，P是流體內(nèi)部壓強(qiáng)2-1

彈性體介質(zhì)的基本特性用力那么，會(huì)是哪類物理量將df所以，在

彈性體內(nèi)部，面積微元所受周圍彈性體的作與

之ds間不能由一個(gè)標(biāo)量聯(lián)系。df與ds聯(lián)系起來(lái)？dfds

與 之間由一個(gè)張量（矩陣）聯(lián)系：df

=

[T

]ds2-1

彈性體介質(zhì)的基本特性1、彈性體中的應(yīng)力張量（矩陣）、應(yīng)力分量但是，在彈性體內(nèi)部，面積微元所受周圍彈性體的作用力與面元的方向并不保持一致。2-1

彈性體介質(zhì)的基本特性1、彈性體中的應(yīng)力張量（矩陣）、應(yīng)力分量彈性體的應(yīng)力張量（矩陣）。TTTyz

Txy

Txz

Tyyzx

Tzy

zzTxx(T

)=

TyxTab

:b方向面元在a方向的受力。r(xi

,h

j

,zk

)

其形變位移：形變后的位置R

+

r

=

(x

+xi

,

y

+h

j

,

z

+zk

)形變位移不代表形變，更不能產(chǎn)生應(yīng)力。2-1

彈性體介質(zhì)的基本特性2、彈性體中的應(yīng)變張量（矩陣）、應(yīng)變分量彈性體內(nèi)的應(yīng)力是彈性體形變產(chǎn)生的，下面分析產(chǎn)生應(yīng)力的形變?nèi)绾蚊枋觯篗點(diǎn)的位置：R(x,y,z)形變后，Q位移至點(diǎn)Q’點(diǎn)：rd

drrd

絕對(duì)位移形變：相對(duì)位移形變：dr

rd

=

?2-1

彈性體介質(zhì)的基本特性R

+

dr2、彈性體中的應(yīng)變張量（矩陣）、應(yīng)變分量M的相鄰點(diǎn)Q，坐標(biāo)位置：

=

(x

+

dx,

y

+

dy,

z

+

dz)yxxyzxxzzyyzzzyyxx?y

?x?z

?x?z

?y?z?y?xe

=e

=(?x

+?h

);稱為應(yīng)變分量。e

=

e

=

(?x

+

?z

);e

=

e

=

(?h

+

?z

);=

?z

;e=

?h

;e=

?x

;e應(yīng)變張量簡(jiǎn)記作：zz

zxe

e

e(S)=

eyxexy

exz

eyy

eyz

zyexx其中：Txx=

c11exx+

c12eyy+

c13ezz+

c14eyz+

c15ezx+

c16exyTyy=

c21exx+

c22eyy+

c23ezz+

c24eyz+

c25ezx+

c26exyTzz=

c31exx+

c32eyy+

c33ezz+

c34eyz+

c35ezx+

c36exyTyz=

c41exx+

c42eyy+

c43ezz+

c44eyz+

c45ezx+

c46exyTzx=

c51exx+

c52eyy+

c53ezz+

c54eyz+

c55ezx+

c56exyTxy=

c61exx+

c62eyy+

c63ezz+

c64eyz+

c65ezx+

c66exy彈性體內(nèi)的應(yīng)力是由應(yīng)變引起的，因而應(yīng)力是應(yīng)變的函數(shù)，在小形變條件下可用線性關(guān)系表示：（廣義虎克定律）3、應(yīng)力應(yīng)變之間的關(guān)系（廣義虎克定律）2-1

