第五章特征值和特征向量

第五章特征值和特征向量第一頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五§5.1預(yù)備知識(shí)一.向量的內(nèi)積

在空間解析幾何中,向量的內(nèi)積(即數(shù)量積或點(diǎn)積)描述了內(nèi)積與向量的長(zhǎng)度及夾角間的關(guān)系.

內(nèi)積定義

：夾角：向量的長(zhǎng)度：

第二頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五內(nèi)積的坐標(biāo)表示式：令稱(chēng)為向量x與y的內(nèi)積.定義1設(shè)有n維向量第三頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五(1)向量x與y的內(nèi)積是一個(gè)實(shí)數(shù),注:(2)常用符號(hào)(x,y)=<x,y>=[x,y]=x·y.(3)零向量與任一向量的內(nèi)積為0.當(dāng)x與y都是列向量時(shí),可以用矩陣乘法表示內(nèi)積為例1已知=(1,2,1,1)T,=(2,3,1,1)T則·

=[,]=12+23+(1)1+1(1)=6也稱(chēng)點(diǎn)積,數(shù)量積.“·”[x,y]=xTy=yTx

不可省略.第四頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五性質(zhì):（其中x,y,z為n維向量，為實(shí)數(shù)):（1）（2）（3）（4）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.(以上性質(zhì)顯然成立)第五頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五定義2稱(chēng)為

維向量

的長(zhǎng)度（或范數(shù)）.令設(shè)x=(x1,x2,…,xn)T顯然||x||0,當(dāng)||x||=1時(shí),稱(chēng)x為單位向量,零向量的長(zhǎng)度為0.第六頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五

=(a1,a2)

=(a1,a2,a3)n維向量的長(zhǎng)度是二維、三維的推廣.在R2中，在R3中，第七頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五證:向量的長(zhǎng)度具有下述性質(zhì)：

（1）非負(fù)性：（2）齊次性：（3）三角不等式：為實(shí)數(shù)（1）顯然成立.下面證明（2）和（3）.第八頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五即數(shù)乘向量x的長(zhǎng)度||x||等于||與||x||的乘積.(2)根據(jù)上式可知，設(shè)是非零向量，是一個(gè)單位向量.則這是因?yàn)槿我环橇阆蛄砍运拈L(zhǎng)度后就成了單位向量.這一過(guò)程稱(chēng)為將向量單位化.第九頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五(3)所以第十頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五由此得當(dāng)且僅當(dāng)

x與y線性相關(guān)時(shí)，等號(hào)才成立對(duì)任意n維向量x,yCauchy-Schwarz不等式：有此不等式還可表示為第十一頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五如果x與y線性相關(guān)，不妨設(shè)y=kx,則有證：[x,y]2設(shè)x與y線性無(wú)關(guān)，tx+y0，[tx+y,tx+y]0即t2[x,x]+2t[x,y]+[y,y]

0的判別式一定小于零.即[x,y]2[x,x][y,y]0或[x,y]2[x,x][y,y]那么對(duì)于任意實(shí)數(shù)t來(lái)說(shuō)，于是最后不等式左端是t的一個(gè)二次三項(xiàng)式，由于它對(duì)于t的任意實(shí)數(shù)值來(lái)說(shuō)都是正數(shù)，所以它=[x,kx]2=k2[x,x]2=[x,x][y,y]第十二頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五定義3

當(dāng)時(shí)，

定義4

當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為維向量

與

的夾角.稱(chēng)向量與

正交(或垂直).

定義4'，則稱(chēng)x與y正交.如果x與y的夾角為顯然，零向量與任何向量都正交.第十三頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五若一個(gè)向量組中任意兩個(gè)向量都正交，若一個(gè)正交向量組中每一個(gè)向量都是單位向量，則稱(chēng)此向量組為正交規(guī)范向量組或標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.則稱(chēng)此向量組為正交向量組.定義5第十四頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五例2設(shè)=(1,0,2)T,=(1,0,1)T,求與的夾角.解:·=1

(1)+00+21=1所以與的夾角的余弦第十五頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五例3解:·=0設(shè)=(1,1,1)T,=(1,0,1)T,求與的夾角.例4Rn中的e1,e2,…,en

是一組兩兩正交的向量若ij,顯然有ei·ej=0第十六頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五例5是R4的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.可以驗(yàn)證第十七頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五的非零向量組，證：k11+k22+…+krr=0

=i·(k11+k22+…+krr)但i·i0,

則1,2,…,r線性無(wú)關(guān).若n維向量1,2,…,r是一組兩兩正交設(shè)有實(shí)數(shù)k1,k2,…,kr

使得因?yàn)楫?dāng)ij時(shí),i

·j=0,所以所以1,2,…,r線性無(wú)關(guān).定理10=i·0=ki(i·i)所以ki=0,i=1,2,…,n.

