第五講復(fù)變函數(shù)

第五講復(fù)變函數(shù)第一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四

1.原函數(shù)與不定積分的概念

2.積分計算公式§3.4原函數(shù)與不定積分第二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四

1.原函數(shù)與不定積分的概念由§2基本定理的推論知：設(shè)f(z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，則對B中任意曲線C,積分∫cfdz與路徑無關(guān)，只與起點和終點有關(guān)。當(dāng)起點固定在z0,終點z在B內(nèi)變動,∫cf(z)dz在B內(nèi)就定義了一個變上限的單值函數(shù)，記作定理設(shè)f(z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，則F(z)在B內(nèi)解析，且第三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四定義若函數(shù)(z)

在區(qū)域B內(nèi)的導(dǎo)數(shù)等于f(z)

，即

,稱(z)為f(z)在B內(nèi)的原函數(shù).上面定理表明是f(z)的一個原函數(shù)。設(shè)H(z)與G(z)是f(z)的任何兩個原函數(shù)，這表明：f(z)的任何兩個原函數(shù)相差一個常數(shù)。(見第二章§2例3)第四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四2.積分計算公式定義設(shè)F(z)是f(z)的一個原函數(shù)，稱F(z)+c(c為任意常數(shù))為f(z)的不定積分，記作定理設(shè)f(z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，F(xiàn)(z)是f(z)的一個原函數(shù)，則此公式類似于微積分學(xué)中的牛頓－萊布尼茲公式.

但是要求函數(shù)是解析的,比以前的連續(xù)條件要強第五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四例1計算下列積分：解1)

第六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四解2)第七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四例3計算下列積分：第八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四小結(jié)求積分的方法第九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四利用Cauchy-Goursat基本定理在多連通域上的推廣,即復(fù)合閉路定理,導(dǎo)出一個用邊界值表示解析函數(shù)內(nèi)部值的積分公式,該公式不僅給出了解析函數(shù)的一個積分表達式，從而成為研究解析函數(shù)的有力工具，而且提供了計算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的方法.內(nèi)容簡介§3.5Cauchy積分公式第十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四分析DCz0C1第十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四DCz0C1∴猜想積分第十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四定理(Cauchy積分公式)證明第十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四第十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四

第十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四

一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.第十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四例1解第十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四例2解CC1C21xyo第十八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四例3解第十九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四內(nèi)容簡介本節(jié)研究解析函數(shù)的無窮次可導(dǎo)性，并導(dǎo)出高階導(dǎo)數(shù)計算公式。研究表明：一個解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù)，而且有各階導(dǎo)數(shù)，它的值也可用函數(shù)在邊界上的值通過積分來表示。這一點與實變函數(shù)有本質(zhì)區(qū)別?！?解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)第二十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四形式上，以下將對這些公式的正確性加以證明。第二十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四定理證明用數(shù)學(xué)歸納法和導(dǎo)數(shù)定義。第二十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四令為I第二十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四第二十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四依次類推，用數(shù)學(xué)歸納法可得第二十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四一個解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)。第二十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四例1解第二十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四第二十八頁，共三十頁，