彈性體介質(zhì)的基本特性楊氏模量

E

和泊松比

s時(shí)，x方向相對(duì)伸張形變?yōu)?，二者之間的關(guān)系為：Exx=

Txx'e其中E為楊氏模量。，除在y方向的伸張形變?yōu)橥猓瑫r(shí)在x方向引起橫向效應(yīng)，相應(yīng)的伸張形變

和反號(hào)。xx設(shè)一平行六面體在x面上受到法線方向均勻的張力T又如只在y面上施以均勻張力Ty時(shí)yETyyyy'e

='xxe''xxe'yyeEyyxxTyye

=

-se

=

-

s'''張形變?yōu)橄鄳?yīng)的伸張形變?yōu)?/p>

。zz又如沿z方向作用均勻張力T

時(shí)，除在z方向的伸Ezz=外Tzz，同時(shí)也在x方向引起橫向效應(yīng)，'e'''xxeExx

zze

=

-se

=

-Tzz

s''''作用時(shí)，x方向的實(shí)際形變?yōu)?，xx

yy

zz根據(jù)互不干涉原理，六面體同時(shí)受到三對(duì)張力

T

,T

,TxxE=

[Txx

-s

(Tyy

+

Tzz

)]+

e+

ee

=

e1'''xx''xx'xx（1）zz

xx

yyzzEe

=

1

[T

-s

(T

+

T

)]zzxxyyyyEe

=

1

[T

-s

(T同理，在y，z方向的形變?yōu)楦膶?xiě)為：

Txx

=

Eexx

+s

Tyy

+

Tzz

)Tyy

=

Eeyy

+s

(Txx

+

Tzz)Tzz=

Eezz

+s

Txx

+

Tyy

)+

T

)]

（2）（3）（3’）（2’）（1’）以上三式相加得zzyyxxE(e

+

e

+

e

)=Txx

+

Tyy

+

Tzz1

-

2s分別帶入（1’）、（2’）中、，（化3’）簡(jiǎn)得xxzzyyxxxxETe+

e

+

e

)+=

Es

(e(1

+s

)(1

-

2s

)yyzzyyxxyy1

+sET+

e

+

e

)+

e=

Es

(e1

+s(1

+s

)(1

-

2s

)zzzzyyxxzzET+

e

+

e

)+

e=

Es

(e1

+s(1

+s

)(1

-

2s

)TyyTzz=

l(exx

+

eyy

+

ezz

)

+

2meyy

;=

l(exx

+

eyy

+

ezz

)

+

2mezz

;2-1

彈性體介質(zhì)的基本特性3、應(yīng)力應(yīng)變之間的關(guān)系（廣義虎克定律）Txx

=

l(exx

+

eyy

+

ezz

)

+

2mexx

;(m,l

)稱為拉梅常數(shù)。可得拉梅系數(shù)(l,m)與楊氏模量泊松系數(shù)(E,s

)的關(guān)系：2(1

+s

)m

=(1

+s

)(1

-

2s

)El

=

Es

;2-2彈性體中的彈性波分體元6個(gè)面上的‘有效’應(yīng)力量標(biāo)記如右圖：1、彈性介質(zhì)中的波動(dòng)方程彈性介質(zhì)中取體元dxdydz；分析其受力：lc

=tl

+

2m

rm

rc

=位移標(biāo)量勢(shì)函數(shù)F是縱波函數(shù)；縱波波速為Y位移矢量勢(shì)函數(shù)是橫波函數(shù)；橫波波速為縱波勢(shì)函數(shù)波動(dòng)方程體中縱波的聲速總大于橫波的聲速。顯然，cl

>，c固t=0

橫波勢(shì)函數(shù)波動(dòng)方程=

0?t

2)

1

?Y

(r

,t

)· ·

Y

(r

,t

+c2?t

2rc22F

(r

,t

)-tl

1

?F

,t

)集中參數(shù)振動(dòng)系統(tǒng)：在同一空間位置上，振動(dòng)系統(tǒng)只有彈性，或者只有慣性（或阻尼）。例如：第一章研究的振動(dòng)問(wèn)題涉及的振動(dòng)系統(tǒng)就是

‘集中參數(shù)振動(dòng)系統(tǒng)’。分布參數(shù)振動(dòng)系統(tǒng)：在同一空間位置上，振動(dòng)系統(tǒng)既具有彈性又有慣性（或阻尼）。本節(jié)研究的均勻細(xì)棒的縱振動(dòng)中的均勻細(xì)棒就是‘分布參數(shù)振動(dòng)系統(tǒng)’2-3