第十八頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五定理3Rn中任一非零正交向量組中向量的個(gè)數(shù)不會(huì)超過(guò)n.在Rn中,如果與1,2,…,r中每一個(gè)向量正交,證：k11+k22+…+krr為1,2,…,r的一個(gè)線性組合因?yàn)椤=0

(i=1,2,…,r)所以定理2則與1,2,…,r任意一個(gè)線性組合也正交.第十九頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五求非零向量,使成為正交向量組.已知

設(shè)則例6解：第二十頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五即由得從而有基礎(chǔ)解系

第二十一頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五取即合所求.第二十二頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五二.

Schmidt正交化方法設(shè),是Rn中的兩個(gè)向量，定義記稱(chēng)為向量在上的投影純量.記稱(chēng)向量為向量在上的投影向量.第二十三頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五Schmidt正交化方法是將一組線性無(wú)關(guān)的向量作如下的線性變換，化為一組與之等價(jià)的正交向量組的方法：……1.

Schmidt正交化令第二十四頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五可以證明：兩兩正交，向量組與等價(jià).且對(duì)任何第二十五頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.

標(biāo)準(zhǔn)化（單位化）令則1,

2,…r就是一組長(zhǎng)度都是1的正交向量組.先正交化，后標(biāo)準(zhǔn)化，次序不可顛倒.注：第二十六頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五例7

將

正交規(guī)范化.先將1，2，3進(jìn)行正交化，取解:第二十七頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五第二十八頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五再將它們單位化，取

則即為所求.第二十九頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五例8已知1

=(1,2,2)T,求非零向量2,3,2,3應(yīng)滿足方程1Tx=0，它的基礎(chǔ)解系為取2=1=使1,2,3成為正交向量組.解:即x1+2x2+2x3=0將1,2正交化,第三十頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五3=2則2,3就是所求.第三十一頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五定義6

如果n階方陣A

滿足

正交矩陣（即A1=AT）那么稱(chēng)A為正交矩陣(簡(jiǎn)稱(chēng)正交陣).第三十二頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五正交矩陣具有如下性質(zhì)：1.若A是正交矩陣，則A1和AT也是正交矩陣.2.兩個(gè)正交陣的乘積仍是正交陣.3.正交陣的行列式等于1或1.4.正交陣的同一行(列)的元素的平方和等于1.5.正交陣的兩不同行(列)的對(duì)應(yīng)元素乘積之和等于0.第三十三頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五證：1.因?yàn)?A')'=A,

所以A'

=A1也是正交陣.2.設(shè)A,B都是正交陣,則(AB)(AB)'=3.設(shè)A是正交陣,而|AA|=因此|A|2=1,(AB)(B'A')=A(BB')A'=AEA'=AA'=E則AA=E,|AA|=|E|=1|A||A|=|A|2即|A|=1第三十四頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五設(shè)A是正交陣,即AA'=E,其中i=(ai1,ai2,…,ain).4.和5.將A寫(xiě)成行向量的形式第三十五頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五則A的轉(zhuǎn)置A'=其中第三十六頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五其中當(dāng)i=j時(shí)，當(dāng)ij時(shí)，這樣，性質(zhì)4.和5.得證.列的情況可以通過(guò)A'A=E加以證明第三十七頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五定理4

A為正交矩陣的充要條件是A的行（列）向量組為正交規(guī)范向量組.證：由性質(zhì)4,5可以直接推出正交矩陣舉例：(1)n階單位矩陣En(2)第三十八頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五例9已知A是正交陣，求x.解：根據(jù)定理4設(shè)則1·1=1即(2x)2+02+02=1x=設(shè)第三十九頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五設(shè)為正交變換，則有定義7

若P為正交矩陣，則線性變換這說(shuō)明，正交變換不改變向量的長(zhǎng)度.稱(chēng)為正交變換.第四十頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§5.2特征值和特征向量概念定義1

設(shè)A是n階方陣，如果數(shù)和n維非零相應(yīng)的非零列向量x稱(chēng)為A的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量.方陣A的特征值；列向量x使關(guān)系式Ax=x

(1)成立，則稱(chēng)是此處可能是復(fù)數(shù)，注：也可能是復(fù)數(shù).A的元素和x的分量第四十一頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五(E

A)x=0)此為n元齊次線性方程組(AE)x=0|A

E|=0將(1)改寫(xiě)成(或改寫(xiě)為它有非零解的充要條件是(2)即第四十二頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五定義稱(chēng)為A的特征矩陣;其行列式|AE|是的n次多項(xiàng)式,記為f()，顯然，A的特征值就是A的特征方程方程|AE|=0稱(chēng)為A的特征方程.|AE|=0的根，因此，特征值也稱(chēng)為特征根.稱(chēng)為A的特征多項(xiàng)式;A為n階方陣，含有未知量的矩陣AE

