第二節(jié)線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì)

第二節(jié)線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì)§6.2線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì)第一頁，共十七頁，編輯于2023年，星期四第二節(jié)線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì)第六章線性空間LinearSpace第二頁，共十七頁，編輯于2023年，星期四一、線性空間的概念定義1設(shè)V是一個(gè)非空集合,P是一個(gè)數(shù)域.在集合V的元素之間定義了一種代數(shù)運(yùn)算，叫做加法；這就是說，給出了一個(gè)法則，對(duì)于V中任意兩個(gè)元素與，在V中都有唯一的一個(gè)元素

與它們對(duì)應(yīng)，稱為與的和，記為=+.在數(shù)域P與集合V的元素之間還定義了一種運(yùn)算,叫做數(shù)量乘法；這就是說，對(duì)于數(shù)域P中任一數(shù)k與V中任一元素，在V中都有唯一的一個(gè)第三頁，共十七頁，編輯于2023年，星期四元素

與它們對(duì)應(yīng)，稱為k與的數(shù)量乘積，記=k.如果加法與數(shù)量乘法滿足下述規(guī)則，那么V稱為數(shù)域P上的線性空間.加法滿足下面四條規(guī)則：1)；2)()()；3)在V中有一個(gè)元素0，對(duì)于V中任一元素都有+0=(具有這個(gè)性質(zhì)的元素0稱為V的零元素)；第四頁，共十七頁，編輯于2023年，星期四4)對(duì)于V中每一個(gè)元素，都有V中的元素

，使得+=0(稱為的負(fù)元素).數(shù)量乘法滿足下面兩條規(guī)則：5)1=；6)k(l)=(kl).數(shù)量乘法與加法滿足下面兩條規(guī)則：7)(k+l)=k+l;8)

k(+)=k

+k.第五頁，共十七頁，編輯于2023年，星期四在以上規(guī)則中，k,l

表示數(shù)域P

中的任意數(shù);,,等表示集合V中任意元素.線性空間的元素也稱為向量.當(dāng)然，這里所謂向量比幾何中所謂向量的涵義要廣泛得多.線性空間有時(shí)也稱為向量空間.一般用小寫的希臘字母,,,…表示線性空間V中的元素，用小寫的拉丁字母a,b,c,…表示數(shù)域P中的數(shù).第六頁，共十七頁，編輯于2023年，星期四

注

◆

向量空間的定義可簡(jiǎn)單記為“1128”，即一個(gè)數(shù)域P，這是基礎(chǔ)域；一個(gè)集合Ｖ；兩個(gè)運(yùn)算，又叫做線性運(yùn)算；八條規(guī)則，其中前四條是加法的運(yùn)算律，這時(shí)稱Ｖ對(duì)加法做成一個(gè)加群，第五、六條是數(shù)量乘法算律，最后兩條是分配律，表示兩種運(yùn)算之間的聯(lián)系.第七頁，共十七頁，編輯于2023年，星期四

例1在解析幾何中，平面或空間中一切向量組成的集合V,對(duì)于向量的加法及實(shí)數(shù)與向量的乘法,構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的一個(gè)線性空間.

例3全體定義在區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)組成的集合V,對(duì)于函數(shù)的加法及實(shí)數(shù)與連續(xù)函數(shù)的乘法,構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的一個(gè)線性空間.用

C[a,b]

表示.

例2全體n維實(shí)向量組成的集合V,對(duì)于向量的加法及實(shí)數(shù)與向量的乘法,構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的一個(gè)線性空間.第八頁，共十七頁，編輯于2023年，星期四例4數(shù)域P上一元多項(xiàng)式環(huán)P[x]，按通常的多項(xiàng)式加法和數(shù)與多項(xiàng)式的乘法，構(gòu)成數(shù)域P上的一個(gè)線性空間.如果只考慮其中次數(shù)小于n的多項(xiàng)式，再添上零多項(xiàng)式也構(gòu)成數(shù)域P上的一個(gè)線性空間，用P[x]n

表示.

但是，數(shù)域P上的n次多項(xiàng)式集合對(duì)同樣的運(yùn)算不構(gòu)成線性空間，因?yàn)閮蓚€(gè)n次多項(xiàng)式的和可能不是n次多項(xiàng)式.第九頁，共十七頁，編輯于2023年，星期四例5全體數(shù)域P上的m

n矩陣組成的集合V，按矩陣的加法和數(shù)與矩陣的數(shù)量乘法，構(gòu)成數(shù)域P上的一個(gè)線性空間，用Pm

n

表示.例6全體實(shí)函數(shù)，按函數(shù)的加法和數(shù)與函數(shù)的數(shù)量乘法，構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的一個(gè)線性空間.例7數(shù)域P按照本身的加法與乘法，即構(gòu)成自身上的一個(gè)線性空間.第十頁，共十七頁，編輯于2023年，星期四例8全體數(shù)域P上的2維向量組成的集合V,定義數(shù)與向量的數(shù)量乘法如下:k⊙(a,b)=(ka，0),對(duì)于通常的向量加法及以上定義的數(shù)與向量的數(shù)量乘法不構(gòu)成數(shù)域P上的線性空間.事實(shí)上,當(dāng)b≠0時(shí)1⊙(a,b)=(1a，0)=(a，0)≠(a,b).第十一頁，共十七頁，編輯于2023年，星期四

注

◆

例8中集合V滿足線性空間定義中的其他七條公理,可見第五條雖然比較簡(jiǎn)單,但是不可由其他七條推出.

◆

在8條公理中只有第一條加法滿足交換律不是獨(dú)立的.

證明∵2(

)＝2

2

＝(1＋1)＋(1＋1)＝(1＋1)＋(1＋1)＝(＋)＋(＋)＝＋(＋)＋,

第十二頁，共十七頁，編輯于2023年，星期四2(＋)＝(1＋1)(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋(＋)＋

,∴

＝

.證畢第十三頁，共十七頁，編輯于2023年，星期四二、線性空間的簡(jiǎn)單性質(zhì)1.零向量是唯一的.證明假設(shè)01，02是線性空間V中的兩個(gè)零向量.于是01=01+02=02.證畢故零向量是唯一的.第十四頁，共十七頁，編輯于2023年，星期四2.任意向量的負(fù)向量是唯一的.假設(shè)有兩個(gè)負(fù)向量與

，+=0，+=0.那么證畢向量的負(fù)向量記為-.證明則=+0=.=+(+)=(+)+=0+利用負(fù)向量，定義減法如下：-=+(-).第十五頁，共十七頁，編輯于2023年，星期四3.0=0;k0=0;(-1)=-.證明+0=1+0=(1+0)=10=0.(-1)+=(-1)+1=[(-1)+1]=0=0,所以(-1)=-.所以證畢=.所以k0+k=k(0+)=kk0=0.第十