彈性體振動(dòng)問(wèn)題之一：均勻細(xì)棒的縱振動(dòng)1、均勻細(xì)棒縱振動(dòng)的近似理論均勻：棒的材料參數(shù)、棒的截面均勻。（一樣）細(xì)棒：棒的截面最大線度遠(yuǎn)小于棒中彈性波的波長(zhǎng)。縱振動(dòng)：沿棒的長(zhǎng)度方向振動(dòng)。（如圖）均勻細(xì)棒縱振動(dòng)的近似理論是指在上述情況下，可以近似認(rèn)為：只考慮z方向振動(dòng)；其它方向的振動(dòng)可略。只考慮z方向的應(yīng)力分量；其它方向應(yīng)力可略。在垂直于z軸的同一個(gè)截面上振動(dòng)相同。dzzzzz

zz?z=

zz

?z?z?T

(z)[T

(z

+

dz)

-T

(z)]=

Sdt

2dt

2f

=

f1

-

f2

=

Sd

2z

?T

(z)=

S

zz

dz;

rd

2z

?T

(z)\

rSdz細(xì)棒中取dz段，建立運(yùn)動(dòng)方程：體元受力：1、均勻細(xì)棒縱振動(dòng)的近似理論（1）均勻細(xì)棒縱振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程dt

2zz

zz

yy

xx

zz?z2?z=

zz

=

E?z?T

(z)

?2zd

2z\

r又T

=

Ee

+s

(T

+

T

)

=

Ee

=

E

?z由均勻細(xì)棒縱振動(dòng)的近似理論得到的均勻細(xì)棒縱振動(dòng)的波動(dòng)方程；它與流體波動(dòng)方程形式一樣？rE20其中：c

=0=

0-dt

2c2?2z

1

d

2z?z2?。【鶆蚣?xì)棒縱振動(dòng)的波動(dòng)方程1、均勻細(xì)棒縱振動(dòng)的近似理論zzkzkkt)

+

D

sin(w

t)}{A

cos(kz

z)

+

B

sin(kz

z)}{C

cos(wz

(

z,t)

=用‘分離變數(shù)法’求解，可得：1、均勻細(xì)棒縱振動(dòng)的近似理論均勻細(xì)棒縱振動(dòng)的波動(dòng)方程的形式解：0-

=

0?t

2c2?z2?2z

(z,t)

1

?2z

(z,t)=

g(z)=

f

(z);t

=0t

=0?z

(z,t)?t初條件:z

(z,t);0czkzw其中：k

=kz、A、B由邊條件確定；C、D由初條件確定。1、均勻細(xì)棒縱振動(dòng)的近似理論（2）均勻細(xì)棒縱振動(dòng)的邊條件類型：固定邊條件：（端點(diǎn)固定不動(dòng)，位移為零）z（z,t)

=

0z

=端點(diǎn)自由邊條件：（端點(diǎn)自由，應(yīng)力為零）=

0z

=端點(diǎn)?z

(z,t)?zD)激勵(lì)力作用邊條件（端點(diǎn)有激勵(lì)力作用）1、均勻細(xì)棒縱振動(dòng)的近似理論C)質(zhì)量負(fù)載邊條件（端點(diǎn)聯(lián)結(jié)剛性質(zhì)量塊）z

=端點(diǎn)z

=端點(diǎn)=

-M?zSE?t

2?z

(z,t)

?2z

(z,t)=

f

(t)z

=端點(diǎn)SE

?z

(z,t)?z00cc2zzzkzkkz

zww

t)}wt)

+

D

sin({Acos(k

z)

+

B

sin(k

z)}{C

cos(z

(z,t)

==

0=

0;

?z

(z,t)?z

(z,t)=

0?t

2-?z2?2z

(z,t)

1

?2z

(z,t)kz?z

z

=0

?z

z

=L其中：k

=

;用‘分離變數(shù)法’求解，可得形式解：2、例一：兩端自由均勻細(xì)棒的自由縱振動(dòng)方程和邊界條件=0=0=0n

=0,1,2,3......?z{Ccos(?zkk=L-

Akzsin(kz

z)

zz=Lkkz=0kzzz{-Akz

sin(kz

z)