方程組(AE)x

=0的每一個(gè)非零解向量，都是與相應(yīng)的特征向量.第四十三頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五定理1任一n階矩陣A必有n個(gè)復(fù)的特征值.證:因?yàn)橐辉猲次方程必有n個(gè)復(fù)數(shù)根(包括重根),所以特征方程|AI|=0有n個(gè)復(fù)數(shù)根，即A有n個(gè)復(fù)的特征值.第四十四頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五定理2若x是A的關(guān)于特征值0的特征向量,證:若Ax=0x，Ax=0x則0x=0x，∵x0，且又是關(guān)于特征值0的特征向量,則0=0∴00=0(00)x=0第四十五頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五定理3證:(其中k1，k2為任意常數(shù)，且k1

+k20).k1

+k2也是(AE)x=0解.設(shè)和均是A的特征值的特征向量，則線性組合k1

+k2也是A的特征值的特征向量.根據(jù)定義,,均為齊次線性方程組(AE)x=0的解,

由齊次線性方程組的解的性質(zhì)，第四十六頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五已知試確定參數(shù)

a,b由特征值和特征向量的定義可知，

及特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值.例1是的一個(gè)特征向量，解:第四十七頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五即于是所以故第四十八頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五特征值和特征向量的求法

（1）求出階方陣

的特征多項(xiàng)式

求n階方陣A的特征值與特征向量的步驟：

（2）求出特征方程的全部根，（3）把每個(gè)特征值代入線性方程組即是

的特征值；

求出基礎(chǔ)解系，基礎(chǔ)解系的線性組合（零向量除外）就是A對(duì)應(yīng)于的全部特征向量．(AE)x=0第四十九頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五例2

求矩陣的特征值和特征向量．解:

A的特征多項(xiàng)式為

所以

A的特征值為

當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足

第五十頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五于是，的對(duì)應(yīng)的全部特征向量為容易求得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為

當(dāng)時(shí)，

（為常數(shù)）第五十一頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五解得基礎(chǔ)解系

于是，的對(duì)應(yīng)的全部特征向量為

（為常數(shù)）第五十二頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五特征值和特征向量的性質(zhì)

設(shè)A是n階方陣，則A與AT有相同的特征值.

(特征向量未必相同)定理4證:因?yàn)?/p>

(AE)T

|ATE|

所以=AT

(E)T

=AT

E

=|(AE)T|

=|AE|

即A與AT有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值.第五十三頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五*定理5

設(shè)是方陣A的特征值，k,m是正整數(shù)，則

(1)c是cA的特征值(c是任意常數(shù)).(2)當(dāng)A可逆時(shí)，1是A1的特征值.(3)k是Ak的特征值.*(4)是的特征值.第五十四頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五證:(1)所以c(Ax)=c(

x)(2)因?yàn)锳x=x,且A可逆,x=(A1x)所以A1(Ax)

=A1(x)即A1x=即(cA)x=(c)x.因?yàn)锳x=

x=(A1x)第五十五頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五(3)因?yàn)锳x=x,

兩端同時(shí)左乘A，得A2x=A(x)=

(Ax)=

2x兩端再同時(shí)左乘A，得A3x=A(2x)=

2(Ax)=

3x依此類(lèi)推，得Amx=mx(4)可由(1)，(3)推出第五十六頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五定理6

設(shè)階方陣的個(gè)特征值為(1)角元之和，稱(chēng)為矩陣A的跡,(2)n階方陣A可逆的充要條件是它的則推論任一特征值都不等于零.

是A的主對(duì)其中記作tr(A)第五十七頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五定義的跡，矩陣的跡有如下的性質(zhì)：(1)tr(A+B)=trA+trB(3)tr(AT)=tr(A)(2)tr(kA)=ktr(A)n階方陣A的主對(duì)角線上元素之和稱(chēng)為矩陣A記為tr(A).即tr(A)=a11+a22+…+ann(4)tr(AB)=tr(BA)(5)tr(ABC)=tr(CAB)=tr(BCA)A,B,C均為n階方陣第五十八頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五定理6的證明：把矩陣A的特征多項(xiàng)式|EA|記為fA(),將這個(gè)行列式展開(kāi)，得到一個(gè)關(guān)于的n次多項(xiàng)式，其最高次項(xiàng)n出現(xiàn)在主對(duì)角元的乘積(a11)(a22)…(ann)中，主對(duì)角線上的元素，行列式的展開(kāi)式中其余的項(xiàng)至多含有n2個(gè)因此，第五十九頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五(a11)(a22)(ann)中.fA()=n(a11+a22+…+ann)n1+…(1)這里沒(méi)有寫(xiě)出的項(xiàng)的次數(shù)至多是n2.在(1)式中，令=0,得到fA(0)=(1)n|A|,fA()是(a11)(a22)(ann)因此，fA()中次數(shù)大于n2的項(xiàng)只出現(xiàn)在乘積和一個(gè)至多是的一個(gè)n2次多項(xiàng)式之和.也就是說(shuō)，A的特征多項(xiàng)式fA()=|EA|的常數(shù)項(xiàng)等于(1)n|A|.所以第六十頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五設(shè)1，

