北京2018屆西城區(qū)高三4月統(tǒng)一測試數(shù)學(xué)(理)含答案

·PAGE5·西城區(qū)高三統(tǒng)一測試數(shù)學(xué)（理科）2018.4第Ⅰ卷（選擇題共40分）選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．若集合，，則（A）（B）（C）（D）2．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（A）（B）（C）（D）3．已知圓的方程為．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，該圓的極坐標(biāo)方程為（A）（B）（C）（D）4．正三棱柱的三視圖如圖所示，該正三棱柱的表面積是（A）（B）（C）（D）5．已知是正方形的中心．若，其中，，則（A）（B）（C）（D）6．設(shè)函數(shù)．則“有兩個(gè)不同的零點(diǎn)”是“，使”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件7．函數(shù)則的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)共有（A）0對（B）1對（C）2對（D）3對8．某計(jì)算機(jī)系統(tǒng)在同一時(shí)間只能執(zhí)行一項(xiàng)任務(wù)，且該任務(wù)完成后才能執(zhí)行下一項(xiàng)任務(wù)．現(xiàn)有三項(xiàng)任務(wù)U，V，W，計(jì)算機(jī)系統(tǒng)執(zhí)行這三項(xiàng)任務(wù)的時(shí)間（單位：s）依次為，，，其中．一項(xiàng)任務(wù)的“相對等待時(shí)間”定義為從開始執(zhí)行第一項(xiàng)任務(wù)到完成該任務(wù)的時(shí)間與計(jì)算機(jī)系統(tǒng)執(zhí)行該任務(wù)的時(shí)間之比．下列四種執(zhí)行順序中，使三項(xiàng)任務(wù)“相對等待時(shí)間”之和最小的是（A）UVW（B）VWU（C）WUV（D）UWV（Ⅲ）給定正整數(shù)．對所有滿足的數(shù)列，求集合的元素個(gè)數(shù)的最小值．西城區(qū)高三統(tǒng)一測試數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)2018.4一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.1．D2．C3．B4．D5．B6．C7．C8．A二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.9．10．，11．，12．13．14．注：第10，11題第一空3分，第二空2分.三、解答題：本大題共6小題，共80分.其他正確解答過程，請參照評分標(biāo)準(zhǔn)給分.15．（本小題滿分13分）解：（Ⅰ）因?yàn)椋裕甗1分]在△中，由正弦定理得．[3分]所以．[4分]因?yàn)?，[5分]所以．[6分]（Ⅱ）在△中，由余弦定理得，所以，[8分]整理得，[9分]解得，或，均適合題意．[11分]當(dāng)時(shí)，△的面積為．[12分]當(dāng)時(shí)，△的面積為．[13分]16．（本小題滿分13分）解：（Ⅰ）因?yàn)楸碇兴袘?yīng)聘人員總數(shù)為，被該企業(yè)錄用的人數(shù)為，所以從表中所有應(yīng)聘人員中隨機(jī)選擇1人，此人被錄用的概率約為．[3分]（Ⅱ）X可能的取值為．[4分]因?yàn)閼?yīng)聘E崗位的6人中，被錄用的有4人，未被錄用的有2人，[5分]所以；；．[8分]所以X的分布列為：X012P．[10分]（Ⅲ）這四種崗位是：B、C、D、E．[13分]17．（本小題滿分14分）解：（Ⅰ）因?yàn)樵凇髦校?，分別為，的中點(diǎn)，所以，．所以，又為的中點(diǎn)，所以．[1分]因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫?，所以平面，[3分]所以．[4分]（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連接，所以．由（Ⅰ）得，．如圖建立空間直角坐標(biāo)系．[5分]由題意得，，，，．所以，，．設(shè)平面的法向量為，則即令，則，，所以．[7分]設(shè)直線和平面所成的角為，則．所以直線和平面所成角的正弦值為．[9分]（Ⅲ）線段上存在點(diǎn)適合題意．設(shè)，其中．[10分]設(shè)，則有，所以，從而，所以，又，所以．[12分]令，整理得．[13分]解得，舍去．所以線段上存在點(diǎn)適合題意，且．[14分]18．（本小題滿分13分）解：（Ⅰ）的導(dǎo)函數(shù)為．[2分]依題意，有，[4分]解得．[5分]（Ⅱ）由及知，與同號．令，[6分]則．[8分]所以對任意，有，故在單調(diào)遞增．[9分]因?yàn)?，所以，，故存在，使得．[11分]與在區(qū)間上的情況如下：↘極小值↗所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以存在極小值．[13分]19．（本小題滿分14分）解：（Ⅰ）由題意，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．[1分]所以，，從而．因此，．故橢圓的離心率．[3分]橢圓的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為．[4分]（Ⅱ）直線與圓相切．證明如下：[5分]設(shè)，其中，則，[6分]依題意可設(shè)，則．[7分]直線的方程為，整理為．[9分]所以圓的圓心到直線的距離．[11分]因?yàn)椋甗13分]所以，即，所以直線與圓相切．[14分]20．（本小題滿分13分）解：（Ⅰ）因?yàn)?，，，，，，[2分]所以．[3分]（Ⅱ）由集合的定義知，且是使得成立的最小的k，所以. [5分]又因?yàn)?，所以[6分]所以．