+

Bkz

cos(kz

z)}zkz

B

”0zzsin(kz

L)

=0

kz

L

=

np{Ccos(w

t)

+

Dsin(w

t)}=0?z(z,t)w

t)}=0w

t)

+

Dsin(?z(z,t)由：由：2、例一：兩端自由均勻細(xì)棒的自由縱振動(dòng)代入邊界條件00LcLn

n

0kznzkzzw\

w

=

w

=

k

c

=

np

cn

=

0,1,2,3......k

=

np

=

k\又

k

=綜上，可得：LLn

n

nn

n其中：an和jn由初條件確定。(

n

=0項(xiàng)無(wú)意義，舍去）n=0=

a

cos(

np

z)

cos(w

t

+

j

)￥n=1z

(z,t)

=

Acos(

np

z){C

cos(w

t)

+

D

sin(w

t)}￥2、例一：兩端自由均勻細(xì)棒的自由縱振動(dòng)為兩端自由均勻細(xì)棒縱振動(dòng)的第n階簡(jiǎn)正振動(dòng)。Ln

nn

n2、例一：兩端自由均勻細(xì)棒的自由縱振動(dòng)中的分布示意圖：第n階簡(jiǎn)正振動(dòng)的振幅在棒分析：

定義，z

(z,t)

=

a

cos(np

z)

cos(w

t

+j）；正因如此，給定初條件的位移分布函數(shù)和振速分布函數(shù)，利用簡(jiǎn)正振動(dòng)函數(shù)在z

?

[0,L]的正交完備性，進(jìn)行傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)可得形式解中的an和jn

值。自由振動(dòng)中哪些簡(jiǎn)正振動(dòng)函數(shù)存在，它們的幅值為何，決定于初條件。不同階簡(jiǎn)正振動(dòng)函數(shù)在z

?

[0,L]彼此正交；并且所有階簡(jiǎn)正振動(dòng)函數(shù)構(gòu)成正交完備函數(shù)族。（數(shù)學(xué)上,第n階簡(jiǎn)正振動(dòng)函數(shù)是相應(yīng)邊界條件下的第n階特征（固有）函數(shù)。）2、例一：兩端自由均勻細(xì)棒的自由縱振動(dòng)兩端自由均勻細(xì)棒縱振動(dòng)第n階泛音頻率是基頻的n倍諧音頻率。nccnnn10012L2L=

nf兩端自由均勻細(xì)棒縱振動(dòng)第n階泛音頻率:

f

=兩端自由均勻細(xì)棒縱振動(dòng)基頻:

f

=簡(jiǎn)正振動(dòng)的固有頻率。分布參數(shù)系統(tǒng)自由振動(dòng)時(shí)，有￥

多個(gè)固有頻率；其中最低的頻率稱作基頻；其它固有頻率稱作泛音頻率。=nc0

為兩端自由均勻細(xì)棒縱振動(dòng)第n階定義,

f

=2p

2Lw2、例一：兩端自由均勻細(xì)棒的自由縱振動(dòng)分布參數(shù)振動(dòng)系統(tǒng)與集中參數(shù)振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng)比較：[1]分布參數(shù)振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng)是以簡(jiǎn)正振動(dòng)方式進(jìn)行；能夠以￥

多個(gè)固有頻率作￥

階簡(jiǎn)正振動(dòng)。[2]n個(gè)自由度的集中參數(shù)振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng)也以簡(jiǎn)正振動(dòng)方式進(jìn)行,但其最多有n個(gè)固有頻率,各自由度上最多有n個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)迭加。2、例一：兩端自由均勻細(xì)棒的自由縱振動(dòng)w- =

000c0

c0z

(z,t)

=

{Acos(

w

z)

+

B

sin(

w

z)}{C

cos(wt)

+

D

sin(w

t)}=

F

coswt?z=

0;

SE

?z

(z,t)z

(z,t)?t

2c2?z2?2z

(z,t)

1

?2z

(z,t)z

=Lz

=