2，

…，n是矩陣A的全部特征根，fA()=(1)(2)…(n)=n(1+…+n)n1+…+(1)n12…n因此,有1+2…+n=a11+…+ann

12…n=|A|那么,第六十一頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五定理7

設(shè)是方陣

的個(gè)特征值，依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量.如果各不相等，則線性無(wú)關(guān).(證明參見(jiàn)教材)注：方陣A的同一特征根的特征向量未必線性相關(guān).第六十二頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五例3三階方陣A的三個(gè)特征值分別為求故A可逆而所以解：第六十三頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五所以(A)的特征值為則(A)的特征值為若A的特征值為于是第六十四頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五設(shè)有四階方陣A滿足條件|3E+A|=0,AA'=2E,例4由|3E+A|=0，有|A(3)E|=0,解:又|AA'|=|2E|=24|E|

=16所以|AA'|=|A||A'|=|A|2=16|A|=4A*的一個(gè)特征值.|A|<0,其中E是四階單位陣.求方陣A的伴隨陣=3.因?yàn)閨A|<0,所以|A|=4.得A的一個(gè)特征值第六十五頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五設(shè)A的屬于=

3的特征向量為，則

A1=又所以|A|A1=即A*=A*=故A*的一個(gè)特征值為|A|=4，A*=

|A|A1,第六十六頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五例5設(shè)方陣A滿足AA'=E,|A|<0,其中A'是A的轉(zhuǎn)置,證明:設(shè)為A的實(shí)特征向量，其所對(duì)應(yīng)的特征值為，(21)'=0'A'A=2'因?yàn)闉閷?shí)特征向量，所以，

'>02１=

0||=1'A'='則A=(A)'=()''A'(A)='()由AA'=E'=2'特征值的絕對(duì)值等于1.E為單位陣.試證A的實(shí)特征向量所對(duì)應(yīng)的第六十七頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五例6設(shè)矩陣A滿足A2

3A+2E=0,證明A的特征值只能證:設(shè)為A的特征值，=(23+2)

所以23+2=0，故=1或2則A

=，于是取值１或2.為其對(duì)應(yīng)的特征向量(0)0=(A23A+2E)=A2

3A

+2

因?yàn)?，第六十八頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五應(yīng)用（發(fā)展與環(huán)保問(wèn)題）為了定量分析工業(yè)發(fā)展與環(huán)境污染的關(guān)系，某地區(qū)提出如下增長(zhǎng)模型：

和為第個(gè)周期后的污染損耗和工業(yè)產(chǎn)值.第六十九頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五即或由此模型及當(dāng)前的水平，可以預(yù)測(cè)若干發(fā)展周期后的水平：第七十頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五下面利用矩陣特征值和特征向量的有關(guān)性質(zhì)，

A的特征多項(xiàng)式為

所以，A的特征值為來(lái)計(jì)算A的冪.為此，先計(jì)算A的特征值.第七十一頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五對(duì)于特征值，解齊次線性方程組的一個(gè)特征向量對(duì)于特征值，解齊次線性方程組的一個(gè)特征向量可得的屬于可得的屬于第七十二頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五如果當(dāng)前的水平恰好等于，則時(shí)，即它表明，經(jīng)過(guò)n個(gè)發(fā)展周期后，工業(yè)產(chǎn)值已達(dá)到一個(gè)相當(dāng)高的水平，但其中一半被污染損耗(2n)所抵消，造成資源的嚴(yán)重浪費(fèi).第七十三頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五如果當(dāng)前的水平，則不能直接應(yīng)用上述方法分析.于是此時(shí)由于第七十四頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五特別地，當(dāng)時(shí)，污染損耗為由上面的分析可以看出：工業(yè)產(chǎn)值為，損耗已超過(guò)了產(chǎn)值，經(jīng)濟(jì)將出現(xiàn)負(fù)增長(zhǎng).盡管的特征向量沒(méi)有實(shí)際意義但任一具有實(shí)際意義的向量都可以表示為的線性組合從而在分析過(guò)程中，仍具有重要作用.因中含負(fù)分量第七十五頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五§5.3相似矩陣概念與性質(zhì)

定義1

設(shè)A,B都是n階方陣，若有可逆矩陣P，對(duì)進(jìn)行運(yùn)算稱(chēng)為對(duì)

進(jìn)行相似變換.可逆矩陣稱(chēng)為把變成的相似變換矩陣.使則稱(chēng)B是A的相似矩陣，或說(shuō)矩陣A與B相似.第七十六頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五相似矩陣有下列基本性質(zhì)：(1)反身性:(2)對(duì)稱(chēng)性:(3)傳遞性:A與A相似若A與B相似，則B與A也相似若A與B相似，B與C相似，則A與C相似(A,B,C為n階方陣)(根據(jù)定義可直接推出上述性質(zhì))第七十七頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五若A與B相似，則

(1)A與B有相同的特征多項(xiàng)式和特征值；

(2)(3)(4)Am與Bm也相似，其中m為正整數(shù).(5)相似矩陣或都可逆或都不可逆，定理1當(dāng)它們可逆時(shí)，它們的逆矩陣也相似.(證明參見(jiàn)教材)第七十八頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五定理2證:若P1AP=B，0是A與B的某個(gè)特征值，若x是A關(guān)于0的特征向量，P1x是B的關(guān)于0的特征向量.根據(jù)已知,Ax=0x

即P1x是B的關(guān)于0的特征向量.B(P1x)=P10x兩邊同時(shí)左乘P1,PBP1x=0x則A=PBP1所以即又因?yàn)镻1AP=B得到=0

(P1x)第七十九頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五定理3證:若n階方陣A與對(duì)角陣由定理1,相似陣有相同的特征值,則1,2,…n是A的n個(gè)特征值.相似,也是A的特征值.因此1,2,…n既是的特征值,第八十頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五矩陣可對(duì)角化的條件

使P1AP=為對(duì)角陣,若方陣A相似于一個(gè)對(duì)角矩陣,定義則稱(chēng)A可以對(duì)角化.使為對(duì)角陣.把方陣A對(duì)角化，即存在可逆陣P,即求相似變換陣P第八十一頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五如果n階方陣A有n個(gè)互不相等的特征值，是A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.則A與對(duì)角矩陣相似.定理4n階方陣A相似于n階對(duì)角矩陣的充要條件推論(證明參見(jiàn)教材)第八十二頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五從定理的證明過(guò)程中，我們可以看出把一個(gè)(1)先求出A的全部特征根.*(3)如果對(duì)每一個(gè)特征根來(lái)說(shuō),相應(yīng)的齊次線性(2)對(duì)每一個(gè)特征根，求出齊次線性方程組(AE)X=0的基礎(chǔ)解系.數(shù),則A可以對(duì)角化,否則不能對(duì)角化.方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)等于的重矩陣對(duì)角化的具體步驟：(4)以這些解向量為列,作一個(gè)n階矩陣P,則P1AP為對(duì)角形矩陣.第八十三頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五例1求可逆矩陣P,使P1AP為對(duì)角矩陣.A=解：A的特征多項(xiàng)式為|EA|=(2)2(+4)(1)當(dāng)1=4時(shí)，

代入齊次線性方程組特征根為1=4，2=3=2(E

A)x=0第八十四頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五即基礎(chǔ)解系為第八十五頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五(2)當(dāng)2=3

=2時(shí)，代入齊次線性方程組即基礎(chǔ)解系為(E

A)x=0第八十六頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五A有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，因此A可以對(duì)角化取則P1AP=第八十七頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五例2的特征值為1=2=3，3=12，求x值，已知矩陣A=解:根據(jù)1+2+3=a11+a22+a33于是3+3

+12

=7+7+x得

x=4并問(wèn)矩陣A是否可以對(duì)角化.第八十八頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五對(duì)于1=2=3，解齊次線性方程組(3EA)X=0即得特征向量第八十九頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五對(duì)于3=12，解齊次線性方程組(12EA)X=0即得特征向量因此1,

2,3線性無(wú)關(guān)，故矩陣A可對(duì)角化第九十頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五例3相似，求x，y值.設(shè)方陣A=解(1)2(x)16(x)8(1)+32=0(*)由對(duì)角陣的對(duì)角元素與原方陣特征值的關(guān)系，與對(duì)角陣=由|EA|=0有可知=5,=4均為方程(*)的解，于是第九十一頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五將=4代入方程(*)，得25(x+4)16(x+4)72=0又1+2+3=a11+a22+a33即1+4+1=5+y4x=4y=5第九十二頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五例4已知矩陣與相似.（1）求與；（2）求一個(gè)可逆矩陣，使

（3）求第九十三頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五解：

(1)因A與B相似，故即第九十四頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五將代入有；（2）的特征值為1，2，2，將代入有解齊次線性方程組可分別求得A的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量第九十五頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五于是所求可逆矩陣

使（3）由于，于是

第九十六頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五所以第九十七頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五第九十八頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五設(shè)A=使P1AP=再求An

求：An例5解：先求P，容易求出A的特征值為1，1，0=

[PP1]n=PnP1第九十九頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五§5.4實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似矩陣定義設(shè)A,B是兩個(gè)n階實(shí)矩陣,如果存在一個(gè)對(duì)于正交陣P,

正交陣P,使得P1AP

=B,則稱(chēng)A與B正交相似.因此,此時(shí)有PAP

=B.有P1=P,第一百頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣特征值的性質(zhì)

實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的特征值均為實(shí)數(shù).定理1證：

設(shè)是A的特征值，

并設(shè)

x=(x1,x2,…,xn)T0是的特征向量,(只需證明即可)(1)式兩邊取共軛，則Ax=x(1)

根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，有因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，(2)有第一百零一頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五(2)式兩邊取轉(zhuǎn)置，則上式兩邊同時(shí)右乘x，所以即但

x0所以因此第一百零二頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的屬于不同特征值的特征向量相互正交.定理2證：設(shè)1,2是實(shí)對(duì)稱(chēng)陣A的兩個(gè)不同特征值，1，2分別是1,2特征向量，則由得上式兩邊同時(shí)右乘2，有第一百零三頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五因此有因?yàn)樗约醇?，2正交.注：普通方陣A的屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān).第一百零四頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五設(shè)是n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的r重特征值，定理3特征值恰有r個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.則矩陣AE的秩為nr，從而對(duì)應(yīng)(證明略)第一百零五頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似理論

定理4

任意實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A都與對(duì)角矩陣相似.定理5設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則存在正交矩陣P,使P1AP=,其中是以A的n個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣.(以上兩個(gè)定理的證明參見(jiàn)教材)第一百零六頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)角化方法n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A對(duì)角化的具體步驟:(2)求出A的屬于各特征值的特征向量，將屬于(3)將所求的正交向量組單位化.(4)用已標(biāo)準(zhǔn)正交化的特征向量作為列向量得到正交陣P.同一特征值的特征向量用施密特方法正交化.(1)求出A的所有特征值第一百零七頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五例1

設(shè)求一個(gè)正交矩陣P，使為對(duì)角矩陣.A的特征方程為

解:第一百零八頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五當(dāng)時(shí)，解方程組得基礎(chǔ)解系單位化后得

當(dāng)時(shí)，解方程組故的特征值為

第一百零九頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五得基礎(chǔ)解系

這兩個(gè)向量已是正交，故只須將其單位化,得

第一百一十頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五于是求得正交矩陣

使第一百一十一頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五此時(shí)須先將正交化值得注意的是，對(duì)于的二重特征值上面求得的碰巧是正交的，故不必正交化，只要單位化即可.但如果求得的基礎(chǔ)解系為第一百一十二頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五取再單位化，得

第一百一十三頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五于是又得正交矩陣

第一百一十四頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五使這也說(shuō)明，定理5中的正交矩陣P是不唯一的.第一百一十五頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五設(shè)6,3,3為實(shí)對(duì)稱(chēng)陣A的特征值，屬于3例2(1)求屬于6的特征向量.

(2)求矩陣A.

的特征向量為第一百一十六頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五解:設(shè)屬于6的特征向量為

由定理知,屬于實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的不同特征值的特征向量正交

所以有(1,0,1)=0,(1,2,1)=0第一百一十七頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五于是有即基礎(chǔ)解系為第一百一十八頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五可以驗(yàn)證：已正交將它們單位化第一百一十九頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五則所求正交陣為第一百二十頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五第一百二十一頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五例3A的特征方程為：得A的特征值

1=1，2=2，3=5求正交陣T，使T-1AT為對(duì)角陣。為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，設(shè)解：第一百二十二頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五將

1=1代入方程(A

E)X=0，得一屬于1=-1的特征向量將

2=2代入方程(A

E)X=0，得一屬于2=2的特征向量將

3=5代入方程(A

E)X=0，得一屬于3=5的特征向量第一百二十三頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五已兩兩正交分別屬于三個(gè)不同的特征值所以因?yàn)樵侔褑挝换喝≌魂囉谑怯蠺-1AT=Λ第一百二十四頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五第一百二十五頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五一關(guān)于特征值和特征向量的重要公式和結(jié)論第五章小結(jié)設(shè)A是n階方陣，如果數(shù)和n維非零列向量x使關(guān)系式Ax=x

成立，則稱(chēng)是A的特征值,非零列向量x稱(chēng)為A的對(duì)應(yīng)于特征值

的特征向量.可能是復(fù)數(shù)，A的元素和x的分量也可能是復(fù)數(shù).注：A必須是方陣.(一)概念第一百二十六頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五1.

是A的特征值|AE|=0(AE)不可逆2.

x是的特征向量x是方程組(AE)x

=0的非零解4.若是A的關(guān)于特征值的特征向量,則k(k0)也是A的關(guān)于的特征向量.3.若是A的關(guān)于特征值的特征向量,則A與線性相關(guān).5.若,都是A的特征值的特征向量，則k1+k2

也是的特征向量.(其中k1，k2為任意常數(shù)，且k1

+k20).第一百二十七頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五(二)重要公式和結(jié)論1.任一n階矩陣A必有n個(gè)復(fù)的特征值.但特征矩陣和特征向量不一定相同.2.A與AT有相同特征多項(xiàng)式、特征方程、特征值,3.設(shè)1,2,…,n是n階方陣A=(aij)的特征值，則推論:A可逆的充要條件是A的特征值均不為0.第一百二十八頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.設(shè)是A的k重特征值,則knR(AE).6.設(shè)1,2,…,n是A的一組特征向量,如果其中屬于同一5.設(shè)1,2,…,m是方陣A的m個(gè)特征值，且互不相等，p1,p2,…,pm依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量，則注：方陣A的同一特征根的特征向量未必線性相關(guān).p1,p2,…,pm線性無(wú)關(guān).特征值的特征向量構(gòu)成的部分都線性無(wú)關(guān)，則1,2,…,n也線性無(wú)關(guān).第一百二十九頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五7.設(shè)1,2是方陣A的兩個(gè)特征值，且12，分別是1,2的特征向量，p1,p2則p1+p2不是A的特征向量.8.設(shè)是方陣A的特征值,k是常數(shù)，m是正整數(shù)則kA,

A2,

Am,

aA+bE,

f(A),

A1,A*

分別有特征值為k,2,m,

a+b,

f(),

-1,

設(shè)x是A的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量,則x也是kA,

A2,

Am,

aA+bE,

f(A),

A1,A*對(duì)應(yīng)于特征值k,2,m,

a+b,

f(),

-1,的特征向量.第一百三十頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五9.設(shè)

f(x)是多項(xiàng)式,A是n階方陣，是A的特征值,若A滿足

f(A)=0,則滿足

f()=0.注：若數(shù)c滿足

f(c)0,則c不是A的特征值,從而|AcE|

0，即AcE可逆.但是，當(dāng)數(shù)c滿足

f(c)=0時(shí),不能確定c是A的特征值,從而不能確定AcE是否可逆.第一百三十一頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五(三)一些特殊矩陣的特征值和特征向量1.n階對(duì)角矩陣3.

n階單位矩陣E的特征值都是1.4.n階零矩陣的特征值是0.2.

n階數(shù)量矩陣aE的特征值都是a,且任意n維非零列向量都是它的特征向量.的特征值是1,2,…n.第一百三十二頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五5.

設(shè)n階方陣A(n>1)的秩r(A)=1,則A的n個(gè)特征值為證：因?yàn)閞(A)=1,所以A=0即0是A的一個(gè)特征值，其重?cái)?shù)又因?yàn)锳的n個(gè)特征值之和為tr(A),所以，A的n個(gè)特征值為第一百三十三頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五因此，當(dāng)tr(A)=0時(shí),A的n個(gè)特征值均為0，其重?cái)?shù)n>nr(A)=n1此時(shí)A不可以對(duì)角化.當(dāng)tr(A)0時(shí),特征值0的重?cái)?shù)為n1，此時(shí)A可以對(duì)角化.其重?cái)?shù)=nr(A)第一百三十四頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五如果方陣A

滿足

（即A1=AT）那么A稱(chēng)為正交矩陣(簡(jiǎn)稱(chēng)正交陣).

三關(guān)于正交矩陣的重要公式和結(jié)論AAT=E注：通常用定義判斷一個(gè)矩陣是否為正交矩陣.

第一百三十五頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五1.若A是正交矩陣，則A1和AT也是正交矩陣.2.兩個(gè)正交陣的乘積仍是正交陣.3.正交陣的行列式等于1或1.4.正交陣的同一行(列)的元素的平方和等于1.5.正交陣的兩不同行(列)的對(duì)應(yīng)元素乘積之和等于0.重要公式和結(jié)論6.A為正交矩陣的充要條件是A的行（列）向量組為正交規(guī)范向量組.

第一百三十六頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五

設(shè)A,B都是n階方陣，若有可逆矩陣P

，使

則稱(chēng)B是A

的相似矩陣，或說(shuō)矩陣A與B相似.四關(guān)于相似矩陣和對(duì)角化的重要公式和結(jié)論相似矩陣有下列基本性質(zhì):反身性,對(duì)稱(chēng)性,傳遞性若方陣A相似于一個(gè)對(duì)角矩陣,則稱(chēng)A可以對(duì)角化.若有正交陣P,使

則稱(chēng)A與B正交相似.(此時(shí)有PTAP

=B).1.2.3.4.第一百三十七頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五若A與B相似，則

(1)A與B有相同的特征多項(xiàng)式和特征值；

(2)(3)(4)Am與Bm也相似，其中m為正整數(shù).(5)相似矩陣或都可逆或都不可逆，當(dāng)它們可逆時(shí)，它們的逆矩陣也相似.(6)AT與BT也相似第一百三十八頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五A有n個(gè)互不相等的特征值A(chǔ)有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.判斷一個(gè)n階方陣A是否可以對(duì)角化的常用方法：1.A可以對(duì)角化2.A可以對(duì)角化對(duì)于A的每個(gè)特征根，其重?cái)?shù)k=nR(AE).3.A可以對(duì)角化第一百三十九頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五五關(guān)于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的重要公式和結(jié)論1.

特征值均為實(shí)數(shù).2.屬于不同特征值的特征向量相互正交.3.對(duì)每個(gè)特征值，其重?cái)?shù)k=nR(AE).4.

實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣都可以對(duì)角化，且可以正交對(duì)角化.第一百四十頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五六.典型例題例1

設(shè)

(1)求A的特征值

(2)利用(1)的結(jié)果求E+A1

的特征值,E是三階單位陣.解：

(1)第一百四十一頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五

故矩陣A的特征值為：1,1,5.

(2)設(shè)矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量為x,則

Ax=x于是可得矩陣E+A1的特征值為2,2,故知1+1是矩陣E+A1的特征值,將=1,1,5代入1+1,第一百四十二頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五注:

(1)在計(jì)算EA時(shí),盡量不要直接展開(kāi)得一個(gè)分解出一次因式.

(2)在計(jì)算EA時(shí),如果各行(或列)之和都相等,

例如在例1中,計(jì)算EA時(shí),直接展開(kāi)得分解因式時(shí)可能會(huì)遇到困難.通常把相等的部分提出來(lái).或把某個(gè)不含的元素化為零.三次多項(xiàng)式,通常是在計(jì)算EA的過(guò)程中,直接第一百四十三頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五例2

把|EA|的各列加到第一列,得解：求矩陣的實(shí)特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量.第一百四十四頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五

有唯一實(shí)特征值=1,解得x1=x2=x3,基礎(chǔ)解系為=(1,1,1)T,故對(duì)應(yīng)于=1的全部特征向量為k(1,1,1)T,k為非零常數(shù).對(duì)應(yīng)=1,由(1EA)x=0得第一百四十五頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五例3

選擇題(1)設(shè)=2是非奇異矩陣A的特征值,則矩陣有一特征值等于(2)若n階矩陣A的任意一行中n個(gè)元素的和都是a,則A的一個(gè)特征值為(A)a(B)a(C)0(A)a1()()第一百四十六頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五(4)設(shè)A為n階可逆矩陣,1,2是A的特征值,

(A)1=2時(shí),1,2一定成比例.(B)1=2時(shí),1,2一定不成比例.(C)12時(shí),1,2一定成比例.(D)12時(shí),1,2一定不成比例.1,2是A的分別對(duì)應(yīng)于1,2的特征向量,則(3)設(shè)A為n階可逆矩陣,是A的一個(gè)特征值,

則A的伴隨矩陣A*的特征值之一是(A)

1|A|n(B)

1|A|(C)|A|(D)|A|n()()第一百四十七頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五解：(1)(2)BA2有一特征值22，A有一特征值等于有一特征值所以

把|EA|的各列加到第一列,可提出公因子a,所以，A的一個(gè)特征值為a.(3)B第一百四十八頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五(4)D當(dāng)1=2為重根時(shí),可能有多于一個(gè)的線性無(wú)關(guān)的特征向量，也可能只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以A,B均不成立.當(dāng)12時(shí),1,2屬于不同的特征根，因此線性無(wú)關(guān)，即1,2一定不成比例.第一百四十九頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五設(shè)1,2是n階矩陣A的不同特征值,1,2是A的分別屬于1,2的特征向量，例4

證明:1+2不是A的特征向量證：

用反證法若1+2為A的屬于某特征值的特征向量,則由定義有A(1+2)=(1+2)根據(jù)已知從而有A1=11,A2=22得A(1+2)=A1+A2=11+2211+22=(1+2)即(

1)

1+(

2)2=0第一百五十頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五因?yàn)?,2屬于不同的特征值,所以1,2線性無(wú)關(guān),故1+2不是A的特征向量.于是(

1)=0,(

2)=0即有1=2=此與題設(shè)矛盾.第一百五十一頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五設(shè)A為三階方陣，有三個(gè)不同的特征值1,2,3,對(duì)應(yīng)的特征向量依次為